唐山市 唐山一中 自主招生数学测试题

唐山市 唐山一中 自主招生综合素质测试数学试卷

（满分100分，考试时间60分钟）

学 校 姓 名 准考证号 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上的相应位置． ．．．．．．．一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的．）

1．实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则化简a?b－a的结果为（★★★）

a A．?2a?b

B．?b

0

b

D．b

C．?2a?b

2．打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图像大致为（★★★）

yyyyOxOxOxOx

A． B． C． D． 3．对福州市自行车协会某次野外训练的中学生的年龄进行统计，结果如下：

年龄（岁） 人数（人）

13 4 B．17，16

14 5 15 16 17 18 6 6 7 2 则这些学生年龄的众数和中位数分别是（★★★） A．17，15.5

C．15，15.5

D．16，16

4．下图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A、B、C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（★★★）

CAB

A． B． C． D．

5．如下图所示，矩形纸片ABCD中，AB?2，AD?6，将其折叠，使点D与点B重合，

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得折痕EF，则tan?BFE的值是（★★★） A．

7 2B．1 C．2 D．3

yAEDB2C1CB1BOAxBC'FCB3C2C3

第5题图 第6题图

6．如上图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、

y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三

个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2015的坐标为（★★★） A．21008,0 C．21009,21009

??B．21007,?21007

????D．?21007,21007

??二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）

7．对正实数a，b作定义a?b?ab?a，若2?x?6，则x?★★★．

8．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是数关系式为★★★．

9．如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数

1，则y与x之间的函4y?k?k?0，x?0?的图象上，⊙A与x轴相切， x⊙B与y轴相切．若点A的坐标为?3，2?，且⊙A 的半径是⊙B的半径的2倍，则点B的坐标为★★★．

?x?6?2?3x，?10．若关于x的不等式组?a?2x有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是

?x??4★★★．

11．将一副三角板按下图1所示的位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已

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知AB?AC?8，将?MED绕点A?M?逆时针旋转60后（如图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积是★★★．

ECDECDBA(M)

BA(M)

图1 图2

12．甲、乙、丙、丁、戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为

止，已知甲赛了5场，乙赛了4场，丙赛了3场，丁赛了2场，戊赛了1场，则小强赛了★★★场．

三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）

13．（本小题满分13分）

如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆 O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．（1）求证：△NPQ∽△PMR；

（2）如果圆O的半径为5，且S?PMR?4S?PNQ， 求NP的长． 14．（本小题满分13分）

如图1，在平面直角坐标系中，直线y?RMONPQ133x?与抛物线y??x2?bx?c交于A、

442B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为?8．

（1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合）．过点P作x轴的垂．．线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE?AB于点E，设?PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．

yPACOEDxOyAx 图1 备用图 15．（本小题满分14分） 唐山市 唐山一中 自主招生综合素质测试数学试卷 第3页 共7页

BB 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数．比如：

…

136图1

10 …

149图2

16他们研究过图1中的1，，，3610，… ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1． ，，，4916，… ，这样的数为正方形数（四边形数）（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为 ； （2）试证明，当k为正整数时，k(k?1)(k?2)(k?3)?1必为正方形数； （3）记第n个k边形数为N?n,k??k?3?，例如N?1,3??1，N?2,3??3，

N?2,4??4．

（ⅰ）试直接写出N?n,3?，N?n,4?的表达式； （ⅱ）通过进一步的研究发现N?n,5??321n?n，N?n,6??2n2?n，… ，请你22推测N?n,k??k?3?的表达式，并由此计算N?10,24?的值．

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福州一中2015年高中招生（面向市区以外）

综合素质测试数学参考答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

题号 答案

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7． 9． 11．

321 D 2 A 3 A 4 B 5 D 6 A

8．

y?3x?5?x是非负整数?10．12．

12?a?143 说明：不写范围不扣分

(1，6)48?163

三、解答题（本大题共3小题，满分40分）

13．（1）证法一：∵MR、NQ为圆O的切线，∴?OMR??ONQ?90，

∵?MOR??NOQ，

∴?R??Q，———① ………………… 3分 ∵MN为圆O的直径，

∴?MPN?90，即?PMN??PNM?90， ∵?PNM??PNQ??ONQ?90， ∴?PMN??PNQ，

∵OM?OP，∴?PMN??MPR，

∴?MPR??PNQ，———② …………………6分 由①②得△NPQ∽△PMR． …………………7分 证法二：∵OP?ON，∴?ONP??OPN，

∴?QPN??PON??ONP??OMP??OPM??OPN??OMP??MPN， ∵?RMP??OMP??OMR，且?OMR??MPN?90， ∴?RMP??QPN，———③ 由①③得△NPQ∽△PMR． 证法三：由②③得△NPQ∽△PMR． （注：其他证法对应给分）

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