华师大最新版《解直角三角形》全章节教案

第25章 解直角三角形

第1课时 25.1测量

教学目标：1。知识与技能：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几

种方法，初步接触直角三角形的边角关系。

2.过程与方法： 通过操作、观察、培养学生动手和归纳问题的能力。

在观察、操作、培养等过程中，发展学生的推理能力。

3.情感态度与价值观：通过运用相似及已学过的知识探索解三角形的方法，体验教学研究和发现的过程，逐渐培养学生用数学说理的习惯，唤起学生学习后续内容的积极性。

教学重点：探索测量距离的几种方法。

教学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。 教学设想： 1.课型：新授课

2.教学思路：直观感知-操作确认-合情说理-应用提高． 教学过程：

一。复习引入：

当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？ 二。新课探究：

B例1. 书.P.86试一试.

如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶AC部，视线AB与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD为1米。EDB现在请你按1：500的比例得△ABC画在纸上，并记为△A1B1C1,用刻

度尺量出纸上B1C1的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计

CA算的方法吗？

解：∵△ABC∽△A1B2C3, ∴AC:A1C1=BC:B1C1=500:1

∴只要用刻度尺量出纸上B1C1的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度。若量得B1C1=a㎝，则BC=500a㎝=5a㎝。故旗杆高(1+5a)m.

说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。

例2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m图(c)中BD=9m,EF=0.2；此人的臂长为0.6m。

（1） 说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。

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AAAECCFCBODBDBDF（a） （b） （c） E分析：图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质。

解：（1）∵△AOB∽△COD,∴CDAB?OBAB 即1.7OD?36.4 ∴AB=3(m).

（2）∵同一时刻物高与影长成正比，∴BE（3）∵△CEF∽△CAB ∴ABEFAB?CDDFAB 即1.8?01.6 ∴AB=3(m).

?FG0.2BD 即AB.6?09 ∴AB=3(m).

方法技巧：测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似形的性质求出物

高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度。 三、引申提高：

例3。设计一种方案，测量学校科技楼的高度。请写出测量的过程，并简要说明这样做的理由。

分析：测量大楼的高度的方法很多，现采用一种方法，利用人的身高和标杆，依据相似三角形三角对应成比例和平行线的性质，可测出大楼的高度。

解答：测量过程如下： A1、在地面上立一个标杆，使人眼、杆顶、楼顶在一条直线上。

2、测出CF、CH的距离。

大楼 3、算出KE的长度。 D4、用标杆长度减去人的身高，即DE的长度。 KBE标杆 5、由DE∥AB得△KDE∽△KAB。又因为相似三角形三边对应成比HCF6、再将刚才测量的数值代入比例式中，计算出AB的长度。

例，∴ABDE?KEKB。

7、用AB加上人的身高即得出大楼的高度。

探究点拔：1.选择测量的方法应是切实可行的。如本题中人眼、杆顶、楼顶在一条直线上（人是站立的）。

2．大楼的高度=AB+人高。

3．测量的过程要清楚，力求每步都有根有据，达到学以至用。 四．巩固练习：

1.如图1，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD=31.4m 求AB长。 (AB=62.8m)

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AA

CODBCB(1) (2)

2. 如图2, 为了测量河的宽度，可以先在河对岸找到一个具有明显标志的点A，再在所在的一边找到两点B、C，使△ABC构成Rt△。如果测得BC=50米，∠ABC=73°，试设计一种方法求河的宽度AC。 (在地面上另作 Rt△A’B’C’，使B’C’=5米，∠C’=Rt∠,∠B’=73°, 测得 A’C’=16.35米，得 AC=16.35米 ). 五．课时小结：

选择适当的方法测量物体的高度或长度等是新时期素质教育的要求，运用所学相似三角形知识设计测量方案时一定要考虑可行性，力求操作简便，计算简洁，同时注意分析环境、天气等要素。 六．课外作业： P.87 1—3 七．课后反思：

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第2课时 25.2.1锐角三角函数（1）

教学目标：1。知识与技能：直角三角形可简记为Rt△ABC；理解Rt△中锐角的正弦、余

弦、正切、余切的概念。

2.过程与方法：应尽量把解直角三角形与实际问题联系起来，减少单纯解直角

三角形的习题，在解决实际问题时，应使学生养成“先画图，再求解”的习惯 。 将解直角三角形的应用分为几种问题类型，注意问题选取的多样性，有时解决一个问题，往往可以用不同的三角函数关系式，这时应引导学生合理地选择关系式，经历观察、操作、归纳与猜想，体会科学发现这一重要方法。

3.情感态度与价值观：培养学生合情推理、数学说理及转化思想。 教学重点：四种锐角三角函数的定义。 教学难点：理解锐角三角函数的定义。 教学过程：

一．复习提问：

1. 什么叫Rt△？它的三边有何关系？

2.Rt△中角、边之间的关系是：①∠A+∠B=90°②a?b?c 二．新课探究：

1.Rt△ABC中，某个角的对边、邻边的介绍。

2.如图，由Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3

B222AB1B1CB1BCBCBC得11?22?33?k, AC1AC2AC3可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一

个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定的。 AC1C2C3同样，其对边与斜边，邻边与斜边，邻边与对边的比值也是惟一确定的。 3.四种锐角三角函数。

sinA??A的对边,cosA??A的斜边?A的对边tanA?,cotA??A的邻边?A的邻边，?A的斜边

?A的邻边,?A的对边分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数. 显然，锐角三角函数值都是正实数，并且00,cotA>0. 4.四种三角函数的关系。

sinA?cosA?1,tanA?cotA?1

三．四种三角函数值

例1.①求出如图所示的Rt△ABC中，∠A的四个三角函数值。

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22解：Rt△ABC中，AB=BC2?AC2=152?82=17

BC8AC15?? ，cosA=

BAB17AB17BC8AC15?，cotA=? 8 tanA=

AC15BC8 ∴sinA=

②若图中AC︰BC=4︰3呢？ A 15 解：设AC=4?，BC=3?，则AB=5?

C3434，cosA=，tanA=，cotA= 55433③若图中tanA=呢？（解法同上）

4 ∴sinA=

例2.△ABC中，∠B=90°，a=5，b=13，求∠A的四个三角函数值。

B解：Rt△ABC中，c=b2?a2=132?52=12 ∴sinA=

A512512，cosA=，tanA=，cotA= 1313125C注意：解Rt△，如无图，应根据题意自己画图，寻找线段比值也应根据定义，不能死

记公式。

四．巩固练习：

书P911-3

五．引申提高：

例3．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=2，BD=8。 C求cosB。你还能求什么？ 法一：Rt△BCD,cosB?BD25 ?BC5BC25? AB5ADB法二：Rt△ABC中，cosB?变式：若AD:BD=9:16, 求∠A的四个三角函数值。 ( 六．课时小结：

灵活运用四个三角函数求值。 七．课外作业：

P.93 1、2 八．课后反思：

4343,,, ) 5534

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第3课时 锐角三角函数（2）--------特殊值

教学目标：1。知识与技能：使学生熟记30°、45°、60°的三角函数值

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一

半。

2.过程与方法：

3.情感态度与价值观：

教学重点：特殊角的三角函数值。 教学过程：

B一、 复习：

1.什么叫锐角A的正弦、余弦、正切、余切？ 2.如图，∠C=90°，AC=7，BC=2

AC（1） 求∠A和∠B的四个三角函数值 （∠A：25353,75353,27 ∠B：7,725353,25353,72） ,27（2） 比较求值结果，你发现了什么？

（sinA=cosB, cosA=sinB, tanA=cotB, cotA=tanB） 得出：如果两个锐角互余，则有 sin(90°－A)=cosA, cos(90°－A)=sinA, tan(90°－A)=cotA, cot(90°－A)=tan A

二、 新授

1.推导特殊角的三角函数值

例1、直角△ABC中，∠A=30°，求sinA、cosA 、tanA、 cotA 由sin30°=

1得出： 2在直角三角形中如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

练习：∠A=45°、∠A=60°呢？ 归纳特殊角的三角函数值：

? sin? cos? tan? cot? 30° 45° 60° 1 22 23 23 33 1 3 32 2 1 3 21 23 2.已知特殊角的三角函值求锐角

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例2.①已知sinA=

1,则∠A= 30° ; 21,则∠B= 60° ; 2②已知tanA=1,则∠A= 45° ; ③已知cosB=

④已知sinB=

3,则∠B= 60° ; 2⑤已知3cot??3?0,则∠?= 60° ; ⑥已知3sin(??15?)?3,则∠?? 75° ; 2⑦已知

?2sinA?1?tanB??23?0,A,B为△ABC的内角，则∠C = 75° ； 3⑧已知tan2??(1?3)tan??3?0，则?? 45°或60° ； 3.计算：

例3.①2sin30??3cos60??tan45? （

7 ） 2cos30??tan45?1② （ ） cot30??2cot45?2③sin30??cos30? （ 1 ）

④sin60??2sin60??1?1?sin30? （

23?3 ） 2三、 引申提高：

(cos??1)2?sin??1 ( sin??cos? )

注意: ①sin30??(sin30?)?sin30? ②0＜sin?＜1, 0＜cos?＜1 四、 巩固练习

222

计算①3tan30??cot50??2tan45??2sin60? （ 23?1 ）

sin45??cos45??cos30? （ 0 ）

cot60??tan60?11?③ （ 43 ）

sin60??cos45?sin45??cos30?②

④(cos60??1)?1?sin30? （ 1 ）

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2五、 课时小结

1.特殊角30°45°60°的四种三角函数值， 2.注意30°、60°角的函数值的区别 六、课作

P95课内练习5 A组 5 B组 6、7、8

第4课时 锐角三角形函数（3）-----计算器求值

数学目标：利用计算器求出任意一个锐角的四个三角形函值；同时已知一个锐角的三角形

函数值可求出这个锐角。

1。知识与技能： 2.过程与方法：

3.情感态度与价值观：

数学重点：利用计算器求三角函数值和锐角。

数学难点：用计数器求锐角三角函数值是要注意按键顺序。 数学过程： 一、复习提问

1、30° 、45°、60° 的三角函数值。 2、计算：1）

123?1sin60??cos45??sin30??cos30? （ ） 2222）

cos60??tan45?2?3 （ ）

cot30??2cot45?223）△ABC中，(2sinA?3)?2?cosB?0.求△ABC的三个内角。

二、新授

1、求已知锐角的三角函数值。

例1.求sin63°52′41″的值（精确到0.00001）

分析：由于计算器在计算角的三角函数值时，角的单位用的是度，所以我们必须先把角63°52′42″转换为″度″。

解：如下方法将角度单位状态设定为″度″： MODE MODE 1 D 显示

再按下列顺序依次按键：

Sin 63 0 1 11 52 0 1 11 41 0 1 11 ＝

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显示结果为0.897859012 ∴Sin63°52′41″≈0.8979

例2．求cot70°45 ″的值（精确到0.0001）.

分析：因为计数器上无法计算余切值，于是我们根据tanA.cotA＝1， 用cotA?1 来计算。 tanA解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出 ），按下列顺序依次按键： D

1 tan 70 0 1 11 45 0 1 11 ÷ 0.349215633. ＝ 显示结果为∴cot70°45′≈0.3492. 巩固练习：

书P.111. 练习.1.

2.由锐角三角函数值求锐角.

例3. 已知tanx＝0.7410. 求锐角x.（精确到1′）.

D 解：在角度单位状态为″度″的情况下（屏幕显示出 ） ，按下列顺序依次按键： -1 SHIFT Tan0 . 7 4 1 0 ＝ 显示结果为：36.53844577.

再按键 显示结果为36°32°18.4 . SHITFT 0 1 11

∴x≈36°32′

注意：由角x的三角函数值求角x，按键的次序有所不同，它与求角x的三角函数值是一个“互递”的过程。

例4：已知cotx＝0.7410. 求锐角x.（精确到1′）

分析：根据tanx?解：∵cotx＝0.7410，

∴tanx?1可以求出tanx的值.然后根据例3的方法可求出锐角x. cotx1?1.349527665

0.7410

三、巩固练习： 书P.111.练习2. 四、课时小结。

1. 利用计数器求出任意一个锐角的四个三角函数值，同时已知一个锐角函数值可求出这

个锐角。

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2. 求已知锐角的余切时，应先求出正切值，再根据tanx?注意近似要求. 五、课作：

P.97.课内练习.1.2 A组.B组 1---4

1求出其余切值；结果应cotx第5课时 锐角三角形函数（4）—复习

教学目标：熟练运用三角函数知识解题 1。知识与技能： 2.过程与方法：

3.情感态度与价值观：

教学重点：锐角三角函数

教学难点：锐角三角函数的运用 教学过程： 一、 复习

1. 直角三角形中四个锐角三角函数的求法 2. 特殊三角的三角函数值

3. 练习：书P111习题19.3 1-5 二、

EBOCD新授

A例1.如图，菱形ABCD中，对角线AC=16，BD=30，求:①∠ABD的四

个三角函数值。②sin∠ABC

解：①在菱形ABCD中，AO=CO=8，BO=DO=15，AC⊥BD，∴

AB=BO2?AO2=82?152=17

AO815815?，cos∠ABD=，tan∠ABD=，cot∠ABD= AB17158171②过C作CE⊥AB于E，菱形ABCD中，AB=BC=17，S菱形ABCD=AC?BD?AB?CE

21240 ∴×16×30=17?CE，∴CE=

217CE240?Rt△BCE中，sin∠ABC= CB2893例2.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，求cosA的值

4在Rt△ABO中，sin∠ABD=

分析：本题可有两种方法求解

1. 利用∠A的正弦、余弦的定义来解 2. 利用同角三角函数中的平方关系式

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解法一：设a=3?，c=4?，则b=7?，∴cosA=?bc7?7 ?4?4解法二：∵sinA+cosA=1，sinA=三。引申提高：

2233272，∴cosA=1?sinA?1?()? 444例3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=AC+CD=9，求BE、CE的长。

CD3，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，5分析：由sinB=

DEAC3?? ，可设DE=CD=3? ，DB=5?，则DBAB5AFEBBC=8?，AC=6?，AB=10?，再由AC+CD=9，可求出各边长。在Rt△BDE中，由勾股定理求BE长，过C作CF⊥AB，再用勾股定理求解。

解：∵sinB=

3DEAC3??，，∠ACB=90°，DE⊥AB，∴sinB=设DE=CD=3?，则DB=5?

5DBAB5又CD=DE=3?，∴CB=8?，∴AC=6?，AB=10?，∵AC+CD=9，∴6??3??9，∴??1

∴DE=3，DB=5，∴BE=52?32?4

DEBEBD52432???，求得CF=，BF= CFBFBC8551212225 ∴EF=，在Rt△CEF中，CF?EF?55过C作CF⊥AB于F，则CF∥DE，∴四、巩固练习

1. △ABC中，∠C=90°，a=40,c=41.

求40tanB?9sinB?9cosB的值。 ( 0 ) 2.计算①cos30??cos30??cot60??sin45? ( 1?②

2223 ) 2sin60??cos45? ( 1 )

cos30??sin45?43.△ABC中,AB=AC=5,BC=8,求cosB 。 （ ）

5五、课时小结．

1. 熟记锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值。

2. 三角函数定义的理解在复杂图形中求某角的三角函数值。 3. 通过作垂线构造Rt△，运用勾股定理列方程求解。 六、课作：

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1. △ABC中,2cosA?1?sinB?3,∠C= 60° ?022.△ABC中,∠C=90°,斜边上的中线长为m,且AC?45m，求最小角的余弦值。 ( ) 33A2. △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC上一点，

313且DC=2BD，DE⊥AB于E，求sin∠AEC的值。（）

13

3. △ABC中，∠C=30°，D为AC上一点，DB⊥BC，已 知AD︰DC=1︰2，求tan∠ABD的值。 （

EBDCAD3） 3BC4. △ABC中，∠C=90°，D为BC中点，DE⊥AB于E， tanB=

AE17，AE=7，求DE长。（） 23BDC第6课时 §25.3 解直角三角形（1）

教学目标：利用直角三角形边角之间的关系，解决与直角三角形有关的实际问题 1。知识与技能： 2.过程与方法：

3.情感态度与价值观：

教学重点：解直角三角形的有关知识 教学难点：运用所学知识解决实际问题 教学过程：

一、 复习提问

1. Rt△中的关系式.（∠C=90°） B1） 角：∠A﹢∠B=90°

2） 边；a ﹢b=c 3） 边角关系：sinA=

222abab coA= tanA= cotA=ccbaAC

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2. △ABC中,若∠C=90°,∠A=30°,c=10㎝,则a=

若∠A=40°,c=10㎝,则由sinA=

1c=5㎝,b=3a=53㎝； 2a,∴a?c?sinA?10sin40?,由cosA= cb,∴b?c?cosA?10cos40? c由以知的边角关系，求得未知的边与角，叫做解直角三角形。 二、 新授

看书P112例1、例2

得出：1.解Rt△的定义；在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解

直角三角形。

2.解Rt△，只有下面两种情况：1）已知两条边

2）已知一条边和一个锐角

3.在解Rt△的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个

有效数字，角度精确到1′。

例3. 某施工人员在离地面高度为5米的C处引拉电线杆，若固定点离电线杆3米，

如图所示，则至少需要多长的缆线AC才能拉住电线杆？（结果保留两位小数）

C 分析：由图可知，AC是Rt△ABC的斜边，利用勾股定理就可求出。 解：在Rt△ABC中，AC=

AB2?BC2=52?32=34≈5.83（米）

答：至少需要5.83米的缆线AC才能拉住电线杆。

A B三、引申提高：

例4. 如图，上午8时，小明从电视转播塔C的正北方向B处以15千米/时的速度沿着笔直的公路出发，2小时后到达A处，测得电视转播塔在他的南偏东50°的方向，试求出发前小明与电视转播塔之间的距离，并求出此时距电视转播塔有多远？（精确到1千米）

解：在RtABC中，∠CAB=90°－50°=40°，AB=15×2=30（千米），

A50BDCBC，∴BC?AB?tan?CAB?30tan40?≈25（千米）， ABABAB∵cos∠CAB=，∴AC=≈39（千米）

ACcos40?∵tan∠CAB=

答：出发前小明与电视转播塔的距离约25千米，此时距电视塔39千米。

变式： 若已知敌舰与A炮台的距离及∠DAC的读书分，如何求两炮台间的距离？

测量中能应用解直角三角形的知识吗？

四。巩固练习

《目标手册》P98，课内练习1-5

五．课时小结：

本节的重要内容是解Rt△的有关知识，解Rt△的依据是勾股定理.两锐角互余和边角

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之间的关系,一般有两种类型：已知两边，已知一边和一锐角，解题时要选择适当的关系式，尽可能使用原题数据和避免做除法运算。 六．课作。

P99 A组。B组。1—4

第7课时 §25.3解Rt△（2）

教学目标：分清仰角、俯角等概念的意义，准确把握这些概念解决一些实际问题 1。知识与技能： 2.过程与方法：

3.情感态度与价值观：

教学重点：仰角、俯角、等位角等概念 教学难点：解与此有关的问题 教学过程：

一、 仰角、俯角的概念

铅垂线 几个概念 1.铅垂线

2.水平线 仰角 3.视线

俯角 4.仰角：视线在水平线的上方，视线与水平线的夹角。 5.俯角：视线在水平线的下方，视线与水平线的夹角。 练习：1.由A测得B的仰角为36°，由B去测A时的俯角为 。

2.一棵树AC在地面上的影子BC为10米，在树影一端B测得树顶A的俯角为 45°，则树高 米；若仰角为60°，树高 米。（精确到1米） 二、 应用

例1．书P114 例4

例2.如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼，AB⊥CD，CD⊥BD，从甲楼顶A测乙楼顶C的仰角?=30°，已知甲楼高15米，两楼水平距离为24米，求乙楼高。

CA解：Rt△ACE中，CE=AE?tan??BD?tan??24tan30?=83m，

∴CD=CE+DE=CE+AB=（83+15）（米） 答：乙楼高为（83+15）米。

EBD三、引申提高：

例3.如图，为了测量顶部不能达到的建筑物AB的高度，现在地平面上取一点C，用测量仪测得A点的仰角为45°，再向前进20米取一点D，使点D在BC延长线上，此时测得A的仰角为30°，已知测量仪的高为1.5米，求建筑物AB的高度。

解：在Rt△AEG中，EG=AG?cot45?=AG，在Rt△AFG中，

AFG=AG?cot30?=3AG∴EF=FE－EG=（3－1）AG=20，

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FDECB∴AG=103+11.5（米）

答：建筑物AB的高度为（103+11.5）米。

说明：解此类问题的关键是建立实际问题的数学模型，即构建Rt△。必要时可添加适当的辅助线，解题时应选择适当的关系式进行解题，并按照题目中的要求进行近似计算。 变式：若点E在FG的延长线上，且∠AEG=45°，已知FE的长度，其他条件不变，如何求建筑物AB的高度？

例4.如图，在一座山的山顶处用高为1米的测顶器望地面C、D两点，测得俯角分别为 60°和45°，若已知DC长为20㎝，求山高。

分析：已知∠FAD=45°，∠FAC=60°，要求山高，只需求AE。

FAB解；设AE=?，在Rt△ADE中，DE?AE?tan45???， 在R△ACE中，CE?AE?tan30??CE=??3?=20， 33?，DC=DE－3D∴??30?103，∴BE=AE－AB=29＋103，

CE∴山高为（29+103）米。

四．巩固练习。

1. 了解仰角、俯角的概念。

2. 学会几何建模，通过解Rt△求解。 五．课作。

P101 A组。B组。1—5

第8课时 解直角三角形（3）

教学目标：弄清铅垂高度、水平长度、坡高（或坡比）、坡角等概念； 1。知识与技能： 2.过程与方法：

3.情感态度与价值观：

教学重点：理解坡度和坡角的概念

教学难点：利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题 教学过程：

一、复习提问：

第 15 页 共 23 页

什么叫仰角、俯角？ 二、坡度、坡角的概念

几个概念： 1、铅垂高度h

2、水平长度l

i=h:lh3、坡度（坡比）i:坡面的铅垂高度h和水平长度l的比

? li?h11???tan? lmlhh?tan? l4、坡角?：坡面与水平面的夹角?. i?显然，坡度i越大，坡角?就越大，坡面就越陡。

练习：1、沿山坡前进10米，相应升高5米，则山坡坡度

13，坡角 30°，

2、若一斜坡的坡面的余弦为

1310，则坡度i?,

3103、堤坝横断面是等腰梯形，（如图所示） ① 若AB=10,CD=4,高h=4，则坡度i=

4,AD= 5 3DAECFB②若AB=10,CD=4 ,i?例1、书P115 例4

1,则h? 2 ， 5例2、如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD,DC∥AB,迎水坡AD长为23米，上底DC长为2米，背水坡BC长也为2米，又测得∠DAB=30°,∠CBA=60°,求下底AB的长. 解：过D、C分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F,

在直角△ADE中,∠A=30°，AD=23

DAECFB∴DE=AD sin30°=3,AE=AD cos30°=3. 30° 60° 在直角△CBF中,BF=BC cos60°=1 ∴AB=AE+EF+BF=3+2+1=6 答：下底的长为6米。

思考：延长两腰或平移一腰能求出下底的长吗？

说明：以上解法体现了“转化”思想，把梯形的有关问题转化为解直角三角形可多角度的分析，添加辅助线，灵活、恰当地构造直角三角形，使解法合理化。

第 16 页 共 23 页

例3.铁道路基的横断面是等腰梯形,其尺寸如图所示,其中i=1:1.5是坡度每修1m长的这种路基,需要土石多少立方?

解:过A、D分别作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F.则AE=DF=1.2m. ∵i=1:1.5.ABCD为等腰梯形.

A10mD∴BE=CF=1.8m

∴BC=1.8+10+1.8=13.6m i=1:1.51∴SABCD=(10?13.6)?1.2?14.16㎡

B2∴V=1×14.16=14.16m

31.2mCEF答:需要土面14.16立方米。

三、引申提高：

例4.沿水库拦水坝的背水坡,将坝顶加宽2m,坡度由原来的1:2改为1:2.5,已知坝高6m,坝长50m,求：

FAD① 加宽部分横断面的面积

② 完成这一工程需要的土方是多少？

分析：加宽部分的横断面AFEB为梯形，故通过 ? ? E作梯形的高构造直角三角形，利用坡度的变化求解。

解：①设梯形ABCD为原大坝的横截面图，梯形AFEB为加宽部分， 过A、F分别作AG⊥BC于G，FH⊥BC于H，

BHGC在直角△ABG中，由iAB?1:2,AG=6,得BG=12 在直角△EFH中,由iEF?1:2.5,FH=6,得EH=15 ∴EB=EH-BH=EH－(BG－HG)=15－(12－2)=5 ∴SAFEB=1(2?5)?6?21㎡

2②V=50×SAFEB=21×50=1050m

四、巩固练习

P102 课内练习123 五、课时小结

1、 理解坡度、坡角的概念

2、 在复杂图形中求解时要结合图形，理解题意，运用所学知识通过构造直角三角形求解。 六、作业

P102 A、B组1—6

3第9课时 §19.4 解Rt△（4）

第 17 页 共 23 页

教学目标：综合运用前面所学的知识，通过添加适当的辅助线来构造Rt△,从而解决较复

杂的实际问题。 1。知识与技能： 2.过程与方法：

3.情感态度与价值观：

教学重点难点:利用前面所学知识，解决教复杂的实际问题 教学过程： 一、复习、练习

1.Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB于D,若AD=2，CD=4,则tanB=2.Rt△ABC中，∠A=90°,sinB=

1 2245 ,c=2,则b=

353 43.Rt△ABC中，∠C=90°，斜边上中线CD=3，AC=3.6，tan∠DCB=

二、应用

例1. 如图△ABC中，∠B=45°，∠C=60，AD⊥BC于D，AD=2，

求：（1）BC的长 （2）S?ABC

A解：（1）∵AD⊥BC，∠B=45°，∠C=60°，AD=2

∴BD=2，CD=

B223 ∴BC=2+3 33323）=2+

33

DC （2）∴S?ABC=1×2×（2+22例2. 如图，为调整数学格局，充分发挥资源优势，现将地处A、B两地的两所技校合并成职业技术教育中心，为方便A、B两校师生的交往，学校准备在相距5千米的A、B两地修筑一条笔直公路AB，经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北45°方向的C处有一半径为1.8千米的湖泊，问计划修筑的这条公路会不会穿过湖泊？ 分析：要想知道公路会不会穿过湖泊，就必须知道点C到AB的距离是否大于1.8

千米。

解：过C作CD⊥AB于D

由题意知∠CAD=30°，在Rt△ACD中，C6045AD=CD?cot?CAD?3CD，在Rt△BCD中，同理可得CD=DB，

BAD∴AB=AD+BD=（3+1）CD=5，∴CD≈1.84（千米）＞1.8千米

答：计划修筑的这条公路不会穿过湖泊。

例3. 如图，河对岸有一电线杆CD，从A点测得电线杆顶端的仰角为18°，前进30

米，到B处测得D点的仰角为36°，求电线杆的高度（精确到0.1米）

D第 18 页 共 23 页

3618CBA解：∵∠ADB=∠DBC-∠A=36°-18°=18°=∠A，∴DB=AB=30， 在Rt△ABC中，CD=BD?sin?DBC?30?0.5878≈17.6（米） 答：电线杆的高度约为17.6米。

三、引申提高：

例4. 如图，A城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A城南偏东30°的海面生

成，并以每小时40海里的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°的方向，若台风中心120海里的范围内将受台风影响，问A城是否会受9号台风影响？

分析：A城是否会受台风影响，就是A城到台风移动路线BC

EA的距离是否大于120千米。

30解：过A作AE⊥BC于E，设AE=EC=?，则BE=3?，

C∵BC=2×40=80，∴BC=BE-CE=（3-1）?=80， ∴??40(3?1)≈109.2＜120，

B∴A城会受台风影响。

三、巩固练习

《目标手册》P105，课内练习1，2，3

四、课时小结

运用所学知识解决实际问题，学会几何建模，通过解Rt△求解 五、课作

P105，课外作业1-4

第10课时. 第25章 小结与复习(1)

数学目标：1、正确运用勾股定理

2、掌握三角函数定义，正确运用直角三角形边角关系 3、理解实际问题的相关概念

1。知识与技能： 2.过程与方法：

3.情感态度与价值观：

教学过程： 一、复习

知识结构与学习要点；书P.118 二、练习：

第 19 页 共 23 页

（一）.1.Rt△中一直角边为7，三边长都为正整数，则周长为 53

2. Rt△中，斜边上中线为1，周长为2?7， 则面积为

3 43. Rt△中，两边长为2， 4. 则第三边长为23,或25

（二）1.一Rt△被斜边上的高分得的两个三角形面积之比为4：9，则Rt△中最小角的正

切为

6， 32,b?25,则a? 4 ，c? 6 ， 32. Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

3.如图△ABC中，∠B=60°，AD=14，CD=12，S△ADC=303，求BD；

A解；S△ADC=

1?12?AE?303 ∴AE?53 2Rt△AED中，ED?11, Rt△ABE中，BE?5

BEDC∴BD?5?11?16

4.△ABC中.AD⊥BC，M为BA中点，∠B=30°，cos∠ACD=

AM2，求tan∠BCM。 2解：设MN?k,则BM?AM?2k,BN?3k， ∵M为AB中点 ∴AD?2k,DN?3k

BNDC

5.计算或化简： ①

②tan??1?sin45??tan45?6?23 （ ）

tan60??cos30?3tan2??cot2??2（45°＜?＜90° （2tan??cot??1）

（三）.1.甲、乙两人与一路灯站在一直线上，从甲处看路灯顶部仰角为 ? ，从乙处看路灯顶部仰角 ? ，若路灯高h米，求甲、乙两人相距多少米？ 分析：应考虑两种情况：

1） 路灯在线段BC上，BC=h（cot??cot?）

第 20 页 共 23 页

2）路灯在线段BC延长线上，BC=h（cot??cot?）

2、一登山运动员在山脚C处仰望山顶B，仰角 ?=45°.他沿坡比为1:3的坡面走了1000m到达D处，此时仰角??60?，则山高多少米？

B略解：Rt△CDF中DF?EA?500米，CF?5003米

设DE?AF?x，在Rt△BDE中，BE?D60E3x

ACF ∵∠BCA=45°，∴AC=AB ∴5003?x?3x?500 ∴x?500米

三、课作：

P.107. A组1——8.

第11课时 第25章 小结与复习（2）

数学目标：熟练运用直角三角形边角关系解决相关问题. 1。知识与技能： 2.过程与方法：

3.情感态度与价值观：

教学过程： 一、复习： 计算：

(1)2sin30??2cos60??tan45? ( 1 ) (2)(cos35??2)?sin55??1 ( 1 ) (3)

2sin60??sin30? (2?3)

cos30??cos60?1 ) 6(4)(sin45??tan30?)(cos45??cot60?) ( (5)tan??2, 求

sin??2cos? （ 0 ）

3sin??cos?二、应用举例：

1、如图∠ACB＝90°.CD⊥AB于D.

第 21 页 共 23 页

C1）∠A＝30°.求

BD1 （ ） AB4ADB2）若∠BCD＝30°，AC＝6. 求DB长 （ 3 ）

2.在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（两树间的水平距离）为6m，则相邻两树间的实际距离为多少？（ 35m ）

3、一长为2.5m的梯子AB下端B与墙角O的距离1.5m，如滑动后停在DE位置，测得BD=0.5m。求梯子下落距离。

解：在Rt△ABO中.AB=2.5m. BO=1.5m. ∴AO=2m. A在Rt△DEO中.DO=2m. ED=2.5m. ∴EO=1.5m E∴AE=AO－EO=2－1.5=0.5.

∴梯子下落0.5m. DOB

4、将截面为等腰梯形的沙河改造，使两坡度由1：0.5变为1：1，已知河道深7m，长90m，求完成这一工程挖土多少方？

解：设ABCD为原截面，EBCF为改造后的截面. ∵iAB?1:0.5,BG?7 ∴AG?3.5 ∵iBE?1:1,BG?7 ∴AE?3.5

EAGHDF1S=2S△ABE=2××3.5×7=24.5㎡

2BC

5、△ABC中.∠C=90°.D在B、C上 .DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE：AE=1：5，BC=3cm。求；（1）Sin∠DAE. （2）cos∠B（3）S△ABD.

解：设DE?x,则AE?5x,AD?26x,AC?CD?13x,BD?x2?9

Ax2?9由△BDE∽△DAC 得 ?5x?313xx2得 2x?5x?18?0得x??EBDC9（舍）x?2 2∴sin∠ADE=

263132,COS∠B= S△ABD=13cm 2613第 22 页 共 23 页

6、如图：平面镜EF的同侧有相距213 ㎝的A.B两点，它们与平面镜距离分别为5cm、7cm.现要从A点射出的垂线经平面镜反射出后通过点B，求出光线的投射角。

三、课作

.P108. B组9—13

解：过A作AM⊥BF于M，则BM?2,AB?213

∴AM?413

在Rt△AOE中，DE?5tan?,OF?7tan? ，

EF?EO?FO?12tan??43

∴tan??3 ∴??30? 即投射角为30°

3第 23 页 共 23 页

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