南京外国语学校2015届高考数学一轮复习 矩阵与变换 教案

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矩阵与变换2

一、 考纲要求 内容 要求 矩阵与变换 B 二、 教学目标 1. 理解并会求矩阵的特征值及特征向量，掌握特征多项式 2. 初步掌握矩阵的简单应用 三、 重点难点

特征值、特征向量、特征多项式 四、 知识导学

1.特征值与特征向量：

2.特征多项式：

五、 课前自学 1. 下列对于矩阵A的特征值?的描述中正确的是 。

（1）．存在向量?，使得A????； （2）．对任意向量?，有A????； （3）．对任意非零向量?， A????成立； （4）．存在一个非零向量?， 有A????.

?12?2. 设A???，矩阵A的特征值为 , 对应的特征向量可以是 .

21??5)，点B(3，?1)变成了3.已知在一个二阶矩阵M的变换作用下, 点A(1，2)变成了点A'(4，1)，求矩阵M. 点B'(5，

?1a??2?4.已知矩阵A???，A的一个特征值??2，其对应的特征向量是?1??1?.

?1b????（1）求矩阵A；（2）若向量????，求A

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?7??4?5?的值.

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六、探究、合作、展示 例1.已知A???33??24?，向量?????4? ??1??（1）求A的特征值?1,?2(?1??2)；

（2）求A属于?1的特征向量?1和属于?2的特征向量?2； （3）确定实数s,t，使向量?可以表示为??s?1?t?2； （4）利用（3）的结论，计算A2?,A3?,A20?,An?；

（5）观察并分析（4）中An?的结果，能否发现什么规律，并近似计算A100?.

练习. 已知M???3?2???2?2??，α???1??4??，试计算：M10α．

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例2．自然界生物种群的成长受到多种因素影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系。但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾。现假设两个相互影响的种群X,Y?an?1?an?2bn随时间段变化的数量分别为{an},{bn}，有关系式?，其中a1?6,b1?4，

?bn?1?3an?2bn试分析20个时段后这两个种群的数量变化趋势。

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七、当堂练习

??12??4?3M?. 1．已知矩阵M??5，向量，求??????3??16??2 2.已知甲,乙两个种群相互影响,其数量分别为?an?,?bn?,a1?20,b1?30,且有关系式

?an?1?1.1an?0.3bn,试求10个时段后甲,乙两个种群的数量. ?b?0.2a?0.4b,nn?n?1

3．自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等.因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系.但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾.现假设两个互相影响的种群

?an＋1＝3an＋bn

X，Y随时间段变化的数量分别为{an}，{bn}，并有关系式?，其中a1＝1，b1

?bn＋1＝2an＋2bn

＝1，试分析20个时段后这两个种群的数量变化趋势. 八、小结

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