华师大最新版《解直角三角形》全章节教案
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第25章 解直角三角形
第1课时 25.1测量
教学目标:1。知识与技能:利用前面学习的相似三角形的有关知识,探索测量距离的几
种方法,初步接触直角三角形的边角关系。
2.过程与方法: 通过操作、观察、培养学生动手和归纳问题的能力。
在观察、操作、培养等过程中,发展学生的推理能力。
3.情感态度与价值观:通过运用相似及已学过的知识探索解三角形的方法,体验教学研究和发现的过程,逐渐培养学生用数学说理的习惯,唤起学生学习后续内容的积极性。
教学重点:探索测量距离的几种方法。
教学难点:选择适当的方法测量物体的高度或长度。 教学设想: 1.课型:新授课
2.教学思路:直观感知-操作确认-合情说理-应用提高. 教学过程:
一。复习引入:
当你走进学校,仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时,你也许想知道操场旗杆有多高?我们知道可以利用相似三角形的对应边,首先请同学量出太阳下自己的影子长度,旗杆的影子长度,再根据自己的身高,计算出旗杆的高度。如果在阴天,你一个人能测量出旗杆的高度吗? 二。新课探究:
B例1. 书.P.86试一试.
如图所示,站在离旗杆BE底部10米处的D点,目测旗杆的顶AC部,视线AB与水平线的夹角∠BAC=34°,并已知目高AD为1米。EDB现在请你按1:500的比例得△ABC画在纸上,并记为△A1B1C1,用刻
度尺量出纸上B1C1的长度,便可以算出旗杆的实际高度。你知道计
CA算的方法吗?
解:∵△ABC∽△A1B2C3, ∴AC:A1C1=BC:B1C1=500:1
∴只要用刻度尺量出纸上B1C1的长度,就可以计算出BC的长度,加上AD长即为旗杆的高度。若量得B1C1=a㎝,则BC=500a㎝=5a㎝。故旗杆高(1+5a)m.
说明:利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时,关键是构造和实物相似的三角形,且能直接测量出这个三角形各条线段的长,再列式计算出实物的高或宽等。
例2.为了测出旗杆的高度,设计了如图所示的三种方案,并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m图(c)中BD=9m,EF=0.2;此人的臂长为0.6m。
(1) 说明其中运用的主要知识;(2)分别计算出旗杆的高度。
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AAAECCFCBODBDBDF(a) (b) (c) E分析:图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质,图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质。
解:(1)∵△AOB∽△COD,∴CDAB?OBAB 即1.7OD?36.4 ∴AB=3(m).
(2)∵同一时刻物高与影长成正比,∴BE(3)∵△CEF∽△CAB ∴ABEFAB?CDDFAB 即1.8?01.6 ∴AB=3(m).
?FG0.2BD 即AB.6?09 ∴AB=3(m).
方法技巧:测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似形的性质求出物
高,也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度。 三、引申提高:
例3。设计一种方案,测量学校科技楼的高度。请写出测量的过程,并简要说明这样做的理由。
分析:测量大楼的高度的方法很多,现采用一种方法,利用人的身高和标杆,依据相似三角形三角对应成比例和平行线的性质,可测出大楼的高度。
解答:测量过程如下: A1、在地面上立一个标杆,使人眼、杆顶、楼顶在一条直线上。
2、测出CF、CH的距离。
大楼 3、算出KE的长度。 D4、用标杆长度减去人的身高,即DE的长度。 KBE标杆 5、由DE∥AB得△KDE∽△KAB。又因为相似三角形三边对应成比HCF6、再将刚才测量的数值代入比例式中,计算出AB的长度。
例,∴ABDE?KEKB。
7、用AB加上人的身高即得出大楼的高度。
探究点拔:1.选择测量的方法应是切实可行的。如本题中人眼、杆顶、楼顶在一条直线上(人是站立的)。
2.大楼的高度=AB+人高。
3.测量的过程要清楚,力求每步都有根有据,达到学以至用。 四.巩固练习:
1.如图1,要测量A、B两点间距离,在O点设桩,取OA中点C,OB中点D,测得CD=31.4m 求AB长。 (AB=62.8m)
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AA
CODBCB(1) (2)
2. 如图2, 为了测量河的宽度,可以先在河对岸找到一个具有明显标志的点A,再在所在的一边找到两点B、C,使△ABC构成Rt△。如果测得BC=50米,∠ABC=73°,试设计一种方法求河的宽度AC。 (在地面上另作 Rt△A’B’C’,使B’C’=5米,∠C’=Rt∠,∠B’=73°, 测得 A’C’=16.35米,得 AC=16.35米 ). 五.课时小结:
选择适当的方法测量物体的高度或长度等是新时期素质教育的要求,运用所学相似三角形知识设计测量方案时一定要考虑可行性,力求操作简便,计算简洁,同时注意分析环境、天气等要素。 六.课外作业: P.87 1—3 七.课后反思:
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第2课时 25.2.1锐角三角函数(1)
教学目标:1。知识与技能:直角三角形可简记为Rt△ABC;理解Rt△中锐角的正弦、余
弦、正切、余切的概念。
2.过程与方法:应尽量把解直角三角形与实际问题联系起来,减少单纯解直角
三角形的习题,在解决实际问题时,应使学生养成“先画图,再求解”的习惯 。 将解直角三角形的应用分为几种问题类型,注意问题选取的多样性,有时解决一个问题,往往可以用不同的三角函数关系式,这时应引导学生合理地选择关系式,经历观察、操作、归纳与猜想,体会科学发现这一重要方法。
3.情感态度与价值观:培养学生合情推理、数学说理及转化思想。 教学重点:四种锐角三角函数的定义。 教学难点:理解锐角三角函数的定义。 教学过程:
一.复习提问:
1. 什么叫Rt△?它的三边有何关系?
2.Rt△中角、边之间的关系是:①∠A+∠B=90°②a?b?c 二.新课探究:
1.Rt△ABC中,某个角的对边、邻边的介绍。
2.如图,由Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3
B222AB1B1CB1BCBCBC得11?22?33?k, AC1AC2AC3可见,在Rt△ABC中,对于锐角A的每一
个确定的值,其对边与邻边的比值是惟一确定的。 AC1C2C3同样,其对边与斜边,邻边与斜边,邻边与对边的比值也是惟一确定的。 3.四种锐角三角函数。
sinA??A的对边,cosA??A的斜边?A的对边tanA?,cotA??A的邻边?A的邻边,?A的斜边
?A的邻边,?A的对边分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切,统称为锐角∠A的三角函数. 显然,锐角三角函数值都是正实数,并且0
sinA?cosA?1,tanA?cotA?1
三.四种三角函数值
例1.①求出如图所示的Rt△ABC中,∠A的四个三角函数值。
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22解:Rt△ABC中,AB=BC2?AC2=152?82=17
BC8AC15?? ,cosA=
BAB17AB17BC8AC15?,cotA=? 8 tanA=
AC15BC8 ∴sinA=
②若图中AC︰BC=4︰3呢? A 15 解:设AC=4?,BC=3?,则AB=5?
C3434,cosA=,tanA=,cotA= 55433③若图中tanA=呢?(解法同上)
4 ∴sinA=
例2.△ABC中,∠B=90°,a=5,b=13,求∠A的四个三角函数值。
B解:Rt△ABC中,c=b2?a2=132?52=12 ∴sinA=
A512512,cosA=,tanA=,cotA= 1313125C注意:解Rt△,如无图,应根据题意自己画图,寻找线段比值也应根据定义,不能死
记公式。
四.巩固练习:
书P911-3
五.引申提高:
例3.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若AD=2,BD=8。 C求cosB。你还能求什么? 法一:Rt△BCD,cosB?BD25 ?BC5BC25? AB5ADB法二:Rt△ABC中,cosB?变式:若AD:BD=9:16, 求∠A的四个三角函数值。 ( 六.课时小结:
灵活运用四个三角函数求值。 七.课外作业:
P.93 1、2 八.课后反思:
4343,,, ) 5534
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第3课时 锐角三角函数(2)--------特殊值
教学目标:1。知识与技能:使学生熟记30°、45°、60°的三角函数值
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一
半。
2.过程与方法:
3.情感态度与价值观:
教学重点:特殊角的三角函数值。 教学过程:
B一、 复习:
1.什么叫锐角A的正弦、余弦、正切、余切? 2.如图,∠C=90°,AC=7,BC=2
AC(1) 求∠A和∠B的四个三角函数值 (∠A:25353,75353,27 ∠B:7,725353,25353,72) ,27(2) 比较求值结果,你发现了什么?
(sinA=cosB, cosA=sinB, tanA=cotB, cotA=tanB) 得出:如果两个锐角互余,则有 sin(90°-A)=cosA, cos(90°-A)=sinA, tan(90°-A)=cotA, cot(90°-A)=tan A
二、 新授
1.推导特殊角的三角函数值
例1、直角△ABC中,∠A=30°,求sinA、cosA 、tanA、 cotA 由sin30°=
1得出: 2在直角三角形中如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
练习:∠A=45°、∠A=60°呢? 归纳特殊角的三角函数值:
? sin? cos? tan? cot? 30° 45° 60° 1 22 23 23 33 1 3 32 2 1 3 21 23 2.已知特殊角的三角函值求锐角
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例2.①已知sinA=
1,则∠A= 30° ; 21,则∠B= 60° ; 2②已知tanA=1,则∠A= 45° ; ③已知cosB=
④已知sinB=
3,则∠B= 60° ; 2⑤已知3cot??3?0,则∠?= 60° ; ⑥已知3sin(??15?)?3,则∠?? 75° ; 2⑦已知
?2sinA?1?tanB??23?0,A,B为△ABC的内角,则∠C = 75° ; 3⑧已知tan2??(1?3)tan??3?0,则?? 45°或60° ; 3.计算:
例3.①2sin30??3cos60??tan45? (
7 ) 2cos30??tan45?1② ( ) cot30??2cot45?2③sin30??cos30? ( 1 )
④sin60??2sin60??1?1?sin30? (
23?3 ) 2三、 引申提高:
(cos??1)2?sin??1 ( sin??cos? )
注意: ①sin30??(sin30?)?sin30? ②0<sin?<1, 0<cos?<1 四、 巩固练习
222
计算①3tan30??cot50??2tan45??2sin60? ( 23?1 )
sin45??cos45??cos30? ( 0 )
cot60??tan60?11?③ ( 43 )
sin60??cos45?sin45??cos30?②
④(cos60??1)?1?sin30? ( 1 )
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2五、 课时小结
1.特殊角30°45°60°的四种三角函数值, 2.注意30°、60°角的函数值的区别 六、课作
P95课内练习5 A组 5 B组 6、7、8
第4课时 锐角三角形函数(3)-----计算器求值
数学目标:利用计算器求出任意一个锐角的四个三角形函值;同时已知一个锐角的三角形
函数值可求出这个锐角。
1。知识与技能: 2.过程与方法:
3.情感态度与价值观:
数学重点:利用计算器求三角函数值和锐角。
数学难点:用计数器求锐角三角函数值是要注意按键顺序。 数学过程: 一、复习提问
1、30° 、45°、60° 的三角函数值。 2、计算:1)
123?1sin60??cos45??sin30??cos30? ( ) 2222)
cos60??tan45?2?3 ( )
cot30??2cot45?223)△ABC中,(2sinA?3)?2?cosB?0.求△ABC的三个内角。
二、新授
1、求已知锐角的三角函数值。
例1.求sin63°52′41″的值(精确到0.00001)
分析:由于计算器在计算角的三角函数值时,角的单位用的是度,所以我们必须先把角63°52′42″转换为″度″。
解:如下方法将角度单位状态设定为″度″: MODE MODE 1 D 显示
再按下列顺序依次按键:
Sin 63 0 1 11 52 0 1 11 41 0 1 11 =
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显示结果为0.897859012 ∴Sin63°52′41″≈0.8979
例2.求cot70°45 ″的值(精确到0.0001).
分析:因为计数器上无法计算余切值,于是我们根据tanA.cotA=1, 用cotA?1 来计算。 tanA解:在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示出 ),按下列顺序依次按键: D
1 tan 70 0 1 11 45 0 1 11 ÷ 0.349215633. = 显示结果为∴cot70°45′≈0.3492. 巩固练习:
书P.111. 练习.1.
2.由锐角三角函数值求锐角.
例3. 已知tanx=0.7410. 求锐角x.(精确到1′).
D 解:在角度单位状态为″度″的情况下(屏幕显示出 ) ,按下列顺序依次按键: -1 SHIFT Tan0 . 7 4 1 0 = 显示结果为:36.53844577.
再按键 显示结果为36°32°18.4 . SHITFT 0 1 11
∴x≈36°32′
注意:由角x的三角函数值求角x,按键的次序有所不同,它与求角x的三角函数值是一个“互递”的过程。
例4:已知cotx=0.7410. 求锐角x.(精确到1′)
分析:根据tanx?解:∵cotx=0.7410,
∴tanx?1可以求出tanx的值.然后根据例3的方法可求出锐角x. cotx1?1.349527665
0.7410
三、巩固练习: 书P.111.练习2. 四、课时小结。
1. 利用计数器求出任意一个锐角的四个三角函数值,同时已知一个锐角函数值可求出这
个锐角。
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2. 求已知锐角的余切时,应先求出正切值,再根据tanx?注意近似要求. 五、课作:
P.97.课内练习.1.2 A组.B组 1---4
1求出其余切值;结果应cotx第5课时 锐角三角形函数(4)—复习
教学目标:熟练运用三角函数知识解题 1。知识与技能: 2.过程与方法:
3.情感态度与价值观:
教学重点:锐角三角函数
教学难点:锐角三角函数的运用 教学过程: 一、 复习
1. 直角三角形中四个锐角三角函数的求法 2. 特殊三角的三角函数值
3. 练习:书P111习题19.3 1-5 二、
EBOCD新授
A例1.如图,菱形ABCD中,对角线AC=16,BD=30,求:①∠ABD的四
个三角函数值。②sin∠ABC
解:①在菱形ABCD中,AO=CO=8,BO=DO=15,AC⊥BD,∴
AB=BO2?AO2=82?152=17
AO815815?,cos∠ABD=,tan∠ABD=,cot∠ABD= AB17158171②过C作CE⊥AB于E,菱形ABCD中,AB=BC=17,S菱形ABCD=AC?BD?AB?CE
21240 ∴×16×30=17?CE,∴CE=
217CE240?Rt△BCE中,sin∠ABC= CB2893例2.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,求cosA的值
4在Rt△ABO中,sin∠ABD=
分析:本题可有两种方法求解
1. 利用∠A的正弦、余弦的定义来解 2. 利用同角三角函数中的平方关系式
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解法一:设a=3?,c=4?,则b=7?,∴cosA=?bc7?7 ?4?4解法二:∵sinA+cosA=1,sinA=三。引申提高:
2233272,∴cosA=1?sinA?1?()? 444例3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sinB=AC+CD=9,求BE、CE的长。
CD3,D是BC上一点,DE⊥AB于E,CD=DE,5分析:由sinB=
DEAC3?? ,可设DE=CD=3? ,DB=5?,则DBAB5AFEBBC=8?,AC=6?,AB=10?,再由AC+CD=9,可求出各边长。在Rt△BDE中,由勾股定理求BE长,过C作CF⊥AB,再用勾股定理求解。
解:∵sinB=
3DEAC3??,,∠ACB=90°,DE⊥AB,∴sinB=设DE=CD=3?,则DB=5?
5DBAB5又CD=DE=3?,∴CB=8?,∴AC=6?,AB=10?,∵AC+CD=9,∴6??3??9,∴??1
∴DE=3,DB=5,∴BE=52?32?4
DEBEBD52432???,求得CF=,BF= CFBFBC8551212225 ∴EF=,在Rt△CEF中,CF?EF?55过C作CF⊥AB于F,则CF∥DE,∴四、巩固练习
1. △ABC中,∠C=90°,a=40,c=41.
求40tanB?9sinB?9cosB的值。 ( 0 ) 2.计算①cos30??cos30??cot60??sin45? ( 1?②
2223 ) 2sin60??cos45? ( 1 )
cos30??sin45?43.△ABC中,AB=AC=5,BC=8,求cosB 。 ( )
5五、课时小结.
1. 熟记锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值。
2. 三角函数定义的理解在复杂图形中求某角的三角函数值。 3. 通过作垂线构造Rt△,运用勾股定理列方程求解。 六、课作:
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1. △ABC中,2cosA?1?sinB?3,∠C= 60° ?022.△ABC中,∠C=90°,斜边上的中线长为m,且AC?45m,求最小角的余弦值。 ( ) 33A2. △ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是BC上一点,
313且DC=2BD,DE⊥AB于E,求sin∠AEC的值。()
13
3. △ABC中,∠C=30°,D为AC上一点,DB⊥BC,已 知AD︰DC=1︰2,求tan∠ABD的值。 (
EBDCAD3) 3BC4. △ABC中,∠C=90°,D为BC中点,DE⊥AB于E, tanB=
AE17,AE=7,求DE长。() 23BDC第6课时 §25.3 解直角三角形(1)
教学目标:利用直角三角形边角之间的关系,解决与直角三角形有关的实际问题 1。知识与技能: 2.过程与方法:
3.情感态度与价值观:
教学重点:解直角三角形的有关知识 教学难点:运用所学知识解决实际问题 教学过程:
一、 复习提问
1. Rt△中的关系式.(∠C=90°) B1) 角:∠A﹢∠B=90°
2) 边;a ﹢b=c 3) 边角关系:sinA=
222abab coA= tanA= cotA=ccbaAC
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2. △ABC中,若∠C=90°,∠A=30°,c=10㎝,则a=
若∠A=40°,c=10㎝,则由sinA=
1c=5㎝,b=3a=53㎝; 2a,∴a?c?sinA?10sin40?,由cosA= cb,∴b?c?cosA?10cos40? c由以知的边角关系,求得未知的边与角,叫做解直角三角形。 二、 新授
看书P112例1、例2
得出:1.解Rt△的定义;在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解
直角三角形。
2.解Rt△,只有下面两种情况:1)已知两条边
2)已知一条边和一个锐角
3.在解Rt△的过程中,常会遇到近似计算,本书除特别说明外,边长保留四个
有效数字,角度精确到1′。
例3. 某施工人员在离地面高度为5米的C处引拉电线杆,若固定点离电线杆3米,
如图所示,则至少需要多长的缆线AC才能拉住电线杆?(结果保留两位小数)
C 分析:由图可知,AC是Rt△ABC的斜边,利用勾股定理就可求出。 解:在Rt△ABC中,AC=
AB2?BC2=52?32=34≈5.83(米)
答:至少需要5.83米的缆线AC才能拉住电线杆。
A B三、引申提高:
例4. 如图,上午8时,小明从电视转播塔C的正北方向B处以15千米/时的速度沿着笔直的公路出发,2小时后到达A处,测得电视转播塔在他的南偏东50°的方向,试求出发前小明与电视转播塔之间的距离,并求出此时距电视转播塔有多远?(精确到1千米)
解:在RtABC中,∠CAB=90°-50°=40°,AB=15×2=30(千米),
A50BDCBC,∴BC?AB?tan?CAB?30tan40?≈25(千米), ABABAB∵cos∠CAB=,∴AC=≈39(千米)
ACcos40?∵tan∠CAB=
答:出发前小明与电视转播塔的距离约25千米,此时距电视塔39千米。
变式: 若已知敌舰与A炮台的距离及∠DAC的读书分,如何求两炮台间的距离?
测量中能应用解直角三角形的知识吗?
四。巩固练习
《目标手册》P98,课内练习1-5
五.课时小结:
本节的重要内容是解Rt△的有关知识,解Rt△的依据是勾股定理.两锐角互余和边角
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之间的关系,一般有两种类型:已知两边,已知一边和一锐角,解题时要选择适当的关系式,尽可能使用原题数据和避免做除法运算。 六.课作。
P99 A组。B组。1—4
第7课时 §25.3解Rt△(2)
教学目标:分清仰角、俯角等概念的意义,准确把握这些概念解决一些实际问题 1。知识与技能: 2.过程与方法:
3.情感态度与价值观:
教学重点:仰角、俯角、等位角等概念 教学难点:解与此有关的问题 教学过程:
一、 仰角、俯角的概念
铅垂线 几个概念 1.铅垂线
2.水平线 仰角 3.视线
俯角 4.仰角:视线在水平线的上方,视线与水平线的夹角。 5.俯角:视线在水平线的下方,视线与水平线的夹角。 练习:1.由A测得B的仰角为36°,由B去测A时的俯角为 。
2.一棵树AC在地面上的影子BC为10米,在树影一端B测得树顶A的俯角为 45°,则树高 米;若仰角为60°,树高 米。(精确到1米) 二、 应用
例1.书P114 例4
例2.如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼,AB⊥CD,CD⊥BD,从甲楼顶A测乙楼顶C的仰角?=30°,已知甲楼高15米,两楼水平距离为24米,求乙楼高。
CA解:Rt△ACE中,CE=AE?tan??BD?tan??24tan30?=83m,
∴CD=CE+DE=CE+AB=(83+15)(米) 答:乙楼高为(83+15)米。
EBD三、引申提高:
例3.如图,为了测量顶部不能达到的建筑物AB的高度,现在地平面上取一点C,用测量仪测得A点的仰角为45°,再向前进20米取一点D,使点D在BC延长线上,此时测得A的仰角为30°,已知测量仪的高为1.5米,求建筑物AB的高度。
解:在Rt△AEG中,EG=AG?cot45?=AG,在Rt△AFG中,
AFG=AG?cot30?=3AG∴EF=FE-EG=(3-1)AG=20,
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FDECB∴AG=103+11.5(米)
答:建筑物AB的高度为(103+11.5)米。
说明:解此类问题的关键是建立实际问题的数学模型,即构建Rt△。必要时可添加适当的辅助线,解题时应选择适当的关系式进行解题,并按照题目中的要求进行近似计算。 变式:若点E在FG的延长线上,且∠AEG=45°,已知FE的长度,其他条件不变,如何求建筑物AB的高度?
例4.如图,在一座山的山顶处用高为1米的测顶器望地面C、D两点,测得俯角分别为 60°和45°,若已知DC长为20㎝,求山高。
分析:已知∠FAD=45°,∠FAC=60°,要求山高,只需求AE。
FAB解;设AE=?,在Rt△ADE中,DE?AE?tan45???, 在R△ACE中,CE?AE?tan30??CE=??3?=20, 33?,DC=DE-3D∴??30?103,∴BE=AE-AB=29+103,
CE∴山高为(29+103)米。
四.巩固练习。
1. 了解仰角、俯角的概念。
2. 学会几何建模,通过解Rt△求解。 五.课作。
P101 A组。B组。1—5
第8课时 解直角三角形(3)
教学目标:弄清铅垂高度、水平长度、坡高(或坡比)、坡角等概念; 1。知识与技能: 2.过程与方法:
3.情感态度与价值观:
教学重点:理解坡度和坡角的概念
教学难点:利用坡度和坡角等条件,解决有关的实际问题 教学过程:
一、复习提问:
第 15 页 共 23 页
什么叫仰角、俯角? 二、坡度、坡角的概念
几个概念: 1、铅垂高度h
2、水平长度l
i=h:lh3、坡度(坡比)i:坡面的铅垂高度h和水平长度l的比
? li?h11???tan? lmlhh?tan? l4、坡角?:坡面与水平面的夹角?. i?显然,坡度i越大,坡角?就越大,坡面就越陡。
练习:1、沿山坡前进10米,相应升高5米,则山坡坡度
13,坡角 30°,
2、若一斜坡的坡面的余弦为
1310,则坡度i?,
3103、堤坝横断面是等腰梯形,(如图所示) ① 若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i=
4,AD= 5 3DAECFB②若AB=10,CD=4 ,i?例1、书P115 例4
1,则h? 2 , 5例2、如图,水库堤坝的横断面成梯形ABCD,DC∥AB,迎水坡AD长为23米,上底DC长为2米,背水坡BC长也为2米,又测得∠DAB=30°,∠CBA=60°,求下底AB的长. 解:过D、C分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F,
在直角△ADE中,∠A=30°,AD=23
DAECFB∴DE=AD sin30°=3,AE=AD cos30°=3. 30° 60° 在直角△CBF中,BF=BC cos60°=1 ∴AB=AE+EF+BF=3+2+1=6 答:下底的长为6米。
思考:延长两腰或平移一腰能求出下底的长吗?
说明:以上解法体现了“转化”思想,把梯形的有关问题转化为解直角三角形可多角度的分析,添加辅助线,灵活、恰当地构造直角三角形,使解法合理化。
第 16 页 共 23 页
例3.铁道路基的横断面是等腰梯形,其尺寸如图所示,其中i=1:1.5是坡度每修1m长的这种路基,需要土石多少立方?
解:过A、D分别作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F.则AE=DF=1.2m. ∵i=1:1.5.ABCD为等腰梯形.
A10mD∴BE=CF=1.8m
∴BC=1.8+10+1.8=13.6m i=1:1.51∴SABCD=(10?13.6)?1.2?14.16㎡
B2∴V=1×14.16=14.16m
31.2mCEF答:需要土面14.16立方米。
三、引申提高:
例4.沿水库拦水坝的背水坡,将坝顶加宽2m,坡度由原来的1:2改为1:2.5,已知坝高6m,坝长50m,求:
FAD① 加宽部分横断面的面积
② 完成这一工程需要的土方是多少?
分析:加宽部分的横断面AFEB为梯形,故通过 ? ? E作梯形的高构造直角三角形,利用坡度的变化求解。
解:①设梯形ABCD为原大坝的横截面图,梯形AFEB为加宽部分, 过A、F分别作AG⊥BC于G,FH⊥BC于H,
BHGC在直角△ABG中,由iAB?1:2,AG=6,得BG=12 在直角△EFH中,由iEF?1:2.5,FH=6,得EH=15 ∴EB=EH-BH=EH-(BG-HG)=15-(12-2)=5 ∴SAFEB=1(2?5)?6?21㎡
2②V=50×SAFEB=21×50=1050m
四、巩固练习
P102 课内练习123 五、课时小结
1、 理解坡度、坡角的概念
2、 在复杂图形中求解时要结合图形,理解题意,运用所学知识通过构造直角三角形求解。 六、作业
P102 A、B组1—6
3第9课时 §19.4 解Rt△(4)
第 17 页 共 23 页
教学目标:综合运用前面所学的知识,通过添加适当的辅助线来构造Rt△,从而解决较复
杂的实际问题。 1。知识与技能: 2.过程与方法:
3.情感态度与价值观:
教学重点难点:利用前面所学知识,解决教复杂的实际问题 教学过程: 一、复习、练习
1.Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,若AD=2,CD=4,则tanB=2.Rt△ABC中,∠A=90°,sinB=
1 2245 ,c=2,则b=
353 43.Rt△ABC中,∠C=90°,斜边上中线CD=3,AC=3.6,tan∠DCB=
二、应用
例1. 如图△ABC中,∠B=45°,∠C=60,AD⊥BC于D,AD=2,
求:(1)BC的长 (2)S?ABC
A解:(1)∵AD⊥BC,∠B=45°,∠C=60°,AD=2
∴BD=2,CD=
B223 ∴BC=2+3 33323)=2+
33
DC (2)∴S?ABC=1×2×(2+22例2. 如图,为调整数学格局,充分发挥资源优势,现将地处A、B两地的两所技校合并成职业技术教育中心,为方便A、B两校师生的交往,学校准备在相距5千米的A、B两地修筑一条笔直公路AB,经测量,在A地的北偏东60°方向,B地的西偏北45°方向的C处有一半径为1.8千米的湖泊,问计划修筑的这条公路会不会穿过湖泊? 分析:要想知道公路会不会穿过湖泊,就必须知道点C到AB的距离是否大于1.8
千米。
解:过C作CD⊥AB于D
由题意知∠CAD=30°,在Rt△ACD中,C6045AD=CD?cot?CAD?3CD,在Rt△BCD中,同理可得CD=DB,
BAD∴AB=AD+BD=(3+1)CD=5,∴CD≈1.84(千米)>1.8千米
答:计划修筑的这条公路不会穿过湖泊。
例3. 如图,河对岸有一电线杆CD,从A点测得电线杆顶端的仰角为18°,前进30
米,到B处测得D点的仰角为36°,求电线杆的高度(精确到0.1米)
D第 18 页 共 23 页
3618CBA解:∵∠ADB=∠DBC-∠A=36°-18°=18°=∠A,∴DB=AB=30, 在Rt△ABC中,CD=BD?sin?DBC?30?0.5878≈17.6(米) 答:电线杆的高度约为17.6米。
三、引申提高:
例4. 如图,A城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A城南偏东30°的海面生
成,并以每小时40海里的速度向正北方向移动,上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°的方向,若台风中心120海里的范围内将受台风影响,问A城是否会受9号台风影响?
分析:A城是否会受台风影响,就是A城到台风移动路线BC
EA的距离是否大于120千米。
30解:过A作AE⊥BC于E,设AE=EC=?,则BE=3?,
C∵BC=2×40=80,∴BC=BE-CE=(3-1)?=80, ∴??40(3?1)≈109.2<120,
B∴A城会受台风影响。
三、巩固练习
《目标手册》P105,课内练习1,2,3
四、课时小结
运用所学知识解决实际问题,学会几何建模,通过解Rt△求解 五、课作
P105,课外作业1-4
第10课时. 第25章 小结与复习(1)
数学目标:1、正确运用勾股定理
2、掌握三角函数定义,正确运用直角三角形边角关系 3、理解实际问题的相关概念
1。知识与技能: 2.过程与方法:
3.情感态度与价值观:
教学过程: 一、复习
知识结构与学习要点;书P.118 二、练习:
第 19 页 共 23 页
(一).1.Rt△中一直角边为7,三边长都为正整数,则周长为 53
2. Rt△中,斜边上中线为1,周长为2?7, 则面积为
3 43. Rt△中,两边长为2, 4. 则第三边长为23,或25
(二)1.一Rt△被斜边上的高分得的两个三角形面积之比为4:9,则Rt△中最小角的正
切为
6, 32,b?25,则a? 4 ,c? 6 , 32. Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=
3.如图△ABC中,∠B=60°,AD=14,CD=12,S△ADC=303,求BD;
A解;S△ADC=
1?12?AE?303 ∴AE?53 2Rt△AED中,ED?11, Rt△ABE中,BE?5
BEDC∴BD?5?11?16
4.△ABC中.AD⊥BC,M为BA中点,∠B=30°,cos∠ACD=
AM2,求tan∠BCM。 2解:设MN?k,则BM?AM?2k,BN?3k, ∵M为AB中点 ∴AD?2k,DN?3k
BNDC
5.计算或化简: ①
②tan??1?sin45??tan45?6?23 ( )
tan60??cos30?3tan2??cot2??2(45°<?<90° (2tan??cot??1)
(三).1.甲、乙两人与一路灯站在一直线上,从甲处看路灯顶部仰角为 ? ,从乙处看路灯顶部仰角 ? ,若路灯高h米,求甲、乙两人相距多少米? 分析:应考虑两种情况:
1) 路灯在线段BC上,BC=h(cot??cot?)
第 20 页 共 23 页
2)路灯在线段BC延长线上,BC=h(cot??cot?)
2、一登山运动员在山脚C处仰望山顶B,仰角 ?=45°.他沿坡比为1:3的坡面走了1000m到达D处,此时仰角??60?,则山高多少米?
B略解:Rt△CDF中DF?EA?500米,CF?5003米
设DE?AF?x,在Rt△BDE中,BE?D60E3x
ACF ∵∠BCA=45°,∴AC=AB ∴5003?x?3x?500 ∴x?500米
三、课作:
P.107. A组1——8.
第11课时 第25章 小结与复习(2)
数学目标:熟练运用直角三角形边角关系解决相关问题. 1。知识与技能: 2.过程与方法:
3.情感态度与价值观:
教学过程: 一、复习: 计算:
(1)2sin30??2cos60??tan45? ( 1 ) (2)(cos35??2)?sin55??1 ( 1 ) (3)
2sin60??sin30? (2?3)
cos30??cos60?1 ) 6(4)(sin45??tan30?)(cos45??cot60?) ( (5)tan??2, 求
sin??2cos? ( 0 )
3sin??cos?二、应用举例:
1、如图∠ACB=90°.CD⊥AB于D.
第 21 页 共 23 页
C1)∠A=30°.求
BD1 ( ) AB4ADB2)若∠BCD=30°,AC=6. 求DB长 ( 3 )
2.在坡度为1:2的山坡上种树,要求株距(两树间的水平距离)为6m,则相邻两树间的实际距离为多少?( 35m )
3、一长为2.5m的梯子AB下端B与墙角O的距离1.5m,如滑动后停在DE位置,测得BD=0.5m。求梯子下落距离。
解:在Rt△ABO中.AB=2.5m. BO=1.5m. ∴AO=2m. A在Rt△DEO中.DO=2m. ED=2.5m. ∴EO=1.5m E∴AE=AO-EO=2-1.5=0.5.
∴梯子下落0.5m. DOB
4、将截面为等腰梯形的沙河改造,使两坡度由1:0.5变为1:1,已知河道深7m,长90m,求完成这一工程挖土多少方?
解:设ABCD为原截面,EBCF为改造后的截面. ∵iAB?1:0.5,BG?7 ∴AG?3.5 ∵iBE?1:1,BG?7 ∴AE?3.5
EAGHDF1S=2S△ABE=2××3.5×7=24.5㎡
2BC
5、△ABC中.∠C=90°.D在B、C上 .DE⊥AB于E,∠ADC=45°,若DE:AE=1:5,BC=3cm。求;(1)Sin∠DAE. (2)cos∠B(3)S△ABD.
解:设DE?x,则AE?5x,AD?26x,AC?CD?13x,BD?x2?9
Ax2?9由△BDE∽△DAC 得 ?5x?313xx2得 2x?5x?18?0得x??EBDC9(舍)x?2 2∴sin∠ADE=
263132,COS∠B= S△ABD=13cm 2613第 22 页 共 23 页
6、如图:平面镜EF的同侧有相距213 ㎝的A.B两点,它们与平面镜距离分别为5cm、7cm.现要从A点射出的垂线经平面镜反射出后通过点B,求出光线的投射角。
三、课作
.P108. B组9—13
解:过A作AM⊥BF于M,则BM?2,AB?213
∴AM?413
在Rt△AOE中,DE?5tan?,OF?7tan? ,
EF?EO?FO?12tan??43
∴tan??3 ∴??30? 即投射角为30°
3第 23 页 共 23 页
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