层次分析法的综述

层次分析法的基本思想与实际应用

徐俊杰，方航，唐杰

摘 要 介绍了层次分析法的基本思路和方法，并以选购钢笔的分析和决策为例，对层次分析法的运用进行具体的演示，证明了层次分析法对多目标的决策具有科学性和实用性。

关键词 层次分析法选购钢笔分析

层次分析法（AHP）是美国著名运筹学家汤姆斯·萨蒂（Thomes L·Saaty）于20世纪70年代初提出的一种层次权重决策分析方法。该方法是将与决策有关的元素分解成目标、效果、指标等层次，并在此基础之上进行定性和定量分析，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策。

1层次分析法的基本思想和方法 1.1层次分析法的基本思路和步骤

层次分析法的基本思路是将所要分析的问题层次化；根据问题的性质和所要达成的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照这些因素间的关联影响及其隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次分析结构模型；最后，对问题进行优劣比较并排序。层次分析法的步骤如下:

（1）对构成决策问题的各种要素建立多级递进的结构模型。

（2）对同一等级（层次）的要素以上一级要素为准则进行两两比较，根据评定尺度确定其相对重要程度，并据此建立判断矩阵。

（3）通过一定的计算，确定各要素的相对重要度。

（4）通过综合重要度的计算，对各种替代方案进行优劣比较并排序。 1.2层次分析法的数学基础层次分析法的基本数学原理可以用以下的简单

事例分析来说明。假设有n个物体A1，A2，?，An，它们的重量分别记为W1，W2，?，Wn。现将每个物体的重量两两进行比较如下：若以矩阵来表示各物体的这种相互重量关系，即

上面式子中，A称为判断矩阵。若取重量向量W=[W1，W2，?，Wn]T，则有：AW=n·W。这就是说，W是判断矩阵A的特征向量，n是A的一个特征值。事实上，根据线性代数知识，我们不难证明，n是矩阵的唯一非零的，也是最大的特征值，而W为其所对

应的特征向量。上述事实提示我们，如果有一组物体，需要知道它们的重量，而又没有衡器，那么我们就可以通过两两比较它们的相互重量，得出每对物体重量比的判断，从而构成判断矩阵；然后通过求解判断矩阵的最大特征值λmax和它所对应的特征向量，就可以得出这一组物体的相对重量。我们可以将这一思路，应用在实际工作中：对于一些无法测量的因素，只要引入合理的标度，我们也可以用这种方法来度量各因素之间的相对重要性，从而为有关决策提供依据。

2层次分析法在选购钢笔决策（与评价）中的应用 2.1方法适用性分析

选购钢笔是一种简单的日常行为，但其中也面对着众多因素的考虑。选购什么钢笔的影响因素主要有钢笔的质量如何，颜色是否符合消费者喜好，价格是否合理，外形是否符合美学，符合消费者的审美观，是否使用方便，使消费者在使用过程中感到愉悦。买钢笔虽是件小事，但其中如何购买到称心如意也有其一定的研究性。因此，在选购时，需要消费者从产品的质量、颜色、价格、外形、实用等方面对所要购买的钢笔进行综合评价。其目标的选择是一个多目标、多层次、结构复杂、因素众多的系统，需要一种可将决策者的经验予以量化，并可作定性和定量分析，对决策对象进行优劣排序、筛选的决策分析方法。而层次分析法正是解决上述问题的有效方法。

2.2建立模型

首先要弄清选购钢笔的范围、所包含的因素、因素间的关联及其隶属关系，以及最终要求得的答案，然后构造出一个层次分析的结构模型。根据对选购钢笔因素的分析，各备选钢笔的评价主要包括以下几个方面：

（1） 价格（Ｆ1）：指的是商品的售价。

（2）实用性（Ｆ2）：指钢笔在消费者使用过程中是否舒适，携带是否方便，使用是否无障碍等

（3）外型（Ｆ3）：即钢笔的设计美学是否符合选购者的审美观。

（4）质量（Ｆ4）：指钢笔的有效使用时间、材质坚硬程度、抗污防锈能力等。

确定了这些影响项目选择的评价准则，也就构造出如图1所示的层次结构分析模型，其中的A、B、C代表的是所有备选的项目。

目标层 准则层

备选择项目

2.3构造判断矩阵

当建立起层次分析模型后，就要求出每一层次内各因素对于上一层次有关因素的相对重要性，亦即权重。具体方法是评价者依据各评价因素的具体指标值以及实地考察后的个人主观评价进行综合分析，将因素指标逐对地进行两两比较判断，并根据表1所示的九级标度将这种判断结果定量化，从而形成比较判断矩阵。

钢笔A 钢笔B 钢笔C 最佳钢笔 F1 价格 F4 实用性 F3 外形 F4 质量

对于所选定的备选项目的 评价指标，根据上述内容可以分析出各评价指标的重要程度，两两比较得到准则层判断矩阵（如表2所示）。

2.4层次单排序和一致性检验

所谓层次单排序，就是确定某一层次各因素对上一层次某因素的影响程度，并依此排出

顺序。其方法可以根据矩阵理论，通过数学计算求得判断矩阵的特征向量，特征向量代表了该层次部分（或全部）因素对上层次某因素的影响程度大小，即权重值，然后再根据这些权重值的大小进行排列，就形成了本层单排序的结果。对于矩阵特征向量的计算，可以采用方根法与和积法两种方法，二者计算结果非常相近，能够满足精度要求。

方根法需首先将判断矩阵按行累乘，然后将所得的积开n次方，随后再将开n次方的向量正规化，最后计算判断矩阵的最大特征根；而和积法需要首先将判断矩阵按列正规化，再将结果按行求和，最后对“和数”向量进行正规化，得到特征向量后再最后得出最大特征根，其具体方法在此不作赘述。计算矩阵的最大特征值λmax时一般使用计算机进行辅助，如使用Scilab（Scientific Laborato-ry）或Matlab（Matrix Laboratory），只需要输入数据，计算机会迅速计算出结果。

所谓一致性，在此是指判断思维的逻辑一致性。如当甲比丙是强烈重要而乙比丙是稍微重要时，显然甲一定比乙重要，这就是判断思维的逻辑一致性，否则，判断就会有矛盾。九级比率标度法的引入，使人的判断思维数量化，形成了判断矩阵。而只有当判断矩阵基本满足一致性的条件下，应用层次分析法得出的结论（即特征向量）才是基本准确合理的。 但由于客观事物的复杂性、人们认识上的多样性和难免的片面性，即使有九级标度，也不能保证每个判断矩阵具有完全一致性。

因此，为了保证层次分析法的结论基本合理，还必须对形成的判断矩阵进行一致性检验。其检验的依据是矩阵理论，方法是先计算判断矩阵的最大特征值λmax，然后计算一致性指标CI=（λmax-n）/（n-1）。如果CI=0，则表明该判断矩阵具有完全一致性，检验结束。若CI≠0，则需接着进行随机一致性比率CR=CI/RI的计算，其中RI指判断矩阵的平均随机一致性指标，可查相关表。若CR<0.1，则认为判断矩阵和单排序结果的一致性是可以接受的。否则，就需要调整判断矩阵元素的取值。

现对本文的3个备选项目“A”、“B”、“C”进行层次单排序和一致性检验，结果分别见表3、表4、表5和表6。评定结果表明，它们都通过了一致性检验。

表3 价格（F1）的层次单排序

表4 实用性（F2）的层次单排序 表5 外形（F3）的层次单排序

表6 质量（F4）的层次单排序

2.5层次总排序

层次总排序就是计算确定某一层所有因素对最高层的相对重要性排序权值。计算某层次的总排序，必须利用上一层次的总排序和本层次的单排序，而第二层对第一层的单排序同时就是第二层的总排序，这样，总排序要从最高层到最低层逐层进行。具体方法参见有关参考文献。另外，层次总排序同样也应做一致性检验，其过程也是从高到低逐层进行（方法从略）。这里给出本文的层次总排序结果，见表7。

表7 层次总排序结果

可见，项目Ｂ的综合评价最好，获评价值0.4968，高于Ａ和Ｃ，所以，Ｂ项目是最佳选择。

参考文献

1王彦，张淑英，崔援民.我国风险投资存在的问题及其对策.数量经济技术经济研究，2001（3） 2秦姣，何永良.建立健全中国的风险投资体制.青岛化工学院学报（社会科学版），2000（4） 3徐绪松，但朝阳.高技术项目投资风险模糊综合评价模型.数量经济技术经济研究，2000（1） 4 Alting L，Jorgensen J.The life cycle concept as a basisfor sustainable industrial production.Annals of the CIRP，

1993，42（1）

５于随然，陶璟，王伟伟.产品全生命周期方案选择.上海交通大学学报，2007（4）

６李云松.改进的层次分析法在财务分析中的应用.市场周刊－理论研究，2007（3）（责任编辑：黄建 7徐俊, 刘娜.层次分析法的基本思想与实际应用

作者简介：徐俊杰（1993—），男，机械专业2012级本科生，；唐杰（1993—），女，电信专业2012级本科生；方航（1991—）男，测绘专业2010级本科生

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