湖南理工职业技术学院《应用数学》经典案例

湖南理工职业技术学院 《应用数学》经典案例 模块二 导数及其应用案例 一．导数—瞬时变化率

案例2.1 [低频跨导] 具有PN节的半导体器件，其电流微变和引起这个变化的电压微变之比称为低频跨导．一种PN节的半导体器件，其转移特性曲线方程为I?5U2，求电压U??2v时的低频跨导．

??2解: 低频跨导是电流微变和引起这个变化的电压微变之比，它在V伏时的变化率为

I?lim?V?0?I?V?lim?V?05(?2??V)?5(?2)?V22?10（v）．

?f(T) 案例2.2 [铜矿开采费]从一个铜矿中开采T吨铜矿的花费为Cf?(2000)?100意味着什么？

元，

解: 对于

f?(2000)?dCdT|T?2000?100．

dCdT

因C的单位为元，T的单位为t，所以的单位为元/t，f?(2000)?100表明当已

有2000t铜矿从矿中被开采出来时，再开采1t铜矿需花费100元． 二、导数的运算

案例2.3 [电流] 电路中某点处的电流i是通过该点处的电量q关于时间

t的瞬时变化率，如果某一电路中的电量为q(t)?t?t3．求

(1) 电流函数i(t)； (2)

t?3时的电流是多少？

(3) 什么时候电流为49．

解: （1）i(t)?dqdt?(t?t)??(t)??(t)??3t?1；

332 (2)

i(3)?(3t?1)|t?3?3?3?1?2822；

(3) 解方程i(t)?电流为49．

3t?1?492，得t??4 （舍去负值），即当t?4时，

案例2.4 [速度]已知某物体做直线运动，运动方程为s(单位：米)，t (单位：秒) ．求在t 解: 物体运动的速度为 v?dsdt?((t?1)(t?1))?2?(t?1)(t?1)，s2

?3秒时物体的速度？

?(t?1)?(t?1)?(t?1)(t?1)?22

?2t(t?1)?(t?1)?1?3t?2t?1，

22

t?3秒时的速度为 v|t?3?(3t?2t?1)|t?3?34(m/s).

2案例2.5 [生命科学] 癌肿瘤的体积. 癌肿瘤的球形体积V可以表示成

V(r)?43?r，

3 其中r是肿瘤的半径（单位：厘米）.

（1） 求体积关于半径的变化率. （2） 求体积在r=1.2厘米的变化率.

?? 解 （1）V?(r)?3?43?r?4??r

22 （这正是球面面积.在积分学中可说明理由的.） （2）V?(1.2)?4??1.2?5.76??18（平方厘米）.

2 案例2.6 [电压的变化率] 一个电阻为3?，可变电阻为R的电路中的电压由下式给出：V?6R?25R?3．求在R?7?时电压关于可变电阻R的变化率．

解: 电压V关于可变电阻R的变化率为

6R?25R?3V??（?）

?6(R?3)?(6R?25)(R?3)2

7?-2（R?3），

在R?7?时电压关于可变电阻R的变化率为

7102V?R?7????0.07.

案例2.7 [并联电阻] 当电流通过两个并联电阻r1,r2时，总电阻由下式给出：

1R?1r1?1r2,求R对r1的变化率．假定r2是常量．

解: 由

1R?1r1?1r2知R?r1r2r1?r2，因为r2是常数，所以

dR

dr1?（）?dr1r1?r2dr1r2r（r1?r2)?r1r22（r1?r2）2?2（r1?r2）r22.

案例2.8 [制冷效果] 某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果，t小

时后冰箱的温度为T?2t0.05t?1?20 (单位：C0)．问冰箱温度T关于时间t的变化

率是多少？

解: 冰箱温度T关于时间t的变化率为

dTdt?(2t0.05t?1?20)?

?(2t0.05t?1)??(20)?

?2(0.05t?1)?2t?0.05(0.05t?1)2?0

?2(0.05t?1)2 (0C/小时).

案例2.9 [放射物的衰减] 放射性元素碳-14（1g）的衰减由下式给出：

Q?e?0.000121t，其中Q是t年后碳-14存余的数量(单位：g)．问碳-14的衰减速度（单

位：g/a）是多少？

解: 碳-14的衰减速度v为

v?dQdt?(e?0.000121t)?

?e?0.000121t（?0.000121t)?

??0.000121e?0.000121t(g/a) ．

案例2.10 [钢棒长度的变化率] 假设某钢棒的长度L（单位：cm）取决于气温H（单位：0C），而气温H又取决于时间t（单位：h），如果气温每升高10C，钢棒长度增加2cm，而每隔1小时，气温上升30C，问钢棒长度关于时间的增加有多快？

解: 已知长度对气温的变化率

dHdt0dLdH?2cm/0C．气温对时间的变化率为

dLdt?3C/h．要求长度对时间的变化率，即求．

将L看作H的函数，H看作t的函数，由复合函数求导的链式法则得

dLdtdLdHdHdt???2?3?6(cm/h)．

因而，长度关于时间的增长率为6cm/h．

案例2.11 [充电速度] 对电容器充电的过程中，电容器充电的电压为

uC?E(1?e?tRC),求电容器的充电速度

duCdt（如图所示）.

解: 利用复合函数的求导法则，有

duCdt?tRC?tRC?(E(1?e))??E((1?e))?

tRC?E(0?(e?tRC)?)?E(0?e?tRC(?tRC)?)?E(0?e?(?1RC))?ERC?teRC

案例2.12[电流与电压的关系] 在电容器两端加正弦电流电压

uC?Umsin(?t??)，求电流i.

解: i?CduCdt?C[Umsin(?t??)]?

?C[Umcos(?t??)(?t??)?]?C[Um?cos(?t??)]

??CUmsin(?t????2)

?Imsin(?t??)

其中?CUm?Im是电流的峰值（最大值），称振幅，初相?????2．

从而可知，电容器上电流与电压有下列关系： （1）电流i与电压uC是同频率的正弦波；

?2（2）电流i比电压uC相位提前

；

（3）电压峰值与电流峰值之比为

UmIm?UmmC?U?1C?，

工学中称

1C?为容抗（容性电抗）．

案例2.13. [动物的地盘] 某种动物的地盘T是指它的防护区域或专有区域.该区域的面积T可用动物的体重W近似地表示成T 解：依题意可知

显然

dTdWdTdW?(W131?W1.31.求

dTdW，并说明意义.

??13)W1130

?0 ，

这说明随着动物的体重的增加，它的防护区域或专有区域将越大。

案例2.14.[女性新婚的平均年龄] 女性新婚的平均年龄可近似地表示成线性函数A(t)?0.08t?19.7，其中A(t)是1950年以后的第t年的女性平均年龄.求平均年

龄A关于时间t的变化率，并说明意义.

解： 依题意可知

dAdt?(0.0t?8??19.7)

0.08 这说明随着时间的增加，女性新婚的平均年龄将越大，到2010年，女性新婚的平均年龄应为A(60)?三、导数的应用 （一） 函数的单调性

案例2.15 [增长率] 若某国的国民生产总值的增长率

dPdt?00.08?60?19.7?25.5.

，由函数单调

性的判定方法知P(t)是一单调增加函数，即该国的国民生产总值越来越大；反之，若某国的国民生产总值的增长率

dPdt?0，则该国的国民生产总值越来越小．

案例2.16 [石油蕴藏] 假设P为在第t年时地球的石油总蕴藏量（包括未被发现的），假设没有新的石油产生，并且P以桶为单位计量，它有何意义？它的符号为正还是负？为什么？

dPdt的单位是什么？

解: 由于没有新的石油产生，而地球的石油是不可再生资源，随着对石油的消耗，其总量会越来越少，因此地球的石油总蕴藏量P(t)是一单调减少函数， 所以

dPdt?0．因为P的单位是桶，t的单位是年，所以

dPdt的单位是桶/年．

案例2.17 [人口增长] 中国的人口总数P（以10亿为单位）在1993年—1995年间可近似地用方程P?1.15?(1.014)t来计算，其中t是以1993年为起点的

年数，根据这一方程，说明中国人口总数在这段时间是增长还是减少？

解: 中国人口总数在1993—1995年间的增长率(tdPdt?(1.15?(1.014))?

t?0)为

?1.15?(1.014)?ln1.014?0t，

因此中国人口总数在1993—1995年期间是增长的．

案例2.18 [血液的压强] 血液从心脏流出，经主动脉后流到毛细血管，再通过静脉流回心脏．医生建立了某病人在心脏收缩的一个周期内血压P （单位：mmHg）的数学模型P?25t?123t?122，t?0表示血液从心脏流出的时间（t的单

位：秒）．问在心脏收缩的一个周期里，血压是单调增加的还是单调减少的？

dPdt25t?123t?122 解:

?()?

?（t?1）-（25t?123）(t?1）?（25t?123）=22（t?1）

2222=50（tt?1）-2（t25t?123）（t?1）2222

??196t(t?1)22 .

因为t?0，所以

dPdt??196t(t?1)22?0，因此在心脏收缩的一个周期里，血压是单

调减少的．

案例2.19 [碳定年代法] 考古、地质等方面的专家常用14C(碳-14，碳-12的同位素)测定法（通常称为碳定年代法）去估计文物或化石的年代.长沙市马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土的木炭标本的14C平均蜕变数为29.78次/分，而新砍伐烧成的木炭中14C平均蜕变数为38.37次/分，又知14C的半衰期（给定数量的14C蜕变到一半数量所需的时间）为5568年，试估计一下该墓的大致年代.

解：碳定年代法的根据

宇宙射线不断轰击大气层，使之中子，中子与氮气作用生成具有放射性的

14C，这种放射性碳可以氧化成二氧化碳.二氧化碳被植物吸收，而动物又以植物

作为食物，于是放射性碳就被带到各种动物体内.由于14C是放射性的无论存在于空气中还是生物体内，它都不断蜕变.活着的生物通过新陈代谢不断地摄取14C，使得生物体内的14C与空气中的14C有相同的百分含量.生物死亡后，它停止摄取

14C，因而尸体内的14C由于不断地蜕变而不断地减少.碳定年代法就是根据蜕变

减少量的变化情况来判定生物的死亡时间的.

假设：1.现代生物中14C的蜕变速度与马王堆墓葬时代生物体中14C的蜕变速度相同；

2.

14C的蜕变速度与该时刻14C的含量成正比.

由于地球周围大气中的14C的百分含量可认为基本不变（即宇宙射线大气层的强度自古至今基本不变），故假设1是合理的.假设2的根据来自原子物理学的理论.

建模：设在时刻t(年)生物体中14C的存在量为x(t),由假设2知

dxdt??kx （1）

其中 k>0为比例常数.k前置负号表示

dxx??kdt14C的存量x是递减的.（1）可化为

（2）

而 lnx??kt?c对t求导数即为（2）

所以（1）的通解为 设生物的死亡时间为t0是有

记

14x(t)?Ce?kt

14?0，其时

C的含量为x0，代人上式得C=x0，于

x(t)?x0e?kt （2）

x02C的半衰期为T，则有

x(T)?k? (3)

将（3）代人（2）得 即有

ln2T?

，由此解得

x0x(t)x(t)?x0eln2tT

t?Tln2ln （4）

由于x0、x(t)不便于测量，我们改用下面的方法求t:对（2）式两边求导，得

x?(t)??x0ke?kt??kxt( )而

x?(0)??kx(0?)?k x0上面两式相除得

Tln2x?(0)?x?(t)x?(0)x?(t)x0x(t)

将其代人（4）得

t?ln （5）

由假设1知，可用现代木炭中14C的蜕变速度作为x?(0)，即x?(0)=38.37次/分，而x?(t)=29.78次/分（由已知）.将它们及T=5568年代人（5）式得

t?5568ln2ln38.3729.78?2036（年）

这样就估计出马王堆一号墓大约是2000多年的.

注：对14C的半衰期各种书上的说法不一致，有人测定为5568年，也有人测定为5580年或5730年.若用5580或5730年，则可分别求得马王堆一号墓存在于2040年或2095年前.

（二） 函数的极值与最值

案例2.20 [容器的设计] 要设计一个容积为500ml的有盖圆柱形容器，其底面半径与高之比为多少时容器所耗材料最少？

解: 设其底面半径为r，高为h，其表面积为S500?2?rh?2?r2，

容积为V?500??rh2，即h??r2，

1000r代入S?2?rh?2?r2，得表面积S1000r2??2?r2，

求导 S????4?r，

解S??0，得唯一驻点r5002?1?(5002?1)3，因为此问题的最小值一定存在，故此驻

20001点即为最小值点，将r?()3代入500??rh2,得h?(?)3，即

rh?12，

故当底面半径与高之比为1：2时，所用材料最少．

案例2.21 [发动机的效率] 一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，发动机的效率p（%）与汽车的速度v (单位：公里/小时)之间的关系为p?0.768v?0.00004v3．问发动机的最大效率是多少？

解:求发动机的最大效率，即求函数pdpdv?0.768v?0.00004v3的最大值，

先求导

?(0.768v?0.00004v)??0.768?0.00012v32，

令

dpdv?0，得v?80(单位：km/h) ．由实际问题知，此时发动机的效率最

41 (%)

大，最大效率为p(80)?案例2.22 [最大容积] 设有一个长8分米和宽5分米的矩形铁片，在四个角上切去大小相同的小正方形，问切去的小正方形的边长为多少分米时，才能使剩下的铁片折成开口盒子的容积为最大？并求开口盒子容积的最大值．

解：设切去的小正方形的边长为x分米，则盒子的容积为

V?(8?2x)(5?2x)x(0?x?52)，求导

V???2(5?2x)x?2(8?2x)x?(8?2x)(5?2x)

?4(x?1)(3x?10)．

10352 令V??0，得驻点x1点只有x?1,x2? (x2?，应舍去)，则符合题意的驻

?1．由于开口盒子容积的最大值一定存在，

而且在(0,52)内取得，而V??0在(0,52)内只有一个根x?1，故此点为所

求的最大值点．所以切去的小正方形的边长为1分米时，做成的开口盒子容积最大，最大容积是18立方分米．

案例2.23 [油管铺设路线的设计] 要铺设一石油管道，将石油从炼油厂输送到石油罐装点，如图所示．炼油厂附近有条宽 2.5km的河，罐装点在炼油厂的对岸沿河下游10km处．如果在水中铺设管道的费用为6万元/km，在河边铺设

管道的费用为4万元/km．试在河边找一点P，使管道铺设费低．

解: 设P点距炼油厂的距离为x，管道铺设费为y，由题意有

y?4x?6?(10?x)?2.522 (x2?0)，

y??(4x)??6?[(10?x)?2.5]?2(10?x)?2.5222 ?4?6(10?x)(10?x)?2.522．

令y??0，得驻点x?10?1020，舍去大于10的驻点，由于管道最低铺设费

?7.764一定存在，且在(0,10)内取得，所以最小值点为x为y?51.18km，最低的管道铺设费

万元．

案例2.24 [最大输出功率] 设在电路中，电源电动势为E，内阻为r (E，r均为常量)，问负载电阻R多大时，输出功率P最大？

解: 消耗在电阻R上的功率为P定律知I?ER?r?IR2，其中I是回路中的电流，由欧姆

，所以P?ER(R?r)22, (0?R???).

要使P最大，应使

dPdRdPdR?0，即

?E(R?r)?2E(R?r)R(R?r)4222

?E(r?R)(R?r)32?0，

解之得 R?r，

2 此 时， P?E4R ．

由于此闭合电路的最大输出功率一定存在，且在(0,??)内部取得，所以必在P的唯一驻点R?r处取得．因此，当R?r时，输出功率最大为P?E24R．

案例2.25 [最高血压] 对于剂量为x立方厘米的某种药物，所引起的血压B可近似地表示成B(x)?剂量时出现最高血压.

解：因为 B(x)? 所以

0.05x?0.3x230.05x?0.3x,0?x?0.16，求最高血压，并且求取多大

23

B?(x)?0.x1?0.x 92 令B?(x)?0得唯一驻点

即当取剂量为

19x?19，此时

B(19)?0.0002 676立方厘米时，出现最高血压0.0002676.

案例2.26 [利润的最值] 某制造商制造并出售球形瓶装的某种酒.瓶子的制造成本是0.8?r2（分），其中r是瓶子的半径，单位是厘米.假设每售出1立方厘米的酒，

商人可获利0.2分.他能制造的瓶子的最大半径为6厘米，问

（1） 瓶子半径为多大时，能使每瓶酒获利最大？

（2） 瓶子半径为多大时，每瓶酒获利最小？ 解 瓶子半径为r，每瓶酒能获利

p(r)?43?r?0.?23?0r.8?2r2?0.8?r(，0?)r?633

p?(r)?0?.8r(?2r 2)0当r=2时，p??0.r?(0,2)，p??；r?(2,6),p??0.p(r)只有一个极值点，

所以r=2是极小值点，当r=6时，p(r)可达最大值.

四、高阶导数及其应用

案例2.27 [刹车测试] 在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车行驶的距离（单位：m）与时间t (单位：s)满足S动，求汽车在t?4秒时的速度和加速度．

?19.2t?0.4t3．假设汽车作直线运

解: 汽车刹车后的速度为 v?dSdt?(19.2t?0.4t)??19.2?1.2t32 (m/s)，

汽车刹车后的加速度为 a?dvdt?(19.2?1.2t)???2.4t2（m/s2），

t?4s时，汽车的速度为 v?(19.2?1.2t)|t?4?0（m/s），

2 t?4s时，汽车的加速度为 a??2.4t|t?4??9.6（m/s2）.

案例2.28 [水量增加量] 如果一个容器中的水量W随着时间的增加而增加，但增加量越来越小， 则

dWdt、

dWdt22的正、负符号分别为什么？

解: 因为水量W随着时间的增加而增加，所以越来越小，所以

dWdt22dWdt?0，但因为增加量

?0．

案例2.29 [通货膨涨] 设函数p(t)表示某种产品在时刻t的价格，则在通货膨涨期间，p(t)将迅速增加．请用p(t)的导数描述以下叙述： (1)通货膨涨仍然存在； (2)通货膨涨率正在下降；

(3)在不久的将来，物价将稳定下来． 解: (1) p?(t)?0 表示产品的价格在上升，即通货膨涨仍然存在；

(2) p?(t)?0表示通货膨涨存在，p??(t)?0表示通货膨涨率正在下降；

(3) p?(t)?0 表示产品的价格不再上升，即物价将稳定下来．

案例2.30 [股票曲线] 假设p(t)代表在时刻t某公司的股票价格，请根据以下叙述判定p(t)的一阶、二阶导数的正、负号．

（a） (b)

(1) 股票价格上升得越来越快； (2) 股票价格接近最低点；

(3) 图(a)所示为某种股票某天的价格走势曲线，请说明该股票当天的走势． 解: （1）股票价格上升得越来越快，一方面说明股票价格在上升，即

p?(t)?0，另一方面说明上升的速度也是单调增加的，即p??(t)?0，如图(b)所示．

（2）股票价格接近最低点时，应满足p?(t)?0．

（3）从图(a)所示的某股票在某天的价格走势曲线可以看出，此曲线是单调上升且为凸的，即p?(t)?0，且p??(t)?0.

这说明该股票当日的价格上升得越来越慢．

案例2.31 [桥梁的曲率] 若某一桥梁的桥面设计为抛物线，其方程为

y?x2，求它在点M（1,1）处的曲率．

解: 由y??公式，得

2x，y???2，得y?|x?1?2x|x?1?2，y??|x?1?2|x?1?2，代入曲率

K?y??3?(1,1)23?25

?1?y?2?25225

案例2.32 [比较弧形弓件的弯曲程度] 设有两个弧形弓件A、B，弓件A满足曲线方程y的弯曲程度．

?x3，弓件B满足曲线方程y?x2，试比较此两个弓件在x?1处

解: 弓件A在x2?1处y?|x?1?3x|x?1?3，y??|x?1?6x|x?1?6，其曲率为

K1?y??3?(1,1)63?31050?0.1897?1?y?2?2102；

弓件B在x?1处，y?|x?1?2x|x?1?2，y??|x?1?2，其曲率为

K2?y??3?(1,1)23?0.1789?1? 所以，在xy?2?252，

?1处弓件A的弯曲程度大些．

案例2.33 [弧形工件的加工原理]设某工件内表面的截线为抛物线

y?0.4x2，现在要用砂轮磨削其内表面， 问用直径多大的砂轮才比较合适？(提

示：在磨削弧形工件时，为了不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，

砂轮的半径应不大于弧形工件上各点处曲率半径中的最小值.已知抛物线在其顶点处的曲率最大.)

解:由于抛物线在其顶点处的曲率半径最小，因此，只要求出抛物线y在其顶点O(0,0)处的曲率半径.由y?? 将其代入曲率计算公式，得 K0.8x，y???0.8，有 y?|x?0?0?0.4x0.82，y??|x?0?.

?0.8，

1K 因而求得抛物线顶点处的曲率半径 ???1.25

所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.5单位长.

案例2.34 [加速度] 在离水面高度为h（米）的岸上，有人用绳子拉船靠岸.假定绳子长为l（米），船位于离岸壁s(米)处，试问：当收绳子的速度为v0（m/s）时，船的速度和加速度各是多少？

解 l、h、s三者构成了直角三角形，由勾股定理得

l2?h?s22 (1)

两端对时间t求导，得 2ldldt?0?2sdsdt

（2）

由此得 ldldt?sdsdt l 为绳长，按速度定义，驶逐渐靠近岸壁，因而

dsdtdldt即为收绳速度 v0，船只能沿s线在水面上行

应为船速v，将它们代人（2）式得船速

?lsv0 （3）

v利用（1）式消去l得

v?h?ss22v0 （m/s） (4)

(4)中h、v0均为常数，只有s是变量.按加速度定义

dvds???(? a?2dtdsdtsdvh222h?sv0)v

将（4）式代入上式得 a??hv0s322 (m/s) （5）

2（这里的负号表明加速度的方向与x轴正向相反.）

由（4）与（5）式知，船速与船的加速度均与船的位置有关，它们是变化的，当船靠岸时，船速与加速度都不断增大. 五、函数的微分及其应用

案例2.35 [金属立体受热后体积的改变量] 某一正立方形金属体的边长为

2m，当金属受热边长增加0.01m时，体积的微分是多少？体积的改变量又是多少？

解: 体积的微分为dV将x?2?(x)?dx?3x?x，

32，?x?0.01代入上式，得在x?2，?x3?0.01处的微分

dV|x?2?x?0.01?3?2?0.01?0.12 (m2)，

在x?2，?x?0.01处体积的改变量为

?V|x?2?x?0.01?(2?0.01)?2?0.1200633 (m3)，

由此可见，?V|x?2?x?0.01?dV|x?2?x?0.01.

案例2.36 [电压改变量] 设有一电阻负载R?25?，现负载功率P从400W

变到401W，求负载两端电压U的改变量(如下图所示).

UR2 解: 由电学知，负载功率P?,即U?RP，故

dU?dRPdPdP?RdPdP?R21PdP?12RPdP，

因为R?25，P?400，?P?1，所以电压U的改变量为

?U?dU?225400?1?0.125 （V）.

案例2.37 [收入增加量] 某公司生产一种新型游戏程序，假设能全部

出售，收入函数为R?36x?x220, 其中x为公司一天的产量，如果公司每天的产

量从250增加到260，请估计公司每天收入的增加量．

解: 公司每天产量的增加量为?xx2?10，用dR估计每天的收入增加量为

?R?dR?(36x?20)??x|?x?10?360?x．

案例2.38 [放大电路] 某一负反馈放大电路，记其开环电路的放大倍

数为A，闭环电路的放大倍数为Af，则它们二者有函数关系AfA?104?A1?0.01A．当

时，由于受环境温度变化的影响，A变化了10%，求Af的变化量是多少？

Af的相对变化量又为多少？

解:由于A?104时，Af?100，用dAf近似计算?Af，得

?Af?dAf?(Af)??A，

其中 (Af)??(A1?0.01A)??1(1?0.01A)2．

Af的变化量约为 ?Af|A?104?A?0.1A?1(1?0.01A)2?A|A?104?A?0.1A?0.098，

Af的相对变化量约为

?AfAf?0.098100?9.8?10?4.

案例2.39 [钟表误差] 一机械挂钟的钟摆的周期为1s，在冬季，摆长

因热涨冷缩而缩短了0.01cm，已知单摆的周期为T问这只钟每秒大约快还是慢多少？

lg?2?lg，其中g?980cm/s2，

解: 因为钟摆的周期为1秒，所以有1?2?g(2?)2，解之得摆的原长为

l?，又摆长的改变量为?l??0.01厘米，用dT近似计算?T，得

?T?dT?dTdl?l??1gl?l

g(2?)2，

将l?，?l??0.01代入上式得

?T?dT??1gl?l?g??g(2?)2?(?0.01)

?2?g2?(?0.01)??0.0002

这就是说，由于摆长缩短了0.01厘米，钟摆的周期相应地缩短了约0.0002秒． 案例2.40 [绝对误差] 设已测得一根圆柱的直径为43cm，并已知在测量中绝对误差不超过0.2cm，试用此数据计算圆柱的横截面面积所引起的绝对误差与相对误差．

（注： 若某个量的准确值为x，它的近似值为x*，称|?x|?|差．当x?0x?x|*为x*的绝对误

时，称|x?xx**|为x*的相对误差．）

解: 圆柱的横截面的直径D截面面积的近似值为

A?14?43cm，直径的绝对误差|?D|?0.2，圆柱的横

?D2?14??43?462.25?2

由D的测量误差?D所引起的面积A的计算误差?A，可用微分dA来近似计算，即 ?A?dA?12?D??D?4.3? （cm）

2所求绝对误差为 |?A|?|dA|?4.3?（cm2）

1所求相对误差为 |?AA|?|dAA|?2?D|?D|14?2|?D|D?2?0.243?0.93%.

?D2

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