必修五正余弦定理习题练习

必修五正余弦定理习题练习

一．选择题（共5小题） 1．（2015?秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（ ） A．

B．

C．

D．

，

2．（2016?太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，A．

B．

，则b的值为（ ）

C．

D．

3．（2016?大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是 （ ） A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（2016?宝鸡一模）在△ABC，a=A．

B．

C．

D．

或

，b=

，则AC=（ ）

，B=

，则A等于（ ）

5．（2014?新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=

A．5 B． C．2 D．1

二．填空题（共6小题） 6．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3

，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为______．

7．（2015?重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=______．

8．（2015?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=C=

，则b=______．

，∠A=

，则∠B=______．

，sinB=，

9．（2015?北京）在△ABC中，a=3，b=10．（2015?安徽）在△ABC中，AB=

，∠A=75°，∠B=45°，则AC=______．

，

11．（2013?福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=AB=3

，AD=3，则BD的长为______．

第1页（共7页）

三．解答题（共1小题）

12．（2015?新课标Ⅰ）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sinB=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

2

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必修五正余弦定理习题练习

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题） 1．（2015?秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（ ） A．

B．

C．

D．

2

【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b=ac， 由c=2a，则b=a，

=

故选B．

2．（2016?太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，A．

B．

，则b的值为（ ）

C．

D．

，S△ABC=

，

，

，

【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=∴bcsinA=bc∴bc=3，①

又a=2，A是锐角， ∴cosA=

2

=，

=，

2

2

∴由余弦定理得：a=b+c﹣2bccosA，

即（b+c）=a+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12， ∴b+c=2

②

，

2

2

由①②得：

解得b=c=． 故选A． 3．（2016?大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是 （ ） A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形

【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，

第3页（共7页）

∴sinBcosB=sinAcosA ∴sin2A=sin2B

∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°， 即有△ABC为等腰或直角三角形． 故选C．

4．（2016?宝鸡一模）在△ABC，a=A．

B．

C．

D．

或

，b=

，B=

，则A等于（ ）

【解答】解：由正弦定理可得：sinA=∵a=∴∴∠A=

， ＜b=

==

故选：B．

5．（2014?新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=A．5

B．

C．2

D．1

，

，则AC=（ ）

【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=∴S=acsinB=，即sinB=当B为钝角时，cosB=﹣

2

2

2

，

=﹣

，

，

利用余弦定理得：AC=AB+BC﹣2AB?BC?cosB=1+2+2=5，即AC=当B为锐角时，cosB=

2

2

2

=，

利用余弦定理得：AC=AB+BC﹣2AB?BC?cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，

222

此时AB+AC=BC，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去， 则AC=． 故选：B．

二．填空题（共6小题） 6．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3

，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为 8 ．

=

．

【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA=

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∵S△ABC==bc=，化为bc=24，

又b﹣c=2，解得b=6，c=4．

由余弦定理可得：a=b+c﹣2bccosA=36+16﹣48×解得a=8． 故答案为：8．

7．（2015?重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c= 4 ． 【解答】解：∵3sinA=2sinB， ∴由正弦定理可得：3a=2b， ∵a=2，

∴可解得b=3， 又∵cosC=﹣，

∴由余弦定理可得：c=a+b﹣2abcosC=4+9﹣2×∴解得：c=4． 故答案为：4．

8．（2015?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=C=

，则b= 1 ．

，sinB=，

2

2

2

2

2

2

=64．

=16，

【解答】解：∵sinB=， ∴B=当B=

或B=时，a=

，C=

，A=

，

由正弦定理可得，

则b=1 当B=

时，C=

，与三角形的内角和为π矛盾

故答案为：1

9．（2015?北京）在△ABC中，a=3，b=【解答】解：由正弦定理可得，

，∠A=

，则∠B= ．

第5页（共7页）

=，

即有sinB===，

由b＜a，则B＜A， 可得B=

．

．

故答案为：

10．（2015?安徽）在△ABC中，AB=【解答】解：∠A=75°，∠B=45°， 则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°， 由正弦定理可得，

=

，

，∠A=75°，∠B=45°，则AC= 2 ．

即有AC==2．

故答案为：2．

11．（2013?福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=AB=3

，AD=3，则BD的长为 ．

，

【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°， ∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=

，

在△ABD中，AB=3，AD=3，

222

根据余弦定理得：BD=AB+AD﹣2AB?AD?cos∠BAD=18+9﹣24=3， 则BD=． 故答案为：

三．解答题（共1小题）

2

12．（2015?新课标Ⅰ）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sinB=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

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【解答】解：（I）∵sinB=2sinAsinC， 2

由正弦定理可得：

代入可得（bk）2

=2ak?ck， ∴b2

=2ac，

∵a=b，∴a=2c，

由余弦定理可得：cosB=

（II）由（I）可得：b2

=2ac，∵B=90°，且a=， ∴a2+c2

=2ac，解得a=c=．∴S△ABC==1．

＞0，

=第7页（共7页）=．

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