3.3 等 比 数 列(精练案)

(见《精练案》P39)

基 础 题

1、2、3、4、7、8、10

拓 展 题 5、6、9、11、12

一、选择题

1.数列{a n }的前n 项和为S n =

a 1(3n -1)2,且a 4=54,则a 1的值为( ). A .2 B .3 C .4

D .5 【解析】由S 4-S 3=a 4=54可得a 1=2.

【答案】A

2.已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ).

A .2

B .1

C .12

D .18

【解析】设等比数列{a n }的公比为q , ∵a 1=14,由a 3a 5=a 42=4(a 4-1),得a 4=2.

又a

4a 1

=q 3,∴q=2, ∴a 2=a 1q=14×2=12.

【答案】C

3.等比数列{a n }中,a 1=2,公比q=3,使S n >80的最小的n=( ).

A .3

B .4

C .5

D .6

【解析】由2(1?3n )1?3

>80,得3n >81,所以n>4,故最小的n=5. 【答案】C

4.已知{a n }是首项为1的等比数列,若S n 是{a n }的前n 项和,且28S 3=S 6,则数列{1a n }的前4项和为( ).

A .158或4

B .4027或4

C .4027

D .158

【解析】由题意可知,a 1=1,28S 3=S 6,当q=1时,显然不成立;当q ≠1时,由28S 3=S 6,可得1+q 3=28,解得q=3,所以{1a n }是以1为首项,公比为13的等比数列,设其前n 项和为T n ,则T 4=1×[1?(13)4]1?13=4027. 【答案】C

5.若数列{a n }、{b n }满足a 1=2,且对任意自然数n ,有3a n+1-a n =0,b n 是a n 与a n+1的等差中项,则{b n }的前n 项和为

( ).

A .2-2

3n B .1-2

3n C .2+2

3n D .1+2

3n

【解析】3a n+1-a n =0,∴a n+1a n =13,{a n }是2为首项,13

为公比的等比数列,∴a n =2×(13)n-1,b n =a n +a n+12=4×(13)n ,∴b 1=43,b n b n -1=13,∴{b n }是等比数列,∴前n 项和为43[1-(13)n ]1?13=2-23n ,选A .

【答案】A

6.在14与78中间插入n 个数,组成各项和为958的等比数列,则此数列的项数为( ).

A .3项

B .4项

C .5项

D .6项

【解析】依题意知等比数列{a n }中,a 1=14,a n+2=78,S n+2=958

.由S n+2=a 1-a n+2q 1?q ,知958=14?78q 1?q ,解得q=-12,∴78=14×(-12)n+1,n=3,故该数列共有5项,选C .

【答案】C

二、填空题

7.已知等比数列{a n }中,a 1=1,a 2,a 3,a 4-2成等差数列,则a n = .

【解析】由题意可得2a 3=a 2+a 4-2.∵a 1=1,设等比数列{a n }的公比为q , ∴2q 2=q+q 3-2,∴2q 2+2=q+q 3=q (1+q 2),∴q=2,

∴a n =2n-1.

【答案】2n-1

8.已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于 .

【解析】由数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,

得a 1a 4=8,解得a 1=1,a 4=8. ∵a 4=a 1q 3,∴q=2,

∴数列{a n }的前n 项和为1?2n 1?2=2n -1.

【答案】2n

-1

9.若a ,b 是函数f (x )=x 2-px+q (p>0,q>0)的两个不同的零点,且a ,b ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于 .

【解析】不妨设a>b ,由题意得{a +b =p >0,ab =q >0,∴a>0,b>0,则a ,-2,b 成等比数列,a ,b ,-2成等差数列, ∴{ab =(?2)2,a -2=2b,

∴{a =4,b =1,∴p=5,q=4,∴p+q=9. 【答案】9

三、解答题

10.已知等比数列{a n }中,a 2=2,a 5=128.

(1)求通项a n ;

(2)若b n =log 2a n ,数列{b n }的前n 项和为S n ,且S n =360,求n 的值.

【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ,

则{a 2=a 1q =2,a 5=a 1q 4=128,

解之得{a 1=12,q =4,∴a n =a 1q n-1=12·4n-1=22n -3. (2)b n =log 2a n =log 222n-3=2n-3,

∵b n+1-b n =[2(n+1)-3]-(2n-3)=2,

∴数列{b n }是首项为-1,公差为2的等差数列,

∴S n =

n(-1+2n -3)

2

=360, ∴n 2-2n-360=0,∴n=20(n=-18舍去),

因此,n=20.

11.设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *

.已知a 1=1,a 2=32,a 3=54

,且当n ≥2时,4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1. (1)求a 4的值;

(2)证明:{a n+1-12

a n }为等比数列; (3)求数列{a n }的通项公式.

【解析】(1)当n=2时,4S 4+5S 2=8S 3+S 1,即4(1+32+54

+a 4)+5(1+32

)=8(1+32+54

)+1,解得a 4=78

. (2)由4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1(n ≥2),得4S n+2-4S n+1+S n -S n-1=4S n+1-4S n (n ≥2),即4a n+2+a n =4a n+1(n ≥2).

∵4a 3+a 1=4×5

4+1=6=4a 2,∴4a n+2+a n =4a n+1,

∴a n+2-1

2a n+1a n+1-1

2

a n

=4a n+2-2a n+14a n+1-2a n =4a n+1-a n -2a n+14a n+1-2a n =2a n+1-a n 2(2a n+1-a n )=12,∴数列{a n+1-12a n }是以a 2-12a 1=1为首项,1

2为公比的等

比数列.

(3)由(2)知,a n+1-1

2

a n =(12

)n-1

, 即

a n+1(1

2)n+1-a n

(12)n

=4. ∴数列{a n (12)n

}以a 1

12

=2为首项,4为公差的等差数列,

∴

a n

(12)n

=2+4(n-1)=4n-2,即a n =(2n-1)·(1

2)n-1,

∴数列{a n }的通项公式为a n =(2n-1)·(12)n-1.

12.(2016年浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *

. (1)求通项公式a n ;

(2)求数列{|a n -n-2|}的前n 项和.

【解析】(1)由题意得{a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1,则{a 1=1,a 2=3.

又当n ≥2时,由a n+1-a n =(2S n +1)-(2S n-1+1)=2a n ,得a n+1=3a n ,所以数列{a n }的通项公式为a n =3n-1

,n ∈N *

. (2)设b n =|3n-1

-n-2|,n ∈N *

,则b 1=2,b 2=1. 当n ≥3时,由于3n-1

>n+2,故b n =3n-1

-n-2,n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T 1=2,T 2=3, 当n ≥3时,T n =3+

9(1?3n -2)1?3-(n+7)(n -2)2=3n -n 2-5n+11

2

,经检验

T n =3n -n 2-5n+11

2

对n=1时不成立,对n=2时成立.

所以T n ={2,n =1,

3n -n 2-5n+11

2

,n ≥2,n ∈N *.

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