《初等数论》习题解答

《初等数论》习题集

第1章

第 1 节

1. 证明定理1。

2. 证明：若m ? p?mn ? pq，则m ? p?mq ? np。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p是n的最小素约数，n = pn1，n1 > 1，证明：若p >3n，则n1

是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为

a2 ? p（a > 0是整数，p为素数）

的形式。

第 2 节

1. 证明：12?n4 ? 2n3 ? 11n2 ? 10n，n?Z。 2. 设3?a2 ? b2，证明：3?a且3?b。

3. 设n，k是正整数，证明：nk与nk + 4的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数n，m，等式n2 ? (n ? 1)2 = m2 ? 2不可能成立。 5. 设a是自然数，问a4 ? 3a2 ? 9是素数还是合数？

6. 证明：对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除。

第 3 节

1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x，y?Z，17?2x ? 3y，证明：17?9x ? 5y。

5. 设a，b，c?N，c无平方因子，a2?b2c，证明：a?b。

32n?16. 设n是正整数，求C12n,C2n,?,C2n的最大公约数。

第 4 节

1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a，b是正整数，证明：(a ? b)[a, b] = a[b, a ? b]。

4. 求正整数a，b，使得a ? b = 120，(a, b) = 24，[a, b] = 144。

1

5. 设a，b，c是正整数，证明：

[a,b,c]2(a,b,c)2?。

[a,b][b,c][c,a](a,b)(b,c)(c,a) 6. 设k是正奇数，证明：1 ? 2 ? ? ? 9?1k ? 2k ? ? ? 9k。

第 5 节

1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。

2. 用辗转相除法求整数x，y，使得1387x ? 162y = (1387, 162)。 3. 计算：(27090, 21672, 11352)。

4. 使用引理1中的记号，证明：(Fn + 1, Fn) = 1。

5. 若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？

6. 记Mn = 2n ? 1，证明：对于正整数a，b，有(Ma, Mb) = M(a, b)。

第 6 节

1. 证明定理1的推论1。 2. 证明定理1的推论2。

3. 写出22345680的标准分解式。

4. 证明：在1, 2, ?, 2n中任取n ? 1数，其中至少有一个能被另一个整除。

11???（n ? 2）不是整数。 2n6. 设a，b是正整数，证明：存在a1，a2，b1，b2，使得

a = a1a2，b = b1b2，(a2, b2) = 1，

并且[a, b] = a2b2。

5. 证明：1?第 7 节

1. 证明定理1。

2. 求使12347!被35k整除的最大的k值。

n?2r?1]= n。 3. 设n是正整数，x是实数，证明：?[r2r?1?4. 设n是正整数，求方程

x2 ? [x2] = (x ? [x])2

在[1, n]中的解的个数。

5. 证明：方程

f(x) = [x] ? [2x] ? [22x] ? [23x] ? [24x] ? [25x] = 12345

2

没有实数解。

6. 证明：在n!的标准分解式中，2的指数h = n ? k，其中k是n的二进制表示的位数码之和。

第 8 节

1. 证明：若2n ? 1是素数，则n是2的乘幂。 2. 证明：若2n ? 1是素数，则n是素数。 3. 证明：形如6n ? 5的素数有无限多个。

|d，证明：在以d为公差的等差数列中，连续4. 设d 是正整数，6?三项都是素数的情况最多发生一次。

5. 证明：对于任意给定的正整数n，必存在连续的n个自然数，使得它们都是合数。

?16. 证明：级数?发散，此处使用了定理1注2中的记号。

pn?1n

第2章

第 1 节

1. 证明定理1和定理2。

2. 证明定理4。

3. 证明定理5中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。 4. 求81234被13除的余数。

5. 设f(x)是整系数多项式，并且f(1), f(2), ?, f(m)都不能被m整除，则f(x) = 0没有整数解。

6. 已知99?62??427，求?与?。

第 2 节

1. 证明定理1。

2. 证明：若2p ? 1是奇素数，则

(p!)2 ? (?1)p ? 0 (mod 2p ? 1)。 3. 证明：若p是奇素数，N = 1 ? 2 ? ? ? ( p ? 1)，则

(p ? 1)! ? p ? 1 (mod N)。

4. 证明Wilson定理的逆定理：若n > 1，并且

(n ? 1)! ? ?1 (mod n)，

则n是素数。

5. 设m是整数，4?m，{a1, a2, ?, am}与{b1, b2, ?, bm}是模m的两个

3

完全剩余系，证明：{a1b1, a2b2, ?, ambm}不是模m的完全剩余系。

6. 设m1, m2, ?,mn是两两互素的正整数，?i（1 ? i ? n）是整数，并且

?i ? 1 (mod mi)， 1 ? i ? n， ?i ? 0 (mod mj)，i ? j，1 ? i, j ? n。

证明：当bi通过模mi（1 ? i ? n）的完全剩余系时， b1?1 ? b2?2 ? ? ? bn?n

通过模m = m1m2?mn的完全剩余系。

第 3 节

1. 证明定理1。

2. 设m1, m2, ?, mn是两两互素的正整数，xi分别通过模mi的简化剩

m余系（1 ? i ? n），m = m1m2?mn，Mi =，则

miM1x1 ? M2x2 ? ? ? Mnxn

通过模m的简化剩余系。

3. 设m > 1，(a, m) = 1，x1, x2, ?, x?(m)是模m的简化剩余系，证明：

?(m)i?1axi1{}??(m)。 ?m2其中{x}表示x的小数部分。

4. 设m与n是正整数，证明：

?(mn)?((m, n)) = (m, n)?(m)?(n)。

5. 设a，b是任意给定的正整数，证明：存在无穷多对正整数m与n，使得

a?(m) = b?(n)。

6. 设n是正整数，证明：

(ⅰ) ?(n) >

1n； 2(ⅱ) 若n是合数，则?(n) ? n ?n。

第 4 节

1. 证明：1978103 ? 19783能被103整除。 2. 求313159被7除的余数。

3. 证明：对于任意的整数a，(a, 561) = 1，都有a560 ? 1 (mod 561)，但561是合数。

4

4. 设p，q是两个不同的素数，证明：

pq ? 1 ? qp ? 1 ? 1 (mod pq)。

5. 将612 ? 1分解成素因数之积。

6. 设n?N，b?N，对于bn ? 1的素因数，你有甚麽与例6相似的结论？

第 5 节

1. 证明例2中的结论。 2. 证明定理2。

13. 求?。

d|nd4. 设f(n)是积性函数，证明： (ⅰ) (ⅱ)

??(d)f(d)??(1?f(p))

d|np|n??2(d)f(d)??(1?d|np|nf(p))。

5. 求?(n)的Mobius变换。

第3章

第 1 节

1. 证明定理3。

2. 写出789的二进制表示和五进制表示。

8的小数的循环节。 214. 证明：七进制表示的整数是偶数的充要条件是它的各位数字之和为偶数。

m 5. 证明：既约正分数的b进制小数(0?a?1a?2a?3?)b为有限小数的

n充要条件是n的每个素因数都是b的素因数。

3. 求

第 2 节

1. 设连分数? ?1, ?2, ?, ?n, ? ?的第k个渐近分数为

a1?10??1a2?10?01a3?10?00???00??100???0001000?0a2?10?01a3?10??0??000??10pk，证明： qk0???000pk?，qk?，

?ak?1?11ak?ak?1?11ak 5

2. 设连分数? ?1, ?2, ?, ?n, ? ?的第k个渐近分数为

?a11??a2??10???????11??ak????0???11??pk????0???qkpk，证明： qkpk?1??，k ? 2。 qk?1??3. 求连分数? 1, 2, 3, 4, 5, ? ?的前三个渐近分数。

4. 求连分数? 2, 3, 2, 3, ? ?的值。 5. 解不定方程：7x ? 9y = 4。

第 3 节

1. 证明定理4。 2. 求13的连分数。

3. 求2?3的误差? 10 ? 5的有理逼近。 4. 求sin18?的误差? 10 ? 5的有理逼近。

5. 已知圆周率? = ? 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 21, ? ?，求?的误差 ? 10的有理逼近。

? 6

6. 证明：

1?5F连分数展开的第k个渐近分数为k?1。此处{Fn}是2FkFibonacci数列。

第 4 节

1. 将方程3x2 ? 2x ? 2 = 0的正根写成连分数。 ?,3??之值。 2. 求? = ?1,23. 设a是正整数，求a2?1的连分数。

4. 设无理数d= ? a1, a2, ?, an, ? ?的第k个渐近分数为

pk，证明：qk?2,?,an,2a?1?的充要条件是 d??a1,apn = a1qn ? qn ?1，dqn = a1pn ? pn ?1。

5. 设无理数d= ? a1, a2, ?, an, ? ?的第k个渐近分数为整数n使得

pn = a1qn ? qn ?1，dqn = a1pn ? pn ?1，

6

pk，且正qk证明：

(ⅰ) 当n为偶数时，pn，qn是不定方程x2 ? dy2 = 1的解； (ⅱ) 当n为奇数时，p2n，q2n是不定方程x2 ? dy2 = 1的解。

第4章

第 1 节

17写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。 1052. 求方程x1 ? 2x2 ? 3x3 = 41的所有正整数解。 3. 求解不定方程组： 1. 将

?x1?2x2?3x3?7。 ?2x?5x?20x?1123?14. 甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100支铅笔分给这两个

班，要使甲班的学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？

5. 证明：二元一次不定方程ax ? by = n，a > 0，b > 0，(a, b) = 1的非负整数解的个数为[n]或[n]? 1。 abab 6. 设a与b是正整数，(a, b) = 1，证明：1, 2, ?, ab ? a ? b中恰有

(a?1)(b?1)个整数可以表示成ax ? by（x ? 0，y ? 0）的形式。 2第 2 节

1. 证明定理2推论。

2. 设x，y，z是勾股数，x是素数，证明：2z ? 1，2(x ? y ? 1)都是平方数。

3. 求整数x，y，z，x > y > z，使x ? y，x ? z，y ? z都是平方数。 4. 解不定方程：x2 ? 3y2 = z2，x > 0，y > 0，z > 0，(x, y ) = 1。 5. 证明下面的不定方程没有满足xyz ? 0的整数解。

(ⅰ) x2 ? y2 ? z2 = x2y2； (ⅱ) x2 ? y2 ? z2 = 2xyz。

6. 求方程x2 ? y2 = z4的满足(x, y ) = 1，2?x的正整数解。

第 3 节

1. 求方程x2 ? xy ? 6 = 0的整数解。

7

?x?y?z?02. 求方程组?3的整数解。 33?x?y?z??183. 求方程2x ? 3y = 1的正整数解。

1114. 求方程??的正整数解。

xyz5. 设p是素数，求方程

211??的整数解。 pxy6. 设2n ? 1个有理数a1, a2, ?, a2n ? 1满足条件P：其中任意2n个数可以分成两组，每组n个数，两组数的和相等，证明：

a1 = a1 = ? = a2n ? 1。

第5章

第 1 节

1. 证明定理1。 2. 解同余方程：

(ⅰ) 31x ? 5 (mod 17)；

(ⅱ) 3215x ? 160 (mod 235)。 3. 解同余方程组：

?3x?5y?38(mod47)。 ?x?y?10(mod47)?4. 设p是素数，0 < a < p，证明：

(p?1)(p?2)???(p?a?1)(mod p)。

a!是同余方程ax ? b (mod p)的解。

x?b(?1)a?15. 证明：同余方程a1x1 ? a2x2 ? ? ? anxn ? b (mod m)有解的充要条件是

(a1, a2, ?, an, m) = d?b。 若有解，则恰有d?mn ?1个解，mod m。

6. 解同余方程：2x ? 7y ? 5 (mod 12)。

第 2 节

8

?x?b1(mod5)??x?b2(mod6)1. 解同余方程组：?

x?b(mod7)3???x?b4(mod11)。?x?8(mod15)?2. 解同余方程组：?x?5(mod8)

?x?13(mod25)。?3. 有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？

4. 求一个最小的自然数n，使得它的个立方数，它的

11是一个平方数，它的是一231是一个5次方数。 55. 证明：对于任意给定的n个不同的素数p1, p2, ?, pn，必存在连续n个整数，使得它们中的第k个数能被pk整除。

6. 解同余方程：3x2 ? 11x ? 20 ? 0 (mod 105)。

第 3 节

1. 证明定理的推论。

2. 将例2中略去的部分补足。 3. 将例4中略去的部分补足。 4. 解同余方程x2 ? ?1 (mod 54)。

5. 解同余方程f(x) = 3x2 ? 4x ? 15 ? 0 (mod 75)。

6. 证明：对于任意给定的正整数n，必存在m，使得同余方程x2 ? 1 (mod m)的解数T > n。

第 4 节

1. 解同余方程：

(ⅰ) 3x11 ? 2x8 ? 5x4 ? 1 ? 0 (mod 7)；

(ⅱ) 4x20 ? 3x12 ? 2x7 ? 3x ? 2 ? 0 (mod 5)。 2. 判定

(ⅰ) 2x3 ? x2 ? 3x ? 1 ? 0 (mod 5)是否有三个解； (ⅱ) x6 ? 2x5 ? 4x2 ? 3 ? 0 (mod 5)是否有六个解？

3. 设(a, m) = 1，k与m是正整数，又设x0k ? a (mod m)，证明同余方

9

程

xk ? a(mod m)

的一切解x都可以表示成x ? yx0 (mod m)，其中y满足同余方程yk ? 1 (mod m)。

4. 设n是正整数，p是素数，(n, p ? 1) = k，证明同余方程xn ? 1 (mod p)有k个解。

5. 设p是素数，证明：

(ⅰ) 对于一切整数x，xp ? 1 ? 1 ? (x ? 1) (x ? 2)?(x ? p ? 1) (mod p)； (ⅱ) (p ? 1)! ? ? 1 (mod p)。

6. 设p ? 3是素数，证明：(x ? 1)(x ? 2)?(x ? p ? 1)的展开式中除首项及常数项外，所有的系数都是p的倍数。

第 5 节

1. 同余方程x2 ? 3 (mod 13)有多少个解？

2. 求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余。

3. 设p是奇素数，证明：模p的两个二次剩余的乘积是二次剩余；两个二次非剩余的乘积是二次剩余；一个二次剩余和一个二次非剩余的乘积是二次非剩余。

n4. 设素数 p ? 3 (mod 4)，()= 1，证明x ? ?npp?14(mod p)是同余方

程

x2 ? n (mod p)

的解。

5. 设p是奇素数，(n, p) = 1，?是正整数，证明同余方程

x2 ? n (mod p?)

n有解的充要条件是()= 1。

p6. 设p是奇素数，证明：模pp同余。

p?1的所有二次剩余的乘积与(?1)2对模

第 6 节

1. 已知769与1013是素数，判定方程 (ⅰ) x2 ? 1742 (mod 769)； (ⅱ) x2 ? 1503 (mod 1013)。 是否有解。

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