立体几何(解答题)-三年(2017-2019)高考真题数学专题

立体几何（解答题）

1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求点C到平面C1DE的距离．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE ⊥EC1．

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥11

E BB C C

的体积．

1

2 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中

AB =1，BE =BF =2，

∠FBC =60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．

（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；

（2）求图2中的四边形ACGD 的面积.

4．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为

CD 的中点．

（1）求证：BD ⊥平面PAC ；

（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；

（3）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．

5．【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △

为等

3 边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.

（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ；

（2）求证：PA ⊥平面PCD ；

（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.

6．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．

求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；

（2）BE ⊥C 1E ．

7．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=?

，

4 11

30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；

（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.

8．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC

为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．

（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23

BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．

9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】 如图，在三棱锥P ABC -中

，AB BC ==，

4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．

5

（1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．

10．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异

于C ，D 的点．

（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；

（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．

11．【2018年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ?ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA

⊥PD ，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点

.

6

（1）求证：PE ⊥BC ；

（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；

（3）求证：EF ∥平面PCD .

12．【2018年高考天津卷文数】如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M

为棱AB 的中点，AB =2，AD

=BAD =90°．

（1）求证：AD ⊥BC ；

（2）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；

（3）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．

13．【2018年高考江苏卷】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．

7

求证：（1）AB ∥平面11A B C ；

（2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．

14．【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，

A 1A =4，C 1C =1，A

B =B

C =B 1B =2．

（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；

（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．

15．【2017年高考全国Ⅰ文数】如图，在四棱锥P ?ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．

8

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，且四棱锥P ?ABCD 的体积为

83

，求该四棱锥的侧面积．

16．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，1,2

AB BC AD BAD ==∠90.ABC =∠=? （1）证明：直线BC ∥平面PAD ;

（2）若△PCD

的面积为P ABCD -的体积.

17．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．

9

（1）证明：AC ⊥BD ；

（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．

18．【2017年高考北京卷文数】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为

线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．

（1）求证：PA ⊥BD ；

（2）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；

（3）当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E –BCD 的体积．

19．【2017年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥

，

10 1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．

（1）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；

（2）求证：PD ⊥平面PBC ；

（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．

20．【2017年高考山东卷文数】由四棱柱ABCD ?A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1?B 1CD 1后得到的几何体如图所示，四边

形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E ⊥平面ABCD .

（1）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;

（2）设M 是OD 的中点，证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.

21．【2017年高考江苏卷】如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (

E

11 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．

求证：（1）EF ∥平面ABC ；

（2）AD ⊥AC ．

22．【2017年高考浙江卷】如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，

CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．

（1）证明：CE ∥平面PAB ；

（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．

P

A

B

C

D E

12

立体几何（解答题）专题答案 1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4

，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1

，A 1D 的中点.

（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离．

【答案】（1）见解析；（2.

【解析】（1）连结1,B C ME . 因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且11

2ME B C =.

又因为N 为1A D 的中点，所以11

2ND A D =.

由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥. 又MN ?平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE . （2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H . 由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，

13 由已知可得CE =1，C 1C =4

，所以1C E =

，故17

CH =. 从而点C 到平面1C DE

的距离为17

.

【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用线面垂直找到距离问题，当然也可以用等积法进行求解.

2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，

BE ⊥EC 1．

（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；

（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．

【答案】（1）见详解；（2）18.

【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ?平面ABB 1A 1，

14 故11B C BE ⊥．

又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．

（2）由（1）知∠BEB 1=90°

. 由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ?∠=∠=，

故AE =AB =3，126AA AE ==.

作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==．

所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183

V =???=．

【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.

3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其

中AB =1，BE =BF =2，

∠FBC =60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．

（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；

（2）求图2中的四边形ACGD 的面积.

【答案】（1）见解析；（2）4.

【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G

，

15 D 四点共面．

由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ．

又因为AB ?平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．

（2）取CG 的中点M ，连结EM ，DM.

因为AB ∥DE ，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE ⊥CG .

由已知，四边形BCGE 是菱形，且∠EBC =60°得EM ⊥CG ，故CG ⊥平面DEM ．

因此DM ⊥CG ．

在Rt △DEM 中，DE =1，EM

DM =2．

所以四边形ACGD 的面积为4．

【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，突出考查考生的空间想象能力.

4．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E

为CD 的中点．

（1）求证：BD ⊥平面PAC ；

（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；

（3）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，理由见解析.

【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，

所以PA BD ⊥．

16 又因为底面ABCD 为菱形，

所以BD AC ⊥．

所以BD ⊥平面PAC ．

（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AE ?平面ABCD ，

所以PA ⊥AE ．

因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点，

所以AE ⊥CD ．

所以AB ⊥AE ．

所以AE ⊥平面PAB ．

所以平面PAB ⊥平面PAE ．

（3）棱PB 上存在点F ，使得CF ∥平面PAE ．

取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ．

则FG ∥AB ，且FG =12

AB ． 因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点， 所以CE ∥AB ，且CE =

12AB ． 所以FG ∥CE ，且FG =CE ．

所以四边形CEGF 为平行四边形．

所以CF ∥EG ．

因为CF ?平面PAE ，EG ?平面PAE ，

所以CF ∥平面PAE ．

【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力

.

17 5．【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等

边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.

（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ；

（2）求证：PA ⊥平面PCD ；

（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3

【解析】（1）连接BD ，易知AC BD H =，BH DH =.

又由BG=PG ，故GH PD ∥.

又因为GH ?平面P AD ，PD ?平面P AD ，

所以GH ∥平面P AD .

（2）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC ，

又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC 平面PCD PC =，

所以DN ⊥平面P AC ，

又PA ?平面P AC ，故DN PA ⊥.

又已知PA CD ⊥，CD DN D =，

所以PA ⊥平面PCD .

（3）连接AN ，由（2）中DN ⊥平面P AC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面P AC 所成的角，

因为PCD △为等边三角形，CD =2且N 为PC 的中点，

所以DN =又DN AN ⊥，

在Rt AND △

中，sin DN DAN AD ∠==

18 所以，直线AD 与平面P AC

所成角的正弦值为3

.

【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.

6．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．

求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；

（2）BE ⊥C 1E ．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，

所以ED ∥AB .

在直三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，

所以A 1B 1∥ED .

又因为ED ?平面DEC 1，A 1B 1 平面DEC 1，

所以A 1B 1∥平面DEC 1

.

19 （2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .

因为三棱柱ABC ?A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .

又因为BE ?平面ABC ，所以CC 1⊥BE .

因为C 1C ?平面A 1ACC 1，AC ?平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，

所以BE ⊥平面A 1ACC 1.

因为C 1E ?平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .

【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

7．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=?，

11

30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；

（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

35

． 【解析】方法一： （1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．

又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ?平面A 1ACC 1，

平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，

所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．

又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．

所以BC ⊥平面A 1EF ．

因此EF ⊥BC ．

20

（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上． 连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）． 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E

，EG

由于O 为A 1G

的中点，故12A G EO OG === 所以222

3

cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==?．

因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是3

5．

方法二：

（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ?平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ． 如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．

不妨设AC =4，则

21 A 1（0，0，

B

1，0

），1B

，3,22

F ，C (0，2，0)．

因此，33(,

22

EF =，(BC =． 由0EF BC ?=得EF BC ⊥．

（2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．

由（1）可得1=(310)=(02BC AC --，，，，，

． 设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，

， 由100BC A C ??=???

=??

n n ，得00

y y ?+=??

=??， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5

|||EF EF EF θ?==?，n n n |， 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为

35． 【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.

8．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC

为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．

（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23

BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．

【答案】（1）见解析；（2）1.

【解析】（1）由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥．

又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ．

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