高中数学必修一函数大题（含详细解答）

高中函数大题专练

２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。

① 对任意的x?[0,1]，总有f(x)?0；

② 当x1?0,x2?0,x1?x2?1时，总有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)成立。 已知函数g(x)?x与h(x)?a?2?1是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由； （2）若函数h(x)是G函数，求实数a的值；

（3）在（2）的条件下，讨论方程g(2?1)?h(x)?m(m?R)解的个数情况。

x2x1. |x|2 （1）若f(x)?2，求x的值；

3.已知函数f(x)?2x?（2）若2tf(2t)?mf(t)?0对于t?[2,3]恒成立，求实数m的取值范围.

?11?,x?0;?4.设函数f(x)是定义在R上的偶函数.若当x?0时，f(x)?? x?0,x?0.?（1）求f(x)在(??,0)上的解析式.

（2）请你作出函数f(x)的大致图像.

（3）当0?a?b时，若f(a)?f(b)，求ab的取值范围.

（4）若关于x的方程f(x)?bf(x)?c?0有7个不同实数解，求b,c满足的条件.

5．已知函数f(x)?a?2b(x?0)。 |x| （1）若函数f(x)是(0,??)上的增函数，求实数b的取值范围；

（2）当b?2时，若不等式f(x)?x在区间(1,??)上恒成立，求实数a的取值范围； （3）对于函数g(x)若存在区间[m,n](m?n)，使x?[m,n]时，函数g(x)的值域也是

[m,n]，则称g(x)是[m,n]上的闭函数。若函数f(x)是某区间上的闭函数，试探

求a,b应满足的条件。

6、设f(x)?

7．对于函数f(x)，若存在x0?R ，使f(x0)?x0成立，则称点(x0,x0)为函数的不动点。

ax2?bx，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f(x)的定义域和值域相同。

（1）已知函数f(x)?ax?bx?b(a?0)有不动点（1，1）和（-3，-3）求a与b的值； （2）若对于任意实数b，函数f(x)?ax?bx?b(a?0)总有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）若定义在实数集R上的奇函数g(x)存在（有限的）n 个不动点，求证：n必为奇数。

8．设函数f(x)?x?221，(x?0)的图象为C1、C1关于点A（2，1）的对称的图象为C2，xC2对应的函数为g(x).

（1）求函数y?g(x)的解析式；

（2）若直线y?b与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标.

9．设定义在(0,??)上的函数f(x)满足下面三个条件：

①对于任意正实数a、b，都有f(a?b)?f(a)?f(b)?1； ②f(2)?0；

③当x?1时，总有f(x)?1. （1）求f(1)及f()的值；

（2）求证：f(x)在(0,??)上是减函数.

10． 已知函数f(x)是定义在??2,2?上的奇函数，当x?[?2,0)时，f(x)?tx?常数）。

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）当t?[2,6]时，求f(x)在??2,0?上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f(x)在?0,2?上的单调递增区间（不必证明）；

（3）当t?9时，证明：函数y?f(x)的图象上至少有一个点落在直线y?14上。

11.记函数f?x??1213x（t为22?x?7的定义域为A，g?x??lg??2x?b??ax?1???b?0,a?R?的定x?2义域为B，

（1）求A： （2）若A?B，求a、b的取值范围

ax?1?a?0,a?1?。 12、设f?x??x1?a?1（1）求f?x?的反函数f?x?：

?x?在?1.???上的单调性，并加以证明：

（3）令g?x??1?logax，当?m,n???1,????m?n?时，

?g?n?,g?m??，求a 的取值范围。

（2）讨论f?1f?1?x?在?m,n?上的值域是

13．集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的：

(1) 函数f(x)的定义域是[0,??)； (2) 函数f(x)的值域是[?2,4)；

(3) 函数f(x)在[0,??)上是增函数．试分别探究下列两小题： （Ⅰ）判断函数f1(x)?1x?2(x?0)，及f2(x)?4?6?()x(x?0)是否属于集合A？并简

2要说明理由．

（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数f(x)，不等式f(x)?f(x?2)?2f(x?1)，

是否对于任意的x?0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．

?f(x)(x?0)14、设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=?

?f(x)(x?0)?（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)?0成立，求F(x)表达式。

（2）在（1）的条件下,当x???2,2?时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。

2（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。

15．函数f(x)=

x(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。

ax?b(1)求a、b的值；

(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。

函数大题专练答案

２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。

① 对任意的x?[0,1]，总有f(x)?0； ② 当x1?0,x2?0,x1?x2?1时，总有

2xf(x1?x2)?f(x1)?f(x2)成立。

已知函数g(x)?x与h(x)?a?2?1是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由； （2）若函数h(x)是G函数，求实数a的值；

（3）在（2）的条件下，讨论方程g(2?1)?h(x)?m(m?R)解的个数情况。 解：（1） 当x??0,1?时，总有g(x)?x?0，满足①，

2x当x1?0,x2?0,x1?x2?1时，

g(x1?x2)?x12?x22?2x1x2?x12?x22?g(x1)?g(x2)，满足

（2）因为h（x）为G函数，由①得，h(0)?0,由②得，h(0+0)?h(0)+h(0) 所以h(0)=0,即a-1=0,所以a=1； （3）根据（２）知： a=1，方程为4?2?m，

xx?0?2x?1?1由? 得 x?[0,1] ?0?x?1121x2令2?t?[1,2]，则m?t?t?(t?)?

24由图形可知：当m?[0,2]时，有一解；

当m?(??,0)?(2,??)时，方程无解。

７．对于函数f(x)，若存在x0?R ，使f(x0)?x0成立，则称点(x0,x0)为函数的不动点。 （1）已知函数f(x)?ax?bx?b(a?0)有不动点（1，1）和（-3，-3）求a与b的值； （2）若对于任意实数b，函数f(x)?ax?bx?b(a?0)总有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）若定义在实数集R上的奇函数g(x)存在（有限的）n 个不动点，求证：n必为奇数。 解：（1）由不动点的定义：f(x)?x?0，∴ax?(b?1)x?b?0 代入x?1知a?1，又由x??3及a?1知b?3。 ∴a?1，b?3。

（2）对任意实数b，f(x)?ax?bx?b(a?0)总有两个相异的不动点，即是对任意的实数b，方程f(x)?x?0总有两个相异的实数根。

∴ax?(b?1)x?b?0中??(b?1)?4ab?0，

即b?(4a?2)b?1?0恒成立。故?1?(4a?2)?4?0，∴0?a?1。

22222222

故当0?a?1时，对任意的实数b，方程f(x)总有两个相异的不动点。 ………...................1’

（3）g(x)是R上的奇函数，则g(0)?0，∴（0，0）是函数g(x)的不动点。 若g(x)有异于（0，0）的不动点(x0,x0)，则g(x0)?x0。 又g(?x0)??g(x0)??x0，∴(?x0,?x0)是函数g(x)的不动点。 ∴g(x)的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，

所以有2k个（k?N），加上原点，共有n?2k?1个。即n必为奇数 ８．设函数f(x)?x?1，(x?0)的图象为C1、C1关于点A（2，1）的对称的图象为C2，xC2对应的函数为g(x).

（1）求函数y?g(x)的解析式；

（2）若直线y?b与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标. 解．（1）设p(u,v)是y?x?11上任意一点，?v?u? ① xu?u?x?4?u?4?x??

?v?y?2?v?2?y设P关于A（2，1）对称的点为Q(x,y),??代入①得2?y?4?x?11 ?y?x?2?4?xx?4?g(x)?x?2?1(x?(??,4)?(4,??)); x?4?y?b?2 （2）联立?1?x?(b?6)x?4b?9?0,

y?x?2??x?4????(b?6)2?4?(4b?9)?b2?4b?0?b?0或b?4,

（1）当b?0时得交点（3，0）； （2）当b?4时得交点（5，4）. 9．设定义在(0,??)上的函数f(x)满足下面三个条件：

①对于任意正实数a、b，都有f(a?b)?f(a)?f(b)?1； ②f(2)?0；

③当x?1时，总有f(x)?1.

（1）求f(1)及f()的值；

（2）求证：f(x)在(0,??)上是减函数.

解（1）取a=b=1，则f(1)?2f(1)?1.故f(1)?1 又f(1)?f(2?1)?f(2)?f(1)?1. 且f(2)?0.

2212得：f(1)?f(1)?f(2)?1?1?1?2

2 （2）设0?x1?x2,则：f(x2)?f(x1)?f(x2?x1)?f(x1)?[f(x2)?f(x1)?1]?f(x1)

x1x1x2x20?x?x,可得?1 依?f()?112x1x1再依据当x?1时，总有f(x)?1成立，可得f(x2)?1 x1即f(x2)?f(x1)?0成立，故f(x)在(0,??)上是减函数。

10． 已知函数f(x)是定义在??2,2?上的奇函数，当x?[?2,0)时，f(x)?tx?常数）。

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）当t?[2,6]时，求f(x)在??2,0?上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f(x)在?0,2?上的单调递增区间（不必证明）；

（3）当t?9时，证明：函数y?f(x)的图象上至少有一个点落在直线y?14上。

13x（t为211(?x)3??tx?x3， ∵函2213数f(x)是定义在??2,2?上的奇函数，即f??x???f?x?，∴?f?x???tx?x，即

211f(x)?tx?x3，又可知 f?0??0，∴函数f(x)的解析式为 f(x)?tx?x3 ，

22解：（1）x??0,2?时，?x???2,0?， 则 f(?x)?t(?x)?x???2,2?；

（2）f?x??x?t???112?x?，∵t?[2,6]，x???2,0?，∴t?x2?0， 2?23∵ ?f?x??21212??22x?t?x?t?x??318t1??2222???x?t?x???，∴x2?t?x2，

3272??2??????

即 x2?6t262t6t(????2,0?)时，fmin??tt 。 ,x??3339?6t?猜想f(x)在?0,2?上的单调递增区间为?0,?。

3??（3）t?9时，任取?2?x1?x2?2，∵

?122?f?x1??f?x2???x1?x2??t?x1?x1x2?x2??0，

?2? ∴f?x?在??2,2?上单调递增，即f?x???f??2?,f?2??，即f?x???4?2t,2t?4?，t?9，∴4?2t??14,2t?4?14，

∴14??4?2t,2t?4?，∴当t?9时，函数y?f(x)的图象上至少有一个点落在直线

??y?14上。

11.记函数f?x??2?x?7的定义域为A，g?x??lg??2x?b??ax?1???b?0,a?R?的定x?2义域为B，

（1）求A： （2）若A?B，求a、b的取值范围

x?7??x?3??0???x?0?????,?2???3,???， x?2??x?2?b1（2）?2x?b??ax?1??0，由A?B，得a?0，则x?orx??，即

2ab?10??3??a?1b??????2??B????,????,???， ?。 21a??2????2???0??0?b?6?a?ax?1?a?0,a?1?。 12、设f?x??x1?a?1（1）求f?x?的反函数f?x?：

解：（1）A??x2????x?在?1.???上的单调性，并加以证明：

（3）令g?x??1?logax，当?m,n???1,????m?n?时，

?g?n?,g?m??，求a 的取值范围。

（2）讨论f?1f?1?x?在?m,n?上的值域是

x?1?x?1或x??1? x?1x?1x2?12?x1?x2????0 （2）设1?x1?x2，∵1x1?1x2?1?x1?1??x2?1?解：（1）f?1?x??loga∴0?a?1时，f

?1?x1??f?1?x2?，∴

f?1?x?在?1.???上是减函数：a?1时，

?x2?，∴f?1?x?在?1.???上是增函数。

?1（3）当0?a?1时，∵f?x?在?1.???上是减函数，

?1?x?1x?1?f?m??g?m? ∴??1，由loga ?1?logax得?ax，即ax2??a?1?x?1?0，

x?1x?1??????fn?gnf?1?x1??f?1????0??1可知方程的两个根均大于1，即?f?1??0?0?a?3?22，当a?1时，∵f?x?在

?1?a??1?2a?f?1?m??g?n??m?1?amn?an????1.???上是增函数，∴??1。 综?a??1（舍去）

n?1?amn?am???f?n??g?m?上，得 0?a?3?22。

13．集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的：

(1) 函数f(x)的定义域是[0,??)； (2) 函数f(x)的值域是[?2,4)；

(3) 函数f(x)在[0,??)上是增函数．试分别探究下列两小题： （Ⅰ）判断函数f1(x)?1x?2(x?0)，及f2(x)?4?6?()x(x?0)是否属于集合A？并简

2要说明理由．

（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数f(x)，不等式f(x)?f(x?2)?2f(x?1)，

是否对于任意的x?0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论． 解：（1）函数f1(x)?x?2不属于集合A. 因为f1(x)的值域是[?2,??),所以函数

f1(x)?x?2不属于集合A.(或?当x?49?0时,f1(49)?5?4，不满足条件.)

1① 函数f2(x)的定义域是[0,??)；② 函f2(x)?4?6?()x(x?0)在集合A中, 因为:

2数f2(x)的值域是[?2,4)；③ 函数f2(x)在[0,??)上是增函数．

1x1（2）f(x)?f(x?2)?2f(x?1)?6?()(?)?0，

24?不等式f(x)?f(x?2)?2f(x?1)对于任意的x?0总成立

?f(x)(x?0)14、设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=?

?f(x)(x?0)?（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)?0成立，求F(x)表达式。

（2）在（1）的条件下,当x???2,2?时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。

2（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。 解：（1）?f(-1)=0 ∴b2?a?1由f(x)?0恒成立 知△=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2?0

(x?0)(x?0) ，

?(x?1)∴a=1从而f(x)=x+2x+1 ∴F(x)=?2??(x?1)

（2）由（1）可知f(x)=x2+2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1，由于g(x)在??2,2?上是

2?k2?k??2或-?2，得k?-2或k?6 ，

22（3）?f(x)是偶函数，∴f(x)=f(x)，而a>0∴f(x)在?0,???上为增函数

单调函数,知-对于F(x)，当x>0时-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，当x<0时-x>0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，

∴F(x)是奇函数且F(x)在?0，???上为增函数， ?m>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n) ∴F(m)+F(n)>0 。 15．函数f(x)=

x(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。

ax?b(1)求a、b的值；

(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。 解 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程所以

x=x的解，

ax?b1=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则

ax?b1b=1，所以a=。

22x(2)f(x)=，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，

x?22m取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性)，又m= –4时，

m?22x2(?4?x)f(x)+f(–4–x)==……=4成立(充分性) ，所以存在常数m= –4，使得对定?x?2?4?x?2义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，

x?22

)，设x+2=t，t≠0， 则x?2t?422816164444|AP|2=(t+1)2+()=t+2t+2–+2=(t2+2)+2(t–)+2=(t–)2+2(t–)+10=( t–+1)2+9

tttttttt(3)|AP|2=(x+3)2+(，

4?1?17?5?17+1=0时即t=，也就是x=时，|AP| min = 3 。

22t21?mx16、已知函数f(x)??log2是奇函数。

x1?x（1）求m的值；

所以当t–

（2）请讨论它的单调性，并给予证明。

解（1）?f(x)是奇函数，?f(?x)?f(x)?0；

21?mx21?mx； ?log2)?(?log2)?0，解得：m?1，其中m??1（舍）

x1?xx1?x21?x经验证当m?1时，f(x)??log2(x???1,0???0,1?)确是奇函数。

x1?x即(?（2）先研究f(x)在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1

f(x1)?f(x2)??(由1?x121?x22?log2??log2x11?x1x21?x22222?)?[log2(?1)?log2(?1)], x1x21?x21?x12222??0,log2(?1)?log2(?1)?0,x1x21?x21?x1得f(x1)?f(x2)>0，即f(x)在（0，1）内单调递减；

由于f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数f(x)在（－1，0）内单调递减。

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