射影几何、

前 言

射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现在对初等几何图形性质的研究中。由射影几何、仿射几何和欧氏几何三者的关系，我们知道，欧氏几何为仿射几何及射影几何的子几何，因此可以通过图形的仿射性质和射影性质，指导研究初等几何中的一些问题。完全四点（线）形的调和性是射影几何的重要不变性，它在射影几何中占有重要地位，不仅如此，它在初等几何中也有广泛应用。由于它跟初等几何课程有紧密的联系，它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养，所以我尽量从几何的概念出发，运用活生生的几何直观，作为简化思维过程进行高度概括总结的武器。经验表明，学了射影几何之后，学生对几何的学习兴趣提高了很多。所以紧密联系中学数学教学，是本论文的着重点之一。

1.完全四点(线)形的定义及性质 1.1 完全四点形的定义

定义1 平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形称为完全四点形(完全四角形),记作完全四点形ABCD。

定义1′ 完全四点形含四点六线,每一点称为顶点,每一直线称为边,不过同一顶点的两边称为对边,六边分为三对,每一对对边的交点称为对边点(对角点),三个对边点构成的三角形称为对角三角形,如图1。

A CY E GxdB Q D abBX pC Z cDP R HAFgE

图1 图2

定义2:平面内无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形。称为完全四线形(完全四边形),记作完全四线形abcd。

定义2′:完全四线形abcd含四线六点,每一直线称为边,每一点称为顶点,不在

1

同一边上的两个顶点称为对顶,六个顶点分为三对,每一对对顶的连线称为对顶线(对角线),三条对顶线构成的三角形称为对角三角形,如图2。

1.2 完全四点(线)形的调和性质

定理1:设s、s′是完全四点形ABCD的一对对边,它们的交点是点X,若X与其它二对边点的连线是t、t′,则有 (ss′, tt′) =－1。

APMBDLYCQss′tZt′X

图3

证明：如图3，根据定理1.10[1]，有

（AB，PZ）=（DC，PZ） 同理 （DC，QZ）=（BA，PZ） ∴ （AB，PZ）=（BA，PZ） 但是 （BA， PZ）=

1(AB,PZ)

∴ (AB,PZ)2=1 但 （AB，PZ）≠1 因此 （AB，PZ）=－1 由定理1.9[2]，有

（AB，CD）=(ab,cd) (ss′,tt′)=－1.

推论1:在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点,其中两个点是对边点,另两个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点。 证明：如图3，根据定理1.10[1]，有

（AB，PZ）=（DC，QZ）

同理 （ML，YZ）=（DC，QZ），（DC，QZ）=（BA，PZ） ∴ （AB，PZ）=（ML，YZ）=（BA，PZ）

2

又∵ （BA， PZ）=

1(AB,PZ)′

∴ (AB,PZ)2=1 但 （AB，PZ）≠1 ∴ （AB，PZ）=－1 ∴ （ML，YZ）=－1=

1(LM,YZ)

∴ （LM，YZ）=－1 即 （YZ，LM）=－1。 如图1中, (QR, YZ) =-1, (PQ, XE) =－1等。

推论2:在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点,其中两个点是顶点,另一对点偶里,一个点是对边点,另一个点是这个边与对边三点形的边的交点。 证明：如图3，根据定理1.10[1]，有

（AB，PZ）=（DC，PZ） 同理 （DC，QZ）=（BA，PZ） ∴ （AB，PZ）=（BA，PZ） 但是 （BA， PZ）=

1(AB,PZ)

∴ (AB,PZ)2=1 但 （AB，PZ）≠1 因此 （AB，PZ）=－1。 如图1中, (AB, YP) =－1, (AD, ER) =－1等。 对偶地,可以得出完全四线形的调和性质。

定理2:设S、S′是完全四线形abcd的一对对顶点,它们的连线是对顶线x,若x与其它二对顶点的交点是T、T′,则有(SS′, TT′) =－1。

SaxT′cdzS′qbAp

yT

3

图4

证明：如图4，对于对顶线x，只要证(SS′, TT′) =－1，根据§2.1推论2.5[3]，只要证明（ab,pz）=－1,

∵ （ab,pz）=(y×a,y×b;y×p,y×z)=(cd,pz) 而 (cd,qz）= (SS′, TT′) =(ba,pz) ∴ (ab,pz)=(ba,pz)=1(ab,pz)

即 (ab,pz)2=1 但是 （ab,pz）≠1, ∴ （ab,pz）=－1.

同理可证其他两条对顶线上的四点调和共轭，证毕。

推论1:过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一组调和共轭线束,其中两直线是对顶线,另两条直线是此顶点与第三条对顶线上两对顶点的连线。如图2中, E (BA, CD) =－1等。

推论2:在完全四线形的每个顶点上,有一组调和线束,其中两条边是过此点的两边,在另一对线偶里,一条是对顶边,另一条是这个顶点与对顶三线形的顶点的连线。如图2中, F (BA, CD) =－1等。

利用上述性质我们可以较为简单明了地解决许多初等几何的问题,以使得初几与高几的学习能够融会贯通,从中体会到高几对初几的指导作用。

2． 交比、调和比的定义及性质

在射影平面上，共线的四个点A、B、C、D的交比记为（AB，CD）=

AC?BDAD?BC（其

中AC、BD、AD、BC均为有向线段）。当（AB，CD）=－1时，称四点A、B、C、D

调和共轭，－1称为调和比。交于一点O的四直线a、b、c、d，被一条不过O的直线l截于四点A、B、C、D，定义（ab,cd）=(AB，CD)。相应地，当（ab,cd）=－1时，称四条直线a、b、c、d调和共轭。

交比、调和比有许多重要性质，下面就本文所用到的一些性质介绍如下： 性质1：完全四点形每一对边点处有一调和线束，它是过该点的一组对边与对边三点形的两边。

性质2：一个角的两边与其内、外角平分线调和共轭。

4

dCalAcbT∞TB

图5

证明：如图5，c,d顺次为?(a,b)的内外角平分线，作直线l与d平行，则l⊥c，若l交a，b，c于A，B，T，则△ABC为等腰三角形，故

AT=BT 因此 （AB，TT?）=－1 于是 (ab,cd)=－1.

性质3：(AB,CD?)=－1的充要条件是C为AB的中点。

P1P3P2P4

图6

证明：如图6，

⑴充分性：P3是P1，P2的中点， ∴ ?P1P2P3?=－1 又P4为无穷远点，根据定理1.4，有

?P1P2P4?=1 ∴ ?P1P2,P3P4?=－1 ⑵必要性：∵ ?P1P2,P3P4?=－1 若P4为无穷远点，则

?P1P2P4?=1

于是 ?P1P2P3?=－1 ∴P3是线段P1P2的中点。

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