宁夏银川一中2015届高三第四次模拟考试 数学（理） Word版含答案

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2015年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

(银川一中第四次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1,2,3,4?，集合A??1,2?,B??2,3?，则CU?A?B?? 1．已知全集U??1,3,4? B. ?3,4? C. ?3? D. ?4? A． ?2．已知1?i?i，则在复平面内，复数z所对应的点在 zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量a??1,2x?，b??4,?x?，则“x?2”是“a?b”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[]4．已知?2,a1,a2,?8成等差数列，?2,b1,b2,b3,?8成等比数列，则

a2?a1等于 b211111 B. ? C. C. 或? 4222225．已知a???2,0,1,3,4?，b??1,2?，则函数f(x)?(a?2)x?b为增函数的概率是

A.

网

- 1 -

A.

23 B. 55C.

1 2D.

3 106．已知一个几何体的正视图和俯视图如右图所示,正视图是边长为 2a的正三角形,俯视图是边长为a 的正六边形,则该几何体的侧 视图的面积为 A．

32a 22B．

32a 22C．3a D．3a

7．执行如下图的程序框图，则输出的值P= A．12 B．10 C．8 D．6

8．过抛物线y?4x的焦点F的直线交该抛物线于 A，B两点，O为坐标原点. 若|AF|=3，则?AOB 的面积为 A．

2232 B．2 C． D． 22 22?x?2?9．设x，y满足约束条件?3x?y?1，若目标函数z?ax?by（a?0，b?0）的最小值

?y?x?1?为2，则ab的最大值是 A．1 B．

111 C． D． 26411在(,??)是增函数，则a的取值范围是

2x10．若函数f(x)?x2?ax?A．?-1，0? B.?-1，?? C.?0，3? D.?3，+?? 11．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为

9，底面是边长为3的正三角形。4若P为底面A1B1C1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 A．

5???? B． C． D． 12346|cos(x?x网

?212．已知方程

)|?k在（0，+∞）上有两个不同的解a，b（a＜b），则下面结论正确

- 2 -

的是

A． sina=acosb B．sina=－acosb

C．cosa=bsinb

D．sinb=－bsina

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．

?e213dx? ． x14．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,??)上单调递增，且f(1)?0，则不等式

f(x?2)≥0的解集是__________

15．已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,??图像如图，令an?f(?2)的部分

n?), 6则a1?a2?a3???a2014? ． 16．给出下列四个命题：

①圆(x?2)2?y2?4与圆(x?2)2?(y?1)2?9相交；

1?(x?23)②总体的概率密度函数f(x)=，x∈R的图象关于直线 x=3 对称；f(x)e2?的最大值为1. 2?2③已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7?S5，则S9?S3； ④若函数y?f(x?中心对称．

其中所有正确命题的序号为 ．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?33)为R上的奇函数，则函数y?f(x)的图象一定关于点F(,0)成223sin(?x)?2sin2?x2?m(??0)的最小正周期为3?,当x?[0,?]

时，函数f(x)的最小值为0．

网

- 3 -

（1）求函数f(x)的表达式；

（2）在?ABC中，若f(C)?1,且2sin2B?cosB?cos(A?C),求sinA的值．

18．（本小题满分12分）

在如图所示的多面体中，?F?平面???，?????，

?D//?F，?F//?C，?C?2?D?4，?F?3， ??????2，G是?C的中点．

（1）求证：?D??G；

（2）求平面D?G与平面D?F所成锐二面角的余弦值． 19．（本小题满分12分）

[]甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为

2321,,，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用?表示甲

3432队总得分．

（1）求随机变量?的分布列及其数学期望E（?）；

（2）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．

20．（本小题满分12分）

x2y2如图，已知椭圆C的方程为2?2?1（a?b?0），

abx2y2双曲线2?2?1的两条渐近线为l1、l2．过椭圆C的

ab右焦点F作直线l，使l?l1，又l与l2交于点?， 设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为?，?．

（1）若l1与l2的夹角为60，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程； （2）求

21.(本小题满分12分)

定义在R上的函数f(x)满足f(x)?F???的最大值．

f?(1)2x?2?e?x2?2f(0)x，2- 4 -

网

x1g(x)?f()?x2?(1?a)x?a.

24

⑴ 求函数f(x)的解析式； ⑵ 求函数g(x)的单调区间；

⑶ 如果s、t、r满足|s?r|≤|t?r|，那么称s比t更靠近r. 当a≥2且x≥1时，试

比较

ex?1和e?a哪个更靠近lnx，并说明理由. x

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲

如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，

B，D为切点.

⑴ 求证：AD//OC；

⑵ 若圆O的半径为2，求AD?OC的值.

23.(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为??x?3?2cos?（?为参数）.

?y??4?2sin?⑴ 以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程； ⑵ 已知A(?2,0),B(0,2)，圆C上任意一点M(x,y)，求?ABM面积的最大值.

24.(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲

3322⑴ 已知a,b都是正数，且a?b，求证：a?b?ab?ab；

a2b2?b2c2?c2a2≥abc. ⑵ 已知a,b,c都是正数，求证：

a?b?c网

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银川一中2015届高三第四次模拟考试数学(理科)参考答案

一、选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 C 5 B 6 A 7 B 8 C 9 C 10 D 11 B 12 B 二、填空题： 13. 6

14. (??,1][3,??). 15、0． 16、①②③

17、【解】 （Ⅰ）f(x)?1?cos(?x)??m?2sin(?x?)?1?m.

262?2?3?,解得??. 依题意函数f(x)的最小正周期为3?,即?33sin(?x)?2?所以

f(x)?2sin(2x??)?1?m. 36当x?[0,?]时,?2x?5?12x????,?sin(?)?1,6366236所以f(x)的最小值为m.依题意,m?0. 所以f(x)?2sin(2x??)?1.36????6分（Ⅱ）

f(C)?2sin(?2C?而???,所以??.解得C?.63663622在Rt?ABC中,A?B?2C?2C??)?1?1,?sin(?)?1. 36365?2C????2,2sin2B?cosB?cos(A?C),8分?1?5?2cos2A?sinA?sinA?0,解得sinA?.25?10?sinA?1,?sinA?.12分218、∵EF?平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB ∴EF?AE，EF?BE 又AE?EB ∴EB,EF,EA两两垂直

以点E为坐标原点，EB,EF,EA分别为x,y,z轴 建立如图所示的空间直角坐标系

10分由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），

D（0，2，2），G（2，2，0）∴EG?(2,2,0)，BD?(?2,2,2)

∴BD?EG??2?2?2?2?0 ∴BD?EG

网

- 6 -

?2?由已知得EB?(2,0,0)是平面DEF的法向量

设平面DEG的法向量为n?(x,y,z) ∵ED?(0,2,2),EG?(2,2,0)

??ED?n?0?y?z?0??EG?n?0x?y?0??∴，即?，令x?1,得n?(1,?1,1)

设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为?

cos??|cos?n,EB?|?则

|nEB|23??3 |n||EB|23∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为19、（1）?的可能取值为0，1，2，3

3 331112111111111P(??0)????;P(??1)??????????;

432244324324324321132112131111P(??2)??????????;P(??3)????

432432432244324??的分布列为

E(?)?0?1111123?1??2??3?? 24424412321（2）设 “甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件B

111111213?2?2?2?1?2?则P(A)??C3??C???C?()? 3?3?????43?3?24?3?34?3?31P(AB)18111211?2?P(BA)??? ?…10’P(AB)??C3???()?1P(A)6418?3?331x2y220、解：?1?因为双曲线方程为2?2?1

abb所以双曲线的渐近线方程为y??x

ab因为两渐近线的夹角为60且?1，所以?POF?30

a所以

网

3b ?tan30?3a- 7 -

所以a?3b

l1 y P A F x l B 因为c?2，所以a2?b2?22 所以a?3，b?1

O l2 x2所以椭圆C的方程为?y2?1

3?2?因为l?l1，所以直线l的方程为y?因为直线l2的方程为y?a(x?c)，其中c?a2?b2 bbx， a?a2ab?,? 联立直线与l2的方程解得点P?cc??|FA|设??，则FA??AP |AP|?a2?ab?x0,?y0? 因为点F?c,0?，设点A?x0,y0?，则有?x0?c,y0????cc???abc2??a2解得x0?，y0?

c?1???c?1????c??a????ab??1 xy因为点A?x0,y0?在椭圆2?2?1上，所以22aba2c2?1???b2c2?1???222222即c??a?222???2a4??1???a2c2

222222等式两边同除以a4得(e??)???e(1??),e?(0,1).

e2?e42??2??2?e??3 所以???22?2?e2?e??222??2?2?e???3?3?22?2?1

2?e2|FA|2?2?1e?2?2所以当2?e2?，即时，取得最大值故的最大值为2?1

|AP|2?e22??21.解：（1）f'(x)?f'(1)e2x?2?2x?2f(0)，所以f'(1)?f'(1)?2?2f(0)，即f(0)?1. 又

f(0)?f?(1)?2?e， 222x所以f'(1)?2e，所以f(x)?e（2）

?x2?2x.

f(x)?e2x?2x?x2，

x111?g(x)?f()?x2?(1?a)x?a?ex?x2?x?x2?(1?a)x?a?ex?a(x?1)2444 ?g?(x)?ex?a.

①当a≤0时，g?(x)?0，函数f?x?在R上单调递增；

网

- 8 -

②当a?0时，由g?(x)?ex?a?0得x?lna，

∴x????,lna?时，g?(x)?0， g(x)单调递减；x??lna,???时，

g?(x)?0，g(x)单调递增.

综上，当a≤0时，函数g(x)的单调递增区间为(??,??)；当a?0时， 函数g(x)的单调递增区间为?lna,???，单调递减区间为???,lna?. （3）解：设p(x)?

e?lnx,q(x)?ex?1?a?lnx， xe1??0，?p(x)在x?[1,??)上为减函数，又p(e)?0， 2xx?当1?x?e时，p(x)?0，当x?e时，p(x)?0. p'(x)??11q'(x)?ex?1?，q''(x)?ex?1?2?0，

xx?q'(x)在x?[1,??)上为增函数，又q'(1)?0，

?x?[1,??)时，q'(x)?0，?q(x)在x?[1,??)上为增函数， ?q(x)?q(1)?a?2?0.

①当1?x?e时，|p(x)|?|q(x)|?p(x)?q(x)?设m(x)?e?ex?1?a， xee?ex?1?a，则m'(x)??2?ex?1?0， xx?m(x)在x?[1,??)上为减函数，

?m(x)?m(1)?e?1?a，

ex?1比e?a更靠近lnx. xe|p(x)|?|q(x)|??p(x)?q(x)???2lnx?ex?1?a?2lnx?ex?1?a，②当x?e时，

x2x?12x?1x?1设n(x)?2lnx?e?a，则n'(x)??e，n''(x)??2?e?0，

xx2?n'(x)在x?e时为减函数，?n'(x)?n'(e)??ee?1?0，

ea?2，?m(x)?0，?|p(x)|?|q(x)|，??n(x)在x?e时为减函数，?n(x)?n(e)?2?a?ee?1?0， ?|p(x)|?|q(x)|，?ex?1比e?a更靠近lnx. xex?1综上：在a?2,x?1时，比e?a更靠近lnx.

x

22.解： (1) 连接BD,OD,?CB,CD是圆O的两条切线，?BD?OC， 又AB为直径，

?AD?DB，AD//OC.

(2)由AD//OC，??DAB??COB，?Rt?BAD∽Rt?COB，

网

- 9 -

ADAB?，AD?OC?AB?OB?8. OBOC

23.【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.

【试题解析】解：（1）圆C的参数方程为?所以普通方程为(x?3)2?(y?4)2?4.

?x?3?2cos?（?为参数）

?y??4?2sin?

?圆C的极坐标方程：?2?6?cos??8?sin??21?0.

（2）点M(x,y)到直线AB：x?y?2?0的距离为d?

|2cos??2sin??9|2

?ABM的面积S?1??|AB|?d?|2cos??2sin??9|?|22sin(??)?9|24

所以?ABM面积的最大值为9?22

33222(a?b)?(ab?ab)?(a?b)(a?b)24.解：（1）证明：.

因为a,b都是正数，所以a?b?0. 又因为a?b，所以(a?b)2?0.

于是(a?b)(a?b)2?0,即(a3?b3)?(a2b?ab2)?0 所以a3?b3?a2b?ab2；

（2）证明：因为b2?c2?2bc,a2?0，所以a2(b2?c2)?2a2bc. ①

2 ③ 同理b2(a2?c2)?2ab2c. ② c2(a2?b2)?2ab. c①②③相加得2(ab?bc?ca)?2abc?2abc?2abc 从而a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c).

222222222a2b2?b2c2?c2a2?abc. 由a,b,c都是正数，得a?b?c?0，因此

a?b?c

网

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