(完整word版)三角函数九类经典题型

1 三角函数九种经典类型题

类型一 同角三角函数关系式的应用

1、(1)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2

θ＝________.

(2)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2

，则cos α－sin α的值为________． 答案 (1)45 (2)32

解析 (1)由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ

＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ

＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ

＋1 ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45

. (2)∵5π4＜α＜3π2

， ∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α，

∴cos α－sin α＞0.

又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34

， ∴cos α－sin α＝32. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α

＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2

＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.

2、已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________.

答案 －1 解析 由??? sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，

消去sin α得：2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0，

2 ∴cos α＝－22

. 又α∈(0，π)，

∴α＝3π4

， ∴tan α＝tan 3π4

＝－1. 类型二 诱导公式的应用

1、已知sin ? ????α＋π12＝13，则cos ?

????α＋7π12的值为________． 解析 (1)cos ? ????α＋7π12＝cos ???????

????α＋π12＋π2 ＝－sin ?

????α＋π12＝－13. 思维升华 (1)诱导公式用法的一般思路

①化大角为小角． ②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2

的整数倍． (2)常见的互余和互补的角 ①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4

－α等． ②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4

－θ等． 2、已知sin ? ????π3－α＝12，则cos ? ??

??π6＋α＝________. 解析∵? ????π3－α＋? ??

??π6＋α＝π2， ∴cos ? ????π6＋α＝cos ??????π2－? ????π3

－α ＝sin ? ????π3－α＝12

. 变式：已知sin ?

????π3－α＝12，则)26

cos(απ+＝________.

类型三 三角函数的单调性

1、(1)函数f (x )＝tan ????2x －π3的单调递增区间是________________．

3 (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ?

???ωx ＋π4在????π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 (1)????k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) (2)???

?12，54 解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2

(k ∈Z )得， k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12

(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ????2x －π3的单调递增区间为???

?k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． (2)由π2

＜x ＜π，ω＞0得， ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4

， 又y ＝sin x 在????π2，3π2上递减，

所以??? ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，

解得12≤ω≤54. 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出整体函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．

2、(1)函数f (x )＝sin ?

???－2x ＋π3的单调减区间为________． (2)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ????ωx ＋π4在???

?π2，π上单调递增，则ω的取值范围是______________．

答案 (1)????k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)???

?32，74 解析 (1)由已知函数为y ＝－sin ?

???2x －π3， 欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ?

???2x －π3的单调增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2

，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12

，k ∈Z .

4 故所给函数的单调减区间为?

???k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，

则??? ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，

解得4k －52≤ω≤2k －14

，k ∈Z ， 又由4k －52－????2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14

＞0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈????32，74.

类型四 三角函数的周期性、对称性

1、(1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)?

???ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3

个单位后得到的图象关于原点对称，则关于函数f (x )的图象，下列叙述正确的有________(填正确的序号)．

①关于直线x ＝π12

对称； ②关于直线x ＝5π12对称； ③关于点????π12，0对称； ④关于点????5π12，0对称．

(2)已知函数y ＝2sin ????2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈???

?－π2，0，则x 0＝________. 解析 (1)由题意知2πω

＝π，∴ω＝2； 又由f (x )的图象向右平移π3

个单位后得到y ＝sin[2????x －π3＋φ]＝sin ????2x ＋φ－23π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2

，∴????2π3＋k π＜π2， ∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ????2x －π3.当x ＝π12

时， 2x －π3＝－π6，∴①、③错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2

，∴②正确，④错误． (2)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，故x 0＝k π2－π6

，k ∈Z ，又x 0∈????－π2，0，∴k ＝0时，x 0＝－π6

. 2、 若函数y ＝cos ????ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是???

?π6，0，则ω的最小值为________．

5 答案 2

解析 由题意知πω6＋π6＝k π＋π2

(k ∈Z )?ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2. 思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．

(2)求三角函数周期的方法：

①利用周期函数的定义．

②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|

，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|

. 3、(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ????π6＋x ＝f ????π6－x ，则f ???

?π6的值为________． (2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3

对称，则实数a 的值为________． 答案 (1)2或－2 (2)－33解析 (1)∵f ????π6＋x ＝f ????π6－x ，∴x ＝π6

是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ????π6＝±

2. (2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ????10π3，解得a ＝－33

. 类型五 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换

1、(1)把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12

(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3

个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为 (填正确的序号)． ①x ＝－π2；②x ＝－π4；③x ＝π8；④x ＝π4

. (2) 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3

个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ．

解析 (1)将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12

(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2

)，故x ＝－π2

是其图象的一条对称轴方程． (2)由题意可知，nT ＝π3

(n ∈N *)，

6 ∴n ·2πω＝π3

(n ∈N *)， ∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.

类型六 由图象确定y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式

1、(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2

)的图象上一个最高点的坐标为(2，2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为 ．

(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为 ．

解析 (1)由题意得A ＝2，T 4＝6－2，所以T ＝16，ω＝2πT ＝π8.又sin ????π8×2＋φ＝1，所以π4

＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4

. (2)由题图可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4

，所以T ＝π，故ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又????712π，－2为最小值点，∴2×712π＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3

，k ∈Z ， 又|φ|＜π，∴φ＝π3.故f (x )＝2sin(2x ＋π3

)． 2、函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)?

???ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则φ＝ . 答案 －π3

解析 ∵T 2＝1112π－512

π， ∴T ＝π.又T ＝2πω(ω＞0)，∴2πω＝π，∴ω＝2.由五点作图法可知当x ＝512π时，ωx ＋φ＝π2

， 即2×512π＋φ＝π2，∴φ＝－π3

. 类型七：三角函数图象性质的应用

1、已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在????π2，π上有两个不同的实数根，则m 的

取值范围是 ．

7 答案 (－2，－1)

解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x

＝2sin ????2x ＋π6，x ∈????π2，π.设2x ＋π6

＝t ，则t ∈????76π，136π， ∴题目条件可转化为m 2

＝sin t ，t ∈????76π，136π，有两个不同的实数根． ∴y ＝m 2

和y ＝sin t ，t ∈????76π，136π的图象有两个不同交点，如图：

由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12

)，故m 的取值范围是(－2，－1)． 类型八 角的变换问题

1、(1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35

，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6

)的值是 ． 答案 (1)2525 (2)－45

解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45

. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45

，所以cos(α＋β)＝－45

.于是cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525

. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453，3(12cos α＋32sin α)＝45

3， 3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45

. 2、若0＜α＜π2，－π2

＜β＜0，cos ????π4＋α＝13，cos ????π4－β2＝33，则cos ????α＋β2＝ . 答案 539

解析 cos ????α＋β2＝cos ????????π4＋α－????π4－β2＝cos ????π4＋αcos ????π4－β2＋sin ????π4＋αsin ???

?π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4

，

8 ∴sin ????π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2

，∴sin ????π4－β2＝63. 故cos ????α＋β2＝13×33＋223×63＝539

. 3、(1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ????α－β2＝－19

，sin ????α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为 ． (2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34

，则cos A ＝ . 易错分析 (1)角α2－β，α－β2

的范围没有确定准确，导致开方时符号错误． (2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．

解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2

＜π，∴cos ????α2－β＝ 1－sin 2????α2－β＝53，sin ????α－β2＝ 1－cos 2????α－β2＝459，∴cos α＋β2

＝cos ????????α－β2－????α2－β ＝cos ????α－β2cos ????α2－β＋sin ????α－β2sin ????α2－β＝????－19×53＋459×23＝7527

， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34，∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74

. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23，∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53

， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B

＝???

?－53×????－34＋23×74＝35＋2712. 类型九

三角函数的求角问题

1、 (1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010

，则α＋β＝________. (2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈???

?－π2，π2，则α＋β＝________.

解析 (1)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010

， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22

， 又0<α＋β<π，故α＋β＝π4

.

9 (2)依题意有?

???? tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a 1－(3a ＋1)＝1. 又?????

tan α＋tan β＜0，tan α·tan β＞0，∴tan α＜0且tan β＜0.∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0， 即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－3π4

. 2、(1)若α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17

，则2α－β＝________. (2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C ＝________.

解析 (1)∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β

＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)．∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－???

?132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17

＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4

. (2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)，

∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3， 又0

.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ckqq.html