中考数学之压轴题精选（共30题人教版含答案）

m?125mx?x?m2?3m?2 44 与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。 （1）求点B的坐标；

（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）

? 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；

? 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF 到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。 y x 1 O 1

m?125m解：（1）∵拋物线y= ?x?x?m2?3m?2经过原点，∴m2?3m?2=0，解得m1=1，m2=2，

44y D 由题意知m?1，∴m=2，

15∴拋物线的解析式为y= ?x2?x， C E 42B 15∵点B(2，n)在拋物线y= ?x2?x上， A x 42O P ∴n=4，∴B点的坐标为(2，4)。 图1 （2）? 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为 y=2x，∵A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为（a，2a），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求得点C的坐标为（3a，2a），

1591122由C点在拋物线上，得2a= ??(3a)2??3a，即a2?a=0，解得a1=，a2=0（舍去），

4242922∴OP=。

9 ? 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x?b，由点A(10，0)，

1点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y= ?x?5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角

2形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况： 第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。

如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、

1、（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= ?

4t、2t个单位。∴PQ=DP=4t，∴t?4t?2t=10，∴t=

10。 7 第二种情况：PC与MN在同一条直线上。

如图3所示。可证△PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10?2t，∵F点在直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，

∴t?2t?2t=10，∴t=2。 第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，

如图4所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t?2t=10，

101010∴t=。综上，符合题意的t值分别为，2， 。

373y D

y D y D E B C M M E M C F B (C) A x N (E) N F Q O P A x N B F Q P O 图2 x

图3 O Q(P)

图4 2、（2010北京）问题：已知△ABC中，?BAC=2?ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究?DBC与?ABC度数的比值。 请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。

(1) 当?BAC=90?时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为 ； 当推出?DAC=15?时，可进一步推出?DBC的度数为 ；可得到?DBC与?ABC度数的比值为 ；

(2) 当?BAC?90?时，请你画出图形，研究?DBC与?ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

B

A C

解：(1) 相等；15?；1：3。

(2) 猜想：?DBC与?ABC度数的比值与(1)中结论相同。

证明：如图2，作?KCA=?BAC，过B点作BK//AC交CK于点K， 连结DK。∵?BAC?90?，∴四边形ABKC是等腰梯形，

∴CK=AB，∵DC=DA，∴?DCA=?DAC，∵?KCA=?BAC， ∴?KCD=?3，∴△KCD?△BAD，∴?2=?4，KD=BD， K 4 ∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴?ACB=?6，

∵?KCA=2?ACB，∴?5=?ACB，∴?5=?6，∴KC=KB， ∴KD=BD=KB，∴?KBD=60?，∵?ACB=?6=60???1， 5 ∴?BAC=2?ACB=120??2?1， C ∵?1?(60???1)?(120??2?1)??2=180?，∴?2=2?1，

6 B 1 2 D 图2

3 A

∴?DBC与?ABC度数的比值为1：3。

3、（2010郴州）如图（1），抛物线y?x?x?4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y?x?b与抛物线交于点B、C.

（1）求点A的坐标；

（2)当b=0时（如图（2）），?ABE与?ACE的面积大小关系如何？当b??4时，上述关系还成立吗，为什么？ （3）是否存在这样的b，使得?BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若2不存在，说明理由. yy CC E EBOxOx B AA 图（1） 图（2） 第26题 解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）

（2）当b＝0时，直线为y?x，由??y?x?x1?2?y?x2?x?4解得?2，?x2???y?2?y 1?2??2所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2） S?11?ABE2?4?2?4，S?ACE?2?4?2?4

y所以SGC?ABE?S?ACE（利用同底等高说明面积相等亦可） R当b??4时，仍有S?ABE?SO?ACE成立. 理由如下

BFQ由??y?x?b，解得??x1?b?4，??x2??b?4?y?x2?x?4??b ?? ?y1?b?4??y2??b?4?b所以B、C的坐标分别为（－b?4，－b?4+b），（b?4，b?4+b）， 作BF?y轴，CG?y轴，垂足分别为F、G，则BF?CG?b?4， 而?ABE和?ACE是同底的两个三角形， 所以S?ABE?S?ACE.

（3）存在这样的b.

因为BF?CG,?BEF??CEG,?BFE??CGE?90? 所以VBEF?VCEG，所以BE?CE，即E为BC的中点

所以当OE=CE时，?OBC为直角三角形，因为GE?b?4?b?b?b?4?GC 所以 CE?2?b?4，而OE?b

b2??2，

所以2?b?4?b，解得b1?4,所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形.

4、（2010滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，3），以点C为顶点的抛物线y?ax?bx?c恰好经过x轴上A、B两点．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位? 解：

2

解：①由抛物线的对称性可知AM=BM

在Rt△AOD和Rt△BMC中，∵OD=MC，AD=BC， ∴△AOD≌△BMC．∴OA=MB=MA． 设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，

m2?(3)2?(2m)2，解得m=1．∴DC=2，OA=1，OB=3．

∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，3） ②设抛物线的解析式为y=a（x—2）2+3 代入A点坐标可得a=—3

抛物线的解析式为y=—3（x—2）2+3

③设抛物线的解析式为y=—3（x一2）2+k，代入D（0，3）可得k=53

2

所以平移后的抛物线的解析式为y=—3（x一2）+53，平移了53一3=43个

单位．

25、（2010长沙）已知：二次函数y?ax?bx?2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中a?b?0且a、b为实数． （1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；

（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围． 解：（1）∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y=kx ∵一次函数过（1，－b） ∴y=－bx （2）∵y=ax2+bx－2过（1，0）即a+b=2 由??y??bx2?y?(2?b)x?bx?2得 ax?2(2?a)x?2?0①

22 ∵△＝4(2?a)?8a?4(a?1)?12?0

∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解 ∴两函数有两个不同的交点．

（3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解 ∴x1?x2?2?22(a?2)2a?4

xx??12aaa24a2?8a?1642?(?1)?3 ∴x1?x2?(x1?x2)?4x1x2＝2aa或由求根公式得出。 ∵a>b>0，a+b=2 ∴2>a>1 令函数y?(?1)?3 ∵在1

4a2∴4?(?1)?3?12 ∴2?4a24(?1)2?3?23 ∴2?x1?x2?23 a6、（2010长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA?82 cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

1（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y?x2?bx?c经过B、P两点，过

4线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

y C B

解：（1）∵CQ＝t，OP=2t，CO=8 ∴OQ=8－t

∴S△OPQ＝

122(8?t)?2t??t?42t（0＜t＜8） 22（2）∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ ＝8?82?11?82t??8?(82?2t)＝322 22∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于322

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时, △QPB必须是一个直角三角形，依题意

只能是∠QPB＝90°

又∵BQ与AO不平行 ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP ， ∴8?t2t?解得：t＝4

882?2t经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度） 此时P（42，0）

∵B（82，8）且抛物线y?∴抛物线是y?12x?bx?c经过B、P两点， 412x?22x?8，直线BP是：y?2x?8 412设M（m, 2m?8）、N(m，m?22m?8)

4∵M在BP上运动 ∴42?m?82 ∵y1?12x?22x?8与y2?2x?8交于P、B两点且抛物线的顶点是P 4∴当42?m?82时，y1?y2 ∴MN?y1?y2＝?1(m?62)2?2 ∴当m?62时，MN有最大值是2 4∴设MN与BQ交于H 点则M(62,4)、H(62,7)

∴S△BHM＝

1?3?22＝32 2∴S△BHM ：S五边形QOPMH＝32:(322?32)＝3:29 ∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．

7、（2010常德）如图9，已知抛物线y?两点，与y轴交于C点. （1）求此抛物线的解析式；

（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当?CEF面积的2倍时，求E点的坐标；

（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标.

C A O B x

y 的面积是?BEF12x?bx?c与x轴交于点A（-4，0）和B（1，0）2图9

12解：（1）由二次函数y?x?bx?c与x轴交于A(?4,0)、B(1,0)两点可得：

2?13(?4)2?4b?c?0，???b?，?2 ? 解得： ?2

1???12?b?c?0．?c??2．??213 故所求二次函数的解析式为y?x2?x?2．

22BF1BF1（2）∵S△CEF=2 S△BEF, ∴?,?.，

CF2BC3∵EF//AC，∴?BEF??BAC, ?BFE??BCA，∴△BEF～△BAC，

BEBF152 ??,得BE?,故E点的坐标为(?,0).

BABC333

（3）解法一：由抛物线与y轴的交点为C，则C点的坐标为（0，－2）．

∴

1???2?0?b,?k??,若设直线AC的解析式为y?kx?b，则有? 解得：?2

?0??4k?b．??b??2．31?1?故直线AC的解析式为y?－x?2．若设P点的坐标为?a,a2?a?2?，

22?2?1又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线AC的交点，则Q点的坐标为（a,?a?2)．则

21311有：PQ?[?(a2?a?2)]?(?a?2)＝?a2?2a

222212＝??a?2??2

2即当a??2时，线段PQ取大值，此时P点的坐标为（－2，－3）

解法二：延长PQ交x轴于D点，则PD?AB．要使线段PQ最长，则只须△APC的面积取大值时即可.

设P点坐标为（x0,y0)，则有：S?APC?S?ADP?S梯形DPCO?S?ACO

111 ＝AD?PD?(PD?OC)?OD?OA?OC

222111 ＝?x0y0?2y0???y0?2????x0???4?2

222 ＝?2y0?x0?4

＝?2?＝?x2?123?x0?x0?2??x0?4

2?2?220?4x0 ＝－?x0?2??4

即x0??2时，△APC的面积取大值，此时线段PQ最长，则P点坐标为（－2，－3）

8、（2010常德）如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M. ①求证：AG⊥CH;

②当AD=4，DG=2时，求CH的长。 A

G F D E

A F E G D

A

H F

M D

E

C B B B C C 图12

图110 图11

解：（1）AG?CE成立． ?四边形ABCD、四边形DEFG是正方形，∴GD?DE,AD?DC, ∠GDE?∠ADC?90?. ∴∠GDA?90°-∠ADE?∠EDC. ∴△AGD?△CED. ∴AG?CE.

（2）①类似（1）可得△AGD?△CED， ∴∠1＝∠2 又∵∠HMA＝∠DMC. ∴∠AHM?∠ADC＝90?. 即AG?CH.

H G ② 解法一: 过G作GP?AD于P,

由题意有GP?PD?2?sin45??1， 1 A D

F M P GP1 ∴AP?3，则tan∠1＝?. E AP32 DM1而∠1＝∠2，∴tan∠2＝＝tan∠1＝.

DC3B C

48 ∴DM? ，即AM?AD?DM?.

图12 33 在Rt?DMC中，CM?CD?DM2224??＝4???＝410, 3?3?2AHAM410 而?AMH∽?CMD,∴, 即AH?3, ∴AH?. ?5DCCM4410328

再连接AC，显然有AC?42，∴CH?AC?AH?22?42?2?410?810. ?????5?5??810. 5解法二：研究四边形ACDG的面积，过G作GP?AD于P,

由题意有GP?PD?2?sin45O?1，∴AP?3,AG ?10. 而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1， A S?AGD?S?ACD?S四边形ACDG?S?ACG?S?CGD,

∴4×1+4×4=10×CH+4 ×1.∴CH=810.

所求CH的长为

5H G 1 D

F M P E 2 C

图12

B

9、（2010丹东）如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，

BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN 也随之整体移动） ．

（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； ．．．． （2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系

是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．

AAA

DEDNED ·E·

BMNFCBM· B FC· F

C

图① 图②

第25题图

图③

解：（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上，

（2）成立． 证明：

法一：连结DE，DF．

∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点， ∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°． 又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°， ∴∠MDF=∠NDE．

在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE， ∴△DMF≌△DNE． ∴MF=NE．

A A

D E

D E

N

N

C B M F

法二：延长EN，则EN过点F． ∵△ABC是等边三角形，AB=AC=BCC ． B M ∴F 又∵D，E，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF．

∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，

∴∠BDM=∠FDN．又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°， ∴△DBM≌△DFN．∴BM=FN．∵BF=EF， ∴MF=EN． 法三：连结DF，NF． ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=AC． 又∵D，E，F是三边的中点， ∴DF为三角形的中位线，∴DF=又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°， ∴∠BDM=∠FDN． 在△DBM和△DFN中，DF=DB， DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．

∴∠B=∠DFN=60°．又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形， ∴∠DFE=60°．∴可得点N在EF上， ∴MF=EN．

（3）画出图形（连出线段NE），

MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．

DEAN11AC=AB=DB． 22

M10、（2010丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形H的坐标为 BOMNH，点FC（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）． （1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）； （2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形．．．BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出 ．．此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

yH（-8，0）OxN（-6，-4）M第26题图

解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC．

y ↑

∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，

A F

H －8 O

→ E C x

D B ∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）

（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为y?ax?bx?c，

∵抛物线过点A（0，4），∴c?4．则抛物线关系式为y?ax?bx?4． 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得

221?a??，??36a?6b?4?4，?4，所求抛物线关系式为：y??1x2?3x?4．

，解得??42?64a?8b?4?0．?b?3．??2（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． ∴S四边形EFGB?S梯形ABCO?S△AGF?S△EOF?S△BEC ? ?1111OA（AB+OC）?AF·AG?OE·OF?CE·OA 22221111?4?（6?8）?m(4?m)?m(8?m)??4m 22222 ?m?8m?28 （ 0＜m＜4）

∵S?(m?4)?12． ∴当m?4时，S的取最小值． 又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． （4）当m??2?26时，GB=GF，当m?2时，BE=BG．

11、（2010德化）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标

为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速

平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动．．．．．

的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.

5① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

2② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

y y M M

N 2C B C B · P

解：（1）y??x?4x

（2）①点P不在直线ME上；

②依题意可知：P（t,t），N（t，?t?4t）

当0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：

22S?S?PCD?S?PNC

112=1CD?OD+1PN?BC=?3?2+?t2?4t?t?2=?t?3t?3

2222??=?(t?)?32221 43321，且0＜t＜＜3时，S最大= 224∵抛物线的开口方向：向下，∴当t=

当t?3或0时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形 依题意可得，S?11S矩形ABCD=?2?3=3

2221． 4综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值

212、（2010德州）已知二次函数y?ax?bx?c的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．

(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；

(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．

①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；

②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．

y Q O M A N x

解：（1）∵二次函数y?ax?bx?c的图象经过点C(0，-3)，∴c =-3．

将点A(3，0)，B(2，-3)代入y?ax?bx?c得

22?0?9a?3b?3，2解得：a=1，b=-2．∴y?x?2x?3． ???3?4a?2b?3.（x?1）?4，所以对称轴为x=1． 配方得：y?(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t．

∵点B，点C的纵坐标相等，∴BC∥OA．

过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E． 要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．

即QE=AD=1．又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，∴2-0.2t=1． 解得t=5．即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形． ②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．

∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，∴BF=CF=OG=1．

又∵BP=OQ，∴PF=QG．又∵∠PMF=∠QMG，∴△MFP≌△MGQ． ∴MF=MG．∴点M为FG的中点，∴S=S四边形ABPQ-S?BPN， =S四边形ABFG-S?BPN．由S四边形ABFG?2S?BPN19(BF?AG)FG=．

2211393?BP?FG?t．∴S=?t．又BC=2，OA=3，

2402240∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒． ∴0

13、（2010东阳）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线

OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。求： （1）C的坐标为 ▲ ； （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？ （3）△HCR面积S与t的函数关系式； 并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。

解：（1）Ｃ（４，１）；

（2）当∠MDR＝45时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）

当∠DRM＝45时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0） （3）Ｓ＝－

００

y D A P N O B H C x R M 1２1２

ｔ＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝ｔ－２ｔ（ｔ＞４） 223913当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝，Ｓ＝32

499当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝，Ｓ＝

82111当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝3，Ｓ＝

18

14、（2010恩施）如图11，在平面直角坐标系中，二次函数y?x?bx?c的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，

/2

使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

/

?3b?c?0解：（1）将B、C两点的坐标代入得?解得：

c??3??b??2 ??c??3所以二次函数的表达式为：y?x?2x?3

（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，x2?2x?3）， PP交CO于E，若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO． 连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC=2∴y=?3．

2////23∴x2?2x?3=?3

2解得x1=

2?102?10，x2=（不合题意，舍去） 222?10，?3） 22∴P点的坐标为（

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2?2x?3），

易得，直线BC的解析式为y?x?3，则Q点的坐标为（x，x－3）.

S四边形ABPC?S?ABC?S?BPQ?S?CPQ?

111AB?OC?QP?OE?QP?EB222?11?4?3?(?x2?3x)?3 223?3?75=??x???

2?2?8当x?23时，四边形ABPC的面积最大 2?3?215??，四边形ABPC的 4?此时P点的坐标为?,?面积的最大值为

75． 815、（2010广安）如图，直线y = -x-1与抛物线y=ax2+bx-4都经过点A(-1, 0)、B(3, -4)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交

于点E，求线段PE长度的最大值；

（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，

使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形?若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由．

解：（1）由题知??a?b?4?0，解得a=1, b= -3 ，

9a?3b?4??4?∴抛物线解析式为y=x2-3x-4

（2）设点P坐标(m, -m-1)，则E点坐标(m, m2-3m-4)

∴线段PE的长度为：-m-1- (m2-3m-4)= -m2+2m+3 = -(m-1)2+4

∴由二次函数性质知当m=1时，函数有最大值4，所以线段PE长度的最大值为4。 （3）由（2）知P(1, -2)

①过P作PC的垂线与x轴交于F，与抛物线交于Q， 设AC与y轴交于G，则G(0, -1)，OG=1，又可知A(-1, 0) 则OA=1，∴△OAG是等腰直角三角形，∴∠OAG=45o ∴△PAF是等腰直角三角形，由对称性知F(3, 0) 设直线PF的解析式为y=k1x+b1，则

?3k1?b1?0，解之得k1=1, b1= -3，∴直线PF为y=x-3 ?k?b??2?11??y?x?3?x1?2?5由?解得 ?2y?x?3x?4???y1?5?1??x2?2?5 ???y2??5?1∴Q1(2+5, 5-1) Q2(2-5, -5-1)

②过点C作PC的垂线与x轴交于H，与抛物线交点为Q，由∠HAC=45o，知△ACH是等

腰直角三角形，由对称性知H坐标为(7, 0)，设直线CH的解析式为y=k2x+b2，则

?7k2?b2?0，解之得k2=1, b2= -7，∴直线CH的解析式为y=x-7 ?3k?b??42?2解方程组??y?x?72?y?x?3x?4得??x1?1 y??6?1?x2?3 ?y??4?2当Q(3, -4)时，Q与C重合，△PQC不存在，所以Q点坐标为(1, -6) 综上所述在抛物线上存在点Q1(2+5,

5-1)、Q2(2-5, -5-1)、Q3(1, -6)使得△PCQ是以

PC为直角边的直角三角形。

16、（2010广州）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，

AB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE点D是?长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

（1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；

S（3）记△ABC的面积为S，若＝43，求△ABC的周长. 2DEC P D

A B E

O

解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．

C G P A F O

∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝

11OP＝，AF＝BF． 22

D H E B

13在Rt△OAF中，∵AF＝OA2?OF2＝12?()2＝，∴AB＝2AF＝3．

22（2）∠ACB是定值.

理由：由（1）易知，∠AOB＝120°， 因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，

因为∠DAE＋∠DBA＝

1∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°； 2（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∴S?S?ABD?S?ACD?S?BCD

＝

11111AB?DE＋BC?DH＋AC?DG＝(AB＋BC＋AC) ?DE＝l?DE． 222221l?DES2∵＝43，∴＝43，∴l＝83DE. 22DEDE∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∴在Rt△CGD中，CG＝

1∠ACB＝30°， 2DEDG＝＝3DE，∴CH＝CG＝3DE．

tan30?33又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，

1∴l＝AB＋BC＋AC＝23＋23DE＝83DE，解得DE＝，

3∴△ABC的周长为83． 317、（2010广州）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，

1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－

1x＋b2交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，

试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

y C O 解：（1）由题意得B（3，1）．

D B E A x

3 25若直线经过点B（3，1）时，则b＝

2若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点C（0，1）时，则b＝1

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤

3，如图25-a， 2yDCEOBAx图1

此时E（2b，0）

∴S＝

11OE·CO＝×2b×1＝b 2235＜b＜，如图2 22②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即

yDCBEOAx图2 此时E（3，b?3），D（2b－2，1） 2

∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )

＝ 3－[

1151352(2b－1)×1＋×(5－2b)·(?b)＋×3(b?)]＝b?b 2222221?b?32

35?b?22?b??∴S???5b?b2??2（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与

矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。

本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！ yC1DCMBO1HONEAA1x图3

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED

又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．

B1

过点D作DH⊥OA，垂足为H， 由题易知，tan∠DEN＝

1，DH＝1，∴HE＝2， 2222设菱形DNEM 的边长为a，

则在Rt△DHM中，由勾股定理知：a?(2?a)?1，∴a?∴S四边形DNEM＝NE·DH＝

5 45 45． 4∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为18、（2010桂林）如图，过A（8，0）、B（0，83）两点的直线与直线y?3x交于点C．平

行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF

与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）． （1）直接写出C点坐标和t的取值范围； （2）求S与t的函数关系式；

（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形

为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y83B yBlDCy?3x83y?3xCFE解：（1）C（4，43），t的取值范围是：0≤t≤4 （2）∵D点的坐标是（OPt，?3t?88AOt，3），E的坐标是（x3tA8） x备用图1∴DE=?3t?83-3t=83?23t ∴等边△DEF的DE边上的高为：12?3t ∴当点F在BO边上时：12?3t=t，∴t=3

① 当0≤t<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：83?23t-23t 3t23t) S=(83?23t?83?23t?23y 83 Bt147=(163?3t)=?3t2?83t 233当3≤t≤4时，重叠部分为等边三角形

FlDCy?3x EAS=

1(83?23t)(12?3t) 22=33t?243t?483 （3）存在，P（

24，0） … 7说明：∵FO≥43，FP≥43，OP≤4

∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP, 若FO=FP时，t=2（12-3t），t=

2424，∴P（，0） 7719、（2010杭州）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =

点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物 线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点 P(t，0)在x轴上. (1) 写出点M的坐标；

(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.

① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围； ② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.

12x+1， 4（第24题）

解：(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，

∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，∴ A，B的横坐标分别是2和– 2， 代入y =

12x+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，∴M (0，2)， 4 (2) ① 过点Q作QH ? x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，

yx?t, 即： t = x – 2y , ?241212 ∵ Q(x,y) 在y = x+1上， ∴ t = –x+ x –2，

42由△HQP∽△OMC，得：

当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1?5，

当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ? 2 ∴x的取值范围是x ? 1?5, 且x?? 2的所有实数. ② 分两种情况讨论：

1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上，∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ， ∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(∴t = –

12x+1)，解得x = 0 ， 4120+ 0 –2 = –2 21PQ， 22）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，∵CM∥PQ，CM = ∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即当x = –23时，得t = –

12x+1=2?2，解得： x = ?23. 41(23)2–23–2 = –8 –23, ， 2当x =23时， 得t =23–8.

20、（2010红河州）如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=123cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以23cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s.

（1）求∠OAB的度数.

（2）以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O‘相切？ （3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值. （4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.

yBRO'MQP图9EAxo备用图yB Ax

o解：（1）在Rt△AOB中：tan∠OAB=

OB123??，∴∠OAB=30° OA1233（2）如图10，连接O‘P，O‘M. 当PM与⊙O‘相切时，有∠PM O‘=∠PO O‘=90°，

△PM O‘≌△PO O‘ 由（1）知∠OBA=60° ∵OM= OB

∴△O‘BM是等边三角形 ∴∠B O‘M=60°

可得∠O O‘P=∠M O‘P=60° ∴OP= O O·tan∠O OP =6×tan60°=63 又∵OP=23t

‘

‘

‘

‘

yBMO'（R）oP图10QAx∴23t=63，t=3

即：t=3时，PM与⊙O相切.

（3）如图9，过点Q作QE⊥x于点E ∵∠BAO=30°，AQ=4t， ∴QE=

‘

1AQ=2t 2 AE=AQ·cos∠OAB=4t×

3?23t 2∴OE=OA-AE=123-23t

∴Q点的坐标为（123-23t，2t） S△PQR= S△OAB -S△OPR -S△APQ -S△BRQ

=

1111?12?123??23t?(12?2t)?(123?23t)?2t??2t(123?23t) 22222 =63t?363t?723

=63(t?3)?183 （0＜t＜6） 当t=3时，S△PQR最小=183 （4）分三种情况：如图11.

1当AP=AQ1=4t时， ○

∵OP+AP=123∴23t+4t=123

2yBQ3Q1HQ2oP图11DAx∴t=

633?2或化简为t=123-18

2当PQ2=AQ2=4t时， 过Q2点作Q2D⊥x轴于点D， ○

∴PA=2AD=2A Q2·cosA=43t，即23t+43t =123，∴t=2

3当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H ○

AH=PA·cos30°=（123-23t）·AQ3=2AH=36-6t，得36-6t=4t， ∴t=3.6

综上所述，当t=2，t=3.6，t=123-18时，△APQ是等腰三角形.

21、（2010黄冈）已知抛物线y?ax?bx?c(a?0)顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线y?（1）求字母a，b，c的值；

（2）在直线x＝1上有一点F(1,)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请

求出t值，若不存在请说明理由.

23=18-3t 25作垂线，垂足为M，连FM（如图）. 434

解：（1）a＝－1，b＝2，c＝0

（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形. （3）不存在.因为当t＜

11，横坐标为1?3.此时，MP＝4255，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞144时，PM与PN不可能相等.

22、（2010济南）如图所示，抛物线y??x2?2x?3与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为y??3x?33，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E． ⑴求A、B、C三个点的坐标．

⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．

①求证：AN=BM．

②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.

y

D l C

M

N

A O E P B

解：⑴令?x2?2x?3?0，

x 解得：x1??1,x2?3，∴A(－1，0)，B(3，0) ·

∵y??x2?2x?3=?(x?1)2?4，∴抛物线的对称轴为直线x=1， 将x=1代入y??3x?33，得y=23，∴C（1，23）. ⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=

CE?3， AE∴∠CAE=60o，

由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线， ∴AC=BC，

∴△ABC为等边三角形， ∴AB= BC =AC = 4，∠ABC=∠ACB= 60o，

又∵AM=AP，BN=BP，∴BN = CM， ∴△ABN≌△BCM， ∴AN=BM.

②四边形AMNB的面积有最小值． 设AP=m，四边形AMNB的面积为S， 由①可知AB= BC= 4，BN = CM=BP，S△ABC=3×42=43， 43(4?m)， 2∴CM=BN= BP=4－m，CN=m， 过M作MF⊥BC,垂足为F，则MF=MC?sin60o=33211∴S△CMN=CN?MF=m?(4?m)=?m?3m，

2422∴S=S△ABC－S△CMN=43－（?32m?3m） 4=3(m?2)2?33 ∴m=2时，S取得最小值33. 423、（2010济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，?1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）. 已知A点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，?PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和?PAC的最大面积.

（1）解：设抛物线为y?a(x?4)?1.

22y D A O B C x

∵抛物线经过点A（0，3），∴3?a(0?4)?1.∴a?∴抛物线为y? (2) 答：l与⊙C相交.

证明：当

1. 411(x?4)2?1?x2?2x?3. 441(x?4)2?1?0时，x1?2，x2?6. 422 ∴B为（2，0），C为（6，0）.∴AB?3?2?13. 设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则?BEC?90???AOB. ∵?ABD?90?，∴?CBE?90???ABO.

又∵?BAO?90???ABO，∴?BAO??CBE.∴?AOB∽?BEC. ∴

CE6?28CEBC??2. .∴.∴CE??2OBAB1313∵抛物线的对称轴l为x?4，∴C点到l的距离为2. ∴抛物线的对称轴l与⊙C相交.

(3) 解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q.

可求出AC的解析式为y??1x?3. 21m?3）. 2设P点的坐标为（m，m2?2m?3），则Q点的坐标为（m，? ∴PQ??141113m?3?(m2?2m?3)??m2?m. 2442113327 ∵S?PAC?S?PAQ?S?PCQ??(?m2?m)?6??(m?3)2?,

2424427 ∴当m?3时，?PAC的面积最大为.

43 此时，P点的坐标为（3，?）.

424、（2010晋江）已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC?3，BC?2，

取AB的中点M，连结MC，把?MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到?DAO.

(1)试直接写出点D的坐标；

(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，

过点P作PQ?x轴于点Q，连结OP. ①若以O、P、Q为顶点的三角形与

y ?DAO相似，试求出点P的坐标；

②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得TO?TB的值最大.

解：(1)依题意得：D??A M B O C x ?3?,2?； 2??y (2) ① ∵OC?3，BC?2，∴

B?3,2?.

∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解

O T E D A M B P C Q x 析式为y?ax?bx?a?0?

2又抛物线经过点B?3,2?与点D???3?,2? ?2?4?a?,?9a?3b?2,?42??9∴?9 解得：?∴抛物线的解析式为y?x2?x.∵点P在抛物线3293a?b?2??b??2?4?3?上，∴设点P?x,??422?x?x?. 93?422x?xPQQO5193?x，1)若?PQO∽?DAO，则， 解得：x1?0(舍去)或x2?，?3216DAAO2∴点P??51153?,?. 1664??422x?xOQPQx993，2)若?OQP∽?DAO，则， 解得：x1?0(舍去)或x2?， ??322DAAO2∴点P??9?,6?. 2??②存在点T，使得TO?TB的值最大. 抛物线y?4223x?x的对称轴为直线x?，设抛物线与x轴的另一个交点为E，则点

4933?3?E?,0?.，∵点O、点E关于直线x?对称，∴TO?TE，要使得TO?TB的值最大，

4?2?即是使得TE?TB的值最大， 根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、B三点在同一直线上时，TE?TB的值最大. 设过B、E两点的直线解析式为Ay?kx?b?k?0?， DBMPEHQC4??3k?b?2,k?,??∴?3 解得：?3

k?b?0???2?b??2∴直线BE的解析式为y?当x?4x?2. 3343时，y???2??1. 434?3?,?1?使得TO?TB最大. ?4?∴存在一点T?

25、（2010）如图，在等边?ABC中，线段AM为BC边上的中线. 动点D在直线．．AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边?CDE，连结BE.

(1) 填空：?ACB?______度；

(2) 当点D在线段．．AM上(点D不运动到点A)时，试求出

AD的值； BE(3)若AB?8，以点C为圆心，以5为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中(点D与点A重合除外)，试求PQ的长. B

AA DA CMEB C B C

备用图(1)

解：(1)60； (2)∵?ABC与?DEC都是等边三角形

∴AC?BC，CD?CE，?ACB??DCE?60? ∴?ACD??DCB??DCB??BCE ∴?ACD??BCE，∴?ACD≌?BCE?SAS?

备用图(2)

AD?1. BE(3)①当点D在线段AM上（不与点A重合）时，由(2)可知?ACD≌?BCE，则

∴AD?BE，∴

?CBE??CAD?30?，作CH?BE于点H，则PQ?2HQ，连结CQ，则CQ?5.

在Rt?CBH中，?CBH?30?，BC?AB?8，则CH?BC?sin30??8?在Rt?CHQ中，由勾股定理得：HQ?1?4. 2CQ2?CH2?52?42?3，则PQ?2HQ?6 A②当点D在线段AM的延长线上时，∵?ABC与?DEC都是等边三角形 ∴AC?BC，CD?CE，?ACB??DCE?60? ∴?ACB??DCB??DCB??DCE ∴?ACD??BCE ∴?ACD≌?BCE?SAS? BMPC∴?CBE??CAD?30?，同理可得：PQ?6. D③当点D在线段MA的延长线上时， ∵?ABC与?DEC都是等边三角形 ∴AC?BC，CD?CE，?ACB??DCE?60? ∴?ACD??ACE??BCE??ACE?60? ∴?ACD??BCE ∴?ACD≌?BCE?SAS? EADQE∴?CBE??CAD，∵?CAM?30? ∴?CBE??CAD?150?，∴?CBQ?30?. 同理可得：PQ?6，综上，PQ的长是6. BMPCQ26、（2010莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y?ax?bx?c交x轴于

2A(2,0),B(6,0)两点，交y轴于点C(0,23).

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线y?2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；

（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分. y E

D C

23)． 解：（1）∵抛物线y?ax?bx?c经过点A(2,0)，B(6,0)，C(0，?3?a??4a?2b?c?06?4∴??36a?6b?c?0， 解得?b??3. ?3??c?23??c?23??2∴抛物线的解析式为：y?324x?3x?23. 63（2）易知抛物线的对称轴是x?4.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．

∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8． 连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M． 在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． ∴劣弧EF的长为：

1． 212016???8??． 1803（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点A(2,0),C(0,23).

∴??2k?b?0?b?23，解得???k??3??b?23.∴直线AC的解析式为：y??3x?23.

设点P(m,324m?3m?23)(m?0)，PG交直线AC于N， 63y P E 则点N坐标为(m,?3m?23).∵S?PNA:S?GNA?PN:GN. ∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=

3GN. 2N M C F D 即

3243m?3m?23=（?3m?23）. 632解得：m1=－3， m2=2（舍去）. 当m=－3时，

32415m?3m?23=3. 632∴此时点P的坐标为(?3,153). 2②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN. 即

3243?3m?23）m?3m?23=（.

63324m?3m?23=423. 63解得：m1??12，m2?2（舍去）.当m1??12时，∴此时点P的坐标为(?12,423). 综上所述，当点P坐标为(?3,153)或(?12,423)时， 2△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．

27、（2010丽水）小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，用时

10分钟，到达学校的时间是7：55．为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步．

(1) 小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间

的路程分别是多少米？

(2) 下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在

未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以 s(米) A 110米/分的速度回家，中途没有再停留．问：

① 小刚到家的时间是下午几时？ B C ② 小刚回家过程中，离家的路程s(米)与时间t(分)之间

的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段

D t(分) O CD所在直线的函数解析式．

解：(1) 小刚每分钟走1200÷10=120(步)，每步走100÷150=

2所以小刚上学的步行速度是120×=80(米/分)．

32(米)， 3(第27题)

小刚家和少年宫之间的路程是80×10=800(米)． 少年宫和学校之间的路程是80×(25-10)=1200(米)．

1200?300800?300(2) ① ?30??60(分钟)，

45110所以小刚到家的时间是下午5：00．

② 小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，

900用时?20分，此时小刚离家1 100米，所以点B的坐标是（20，1100）．

45线段CD表示小刚与同伴玩了30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s(米)与行走时间t(分)之间的函数关系，由路程与时间的关系得 s?1100?110(t?50)， 即线段CD所在直线的函数解析式是s?6600?110t． ……2分 (线段CD所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得： 点C的坐标是（50，1100），点D的坐标是（60，0）

设线段CD所在直线的函数解析式是s?kt?b，将点C，D的坐标代入，得 ?50k?b?1100,?k??110, 解得 ??60k?b?0.b?6600.??所以线段CD所在直线的函数解析式是s??110t?6600)

28、（2010丽水）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=23．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．

6时，求点B的横坐标； 2(2) 如果抛物线y?ax2?bx?c(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究： (1) 当点B在第一象限，纵坐标是y C -1 -1 A (第28题) 1 O 5351① 当a?，b??，c??时，A，B两点是否都

452B 在这条抛物线上？并说明理由；

② 设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不

可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值； 若不存在，请说明理由．

解：(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ OB?设点B的横坐标是x(x>0)，则x2?(解得 x1?1AB?3． 21 x

62)?(3)2， 2

666，x2??(舍去)． ∴ 点B的横坐标是． 222

(2) ① 当a?y?535521351，b??，c??时，得 y? ……(＊) x?x?454252552135． (x?)?4520

以下分两种情况讨论．

情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为y A -1 1 O -1 C 1 B x 5， 5OC?OB?tan30??3?3?1． 3

由此，可求得点C的坐标为(525，)， 55(甲)

点A的坐标为(?21515，)， 55-1 B y 1 O 1 -1 C x A ∵ A，B两点关于原点对称， 21515∴ 点B的坐标为(，?)．

55将点A的横坐标代入(＊)式右于点A的纵坐标；

将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得?(乙)

边，计算得

15，即等515，即等于点B的纵坐标． 5∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上．

情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(点A的坐标为(525，-)，

552151521515，)，点B的坐标为(?，?)． 5555经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．

(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上) ② 存在．m的值是1或-1． (y?a(x?m)2?am2?c，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)

29、（2010龙岩）如图，抛物线交x轴于点A（?2，

0），点B（4，0），交y轴于点C（0，?4）． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）若直线y＝?x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；

（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN下方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：

（法一） 设所求的抛物线解析式y?ax2?bx?c(a?0) ∵ 点A、B、C均在此抛物线上

1?a???4a?2b?c?02??∴ ?16a?4b?c?0∴ ?b??1

?c??4?c??4???

∴ 所求的抛物线解析式为y?12x?x?4 29 顶点D的坐标为（1，?）

2（法二） 设所求的抛物线解析式y?a(x?2)(x?4)

∵ 点C在此抛物线上，∴ a(0?2)(0?4)??4，a?∴ 所求的抛物线解析式为y? 即y?1(x?2)(x?4) 21 2912x?x?4， 顶点D的坐标为（1，?）

22 （2）△EBC的形状为等腰三角形

证明：

（法一） ∵ 直线MN的函数解析式为y??x

∴ ON是∠BOC的平分线

∵ B、C两点的坐标分别为（4，0），（0，?4） ∴ CO=BO=4，∴ MN是BC的垂直平分线 ∴ CE=BE，即 △ECB是等腰三角形。

（法二） ∵ 直线MN的函数解析式为y??x

∴ ON是∠BOC的平分线，∴ ∠COE =∠BOE ∵ B、C两点的坐标分别为（4，0）、（0，?4）

∴ CO=BO=4，又 ∵ CE=BE，∴ △COE≌△BOE ∴ CE=BE 即 △ECB是等腰三角形

（法三） ∵ 点E是抛物线的对称轴x?1和直线y??x的交点

∴ E点的坐标为（1，?1）

∴ 利用勾股定理可求得 CE=32?12=10 BE=32?12=10 ∴ CE=BE ，即 △ECB是等腰三角形

（3）解：存在 ∵ PF∥ED

∴ 要使以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，只要使PF=ED ∵ 点E是抛物线的对称轴x?1和直线y??x的交点 ∴ E点的坐标为（1，－1）

97 ∴ ED??1?(?)? ，∵ 点P是直线y??x上的动点

22 ∴ 设P点的坐标为（k, ?k） 则直线PF的函数解析式为x=k ∵ 点F是抛物线和直线PF的交点

1 ∴ F的坐标为(k,k2?k?4)

2121 ∴ PF=?k?(k?k?4)??k2?4

22127 ∴ ?k?4?

22 ∴ k??1

9 当k?1时，点P的坐标为（1，?1），F的坐标为（1，?）

2 此时PF与ED重合，不存在以P、F、D、E为顶点的平行四边形

5 当k??1时，点P的坐标为（?1，1），F的坐标为（?1，?）

2 此时，四边形PFDE是平行四边形

30、（2010龙岩）如图①，将直角边长为2的等腰直角三角形ABC绕其直角顶点C顺时

针旋转α角（0°＜α＜90°），得△A1B1C，A1C交AB于点D，A1B1分别交于BC、AB于点E、F，连接AB1． （1）求证：△ADC∽△A1DF； （2）若α=30°，求∠AB1A1的度数；

（3）如图②，当α=45°时，将△A1B1C沿C→A方向平移得△A2B2C2，A2C2交AB于点G，B2C2交BC于点H，设CC2=x（0＜x＜2），△ABC与△A2B2C2的重叠部分面积为S，试求S与x的函数关系式．

图① 图② 备用图 （第30题图） 解：（1）证明：如图①，根据旋转变换的性质易知 ∠CAD=∠FA1D ， ∵ ∠1=∠2 ， ∴ △ADC∽△A1DF （2）解：

（法一） ∵ CA=CA1=CB=CB1=2 图① ∵ 点A、A1、B、B1均在以C为圆心 半径为2的圆上， ∴ ∠AB1A1=

11???30??15? 22 （法二） 如图①，

∵ AC=B1C，∴ ∠4=∠3，∵ ??30?，∠A1CB1=90°

180???ACB1 ∴ ∠ACB1=120°，∴ ∠4==30°

2 ∴ ∠AB1A1=∠CB1A1?∠4=45°?30°=15° （法三）如图①，

∵ AC=B1C，∴ ∠4=∠3，∵ ∠CAB=∠CB1A1

∴ ∠CAB?∠3=∠CB1A1?∠4，即 ∠B1AB=∠AB1A1

∵ ∠5=∠B1AB+∠AB1A1， ∠5=2∠AB1A1 ∵ △ADC∽△A1DF

11∴ ∠5=? ，∴ ∠AB1A1=?5???15?

22 （3）解：△A1B1C在平移的过程中，易证得△AC2G、△HB2E、△A2FG、△C2HC、

△FBE均是等腰直角三角形，四边形AC2B2F是平行四边形 ∵ AB=AC2?BC2=2 ∴ 当α=45°时，CE=CD=

1AB=1 2情形①：当0＜x＜1时（如图②所示），

△A2B2C2与△ABC的重叠部分为五边形C2HEFG

（法一） S五边形C2HEFG=S平行四边形AC2B2F?SRt△AC2G?SRt△HB2E

∵ C2C=x

∴ CH=x，AC2=2?x，B2E=HE=1?x ∴ AG=C2G=222AC2=(2?x)?1?x 222∴ S平行四边形AC2B2F=AC2·CE=（2?x）·1=2?x 1221211·AG2=(1?x)??x?x2

2222421111 SRt△HB2E=·B2E2=(1?x)2??x?x2

2222 SRt△AC2G=

图② 12111∴ S五边形C2HEFG=2?x?(?x?x2)?(?x?x2)

22422 =?322x?x?2?1 42（法二） S五边形C2HEFG= SRt△A2B2C2?SRt△A2FG?SRt△HB2E

∵ C2C=x

∴ AC2=2?x，B2E=1?x ∴ C2G=222AC2=(2?x)?1?x 22222x)?2?1?x 22A2G=A2C2?C2G =2?(1?∴ SRt△A2B2C2= SRt△A2FG=

11A2C22=(2)2=1 221223?222?211A2G2=(2?1?x)??x?x2

2222421111 SRt△HB2E =B2E2=(1?x)2??x?x2

2222∴ S五边形C2HEFG=1?(3?222?2111?x?x2)?(?x?x2) 22422 =?322x?x?2?1 42（法三） S五边形C2HEFG= SRt△ABC?SRt△AC2G?SRt△C2HC?SRt△FBE

∵ C2C=x

∴ AC2=2?x，CH=x，BE=2?1 222AC2=(2?x)?1?x 22211∴ SRt△ABC=AC2=(2)2=1

22∴ AG=C2G=1221211AG2=(1?x)??x?x2

22224211 SRt△C2HC =C2C2=x2

22 SRt△ AC2G =

SRt△FBE =

13?221BE2=(2?1)2?

22212113?22∴ S五边形C2HEFG=1?(? x?x2)?x2?2242232 =?x2?x?2?1

42情形②：当1≤x＜2时（如图③所示），

△A2B2C2与△ABC的重叠部分为直角梯形C2B2FG

（法一） S直角梯形C2B2FG

=S平行四边形C2B2FA?SRt△AC2G 1=AC2·CE?AG2

2121=2?x?(?x?x2)

224121=?x2?(?1)x?2?

422（法二） S直角梯形C2B2FG= SRt△A2B2C2?SRt△A2FG

=1?(3?222?21?x?x2) 224图③ 121=?x2?(?1)x?2?

422

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