中国地质大学（武汉）大学物理上册习题答案

作业1 质点运动学 力

1-1 有一物体做直线运动，它的运动方程式为x = 6t2 - 2t3，x单位为米，t单位为秒．则

⑴ 第2秒内的平均速度为 4 m/s； ⑵ 第3秒末的速度为 -18 m/s； ⑶ 第1秒末的加速度为 0 m/s2；

⑷ 这物体所做运动的类型为 加速度减小的加速直线运动 ． 原题 1-1

1-2 一质点在xOy平面内运动，其运动方程为以下五种可能：

⑴ x = t，y = 19 -2/t； ⑵ x = 2t，y = 19 - 3t； ⑶ x = 3t，y = 17- 4t2； ⑷ x = 4 sin5t，y = 4 cos5t； ⑸ x = 5 cos6t，y = 6 sin6t， 那么表示质点作直线运动的方程是 ⑵ ，作圆周运动的方程是 ⑷ ，作椭圆运动的方程是 ⑸ ，作抛物线运动的方程是 ⑶ ，作双曲线运动的方程是 ⑴ ． 原题 1-2

1-3 质点在xOy平面内运动，其运动方程为：x = 10 - 2t2，y = 2t，⑴ 计算什么时刻，其速度与位矢正好垂直？ ⑵ 什么时刻，加速度与速度间夹角为45?？

原题 1-4

1

1-4 两辆车A、B在同一公路上作直线运动，方程分别为 xA = 4t + t2，xB = 2t2 + 2t3,若同时发车，则刚离开出发点（t = 0）时，哪辆车行驶的速度快？出发后什么时刻两车行驶距离相等，什么时候B车相对A车速度为零？

原题 1-5

1-5 在与速率成正比的阻力影响下，一个质点具有加速度a = - 0.2?，求需多长时间才能使质点的速率减小到原来速率的一半．

原题 1-7

1-6 半径为R 作圆周运动的质点，速率与时间的关系为 ??ct2（式中的c为常数，t以秒计），求：⑴ t = 0到t时刻质点走过的路程．⑵ t时刻质点加速度的大小．

原题 1-8

2

1-7 离水面高为h的岸边，有人用绳拉船靠岸，船在离岸s米处，如图所示，当人以?0米/秒恒定的速率收绳时，试求船的速度和加速度的大小． ?0

原题 1-11 h

s

题1-7图

1-8 一路灯距地面高度为 h，身高为 l 的人以速度 ?0 在路灯下匀速慢跑，如图所示，求人的影子中头顶的移动速度 ?，并求影长增长的速率 u． P8 1.3 解：建立坐标系，人坐标为x1，人影头顶坐标为x2． 则 ??dx2dx??dx2dt，?0?1?0?dx1dt

dtdthlO∵ x2?x1 为人影长度，

dxdx∴ u?d(x2?x1)?2?1????0

dtdtdth?l， ? x?hx 由图知 x2x2?x12h?l1x1题1-8图

x2x∴ ??

dx2dx1?h?0, u????0?l?0 ?hh?lh?lh?ldtdt1-9 质点沿半径为0.100 m的圆周运动，其角位移 ? 随时间 t 的变化规律是

23

?= 2 + 4t（SI），在 t = 2 s 时，它的法向加速度 an?___an?2.30?10___m?s?2，

切向加速度at?_____at?4.80____m?s?2．

?2d?d?2?14.4t4, at?参考解：??R?1.2t, an??2.4t . Rdtdt 当 t?2s时, an?2.30?102m?s?2, at?4.80m?s?2

3

1-10 质点 M 在水平面内运动轨迹如图所示，OA段为直线，AB、BC段分别为不同半径的两个 1/4 圆周．设t = 0 时，M 在O点，已知运动方程为 s = 10 t + 2t3 （SI），求 t = 2 s时刻，质点M 的切向加速度和法向加速度． 解： ∵ s = 10 t + 2t3 Bs∴各瞬时质点的速率：??ds/dt = 10 + 6t2 Md?d2s10m ?2 = 12 t 切向加速度：at?Adtdt?2法向加速度：an?

?10m 20m ∴ t = 2 s时， s = ? = 36 m (在大圆上)， 题1-10图

??34 m/s，

at = 24 m/s2， an = 57.8 m/s2

1-11 质量m为10 kg的木箱放在地面上，在水平拉力F的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间是变化关系如图所示．已知木箱与地面间的摩擦系数 ? 为0.2，求t为4s和7s时，木箱的速度大小．（g = 10 m/s2）． F(N) 30 原题 2-4 0 4 7 t(s)

题1-11图

21-12 某质点质量 m = 2.00 kg， 沿x轴做直线运动，受外力F?10?6x(SI制)．若在x0= 0处，速度 ?0?0，求该物体移到 x = 4.0 m处时速度的大小．

d?d?dxd? 解： 因为运动方程为 F?ma?10?6x2， 又 a?，则 ???dtdxdtdx有 m?OCd??10?6x2 即 dx?1? d??0mv?x0(10?6x2) dx

得 ?4.0?13m?s?1

4

1-13 光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R，一物体贴着环带的内侧运动，如图所示，物体与环带间的滑动摩擦系数为 ?k，设物体在某一时刻经A点时的速率为?0，求此后t时间物体的速率以及从A点开始所经过的路程． A ?0原题 2-6

R

题1-13图

1-14．质量为m 的物体在竖直平面内沿着半径为R的圆形轨道作圆周运动．设t时刻物体瞬时速度的大小为?，速度的方向与竖直方向成?角（如图所示）．求： ⑴ t时刻物体的切向加速度at和法向加速度an． m ⑵ t时物体对轨道的压力的大小N． ?R 解：建立切向、法向坐标，列方程 ??O 切向：mat?mgsin? ，

法向：man?mgcos??N?，an??2R，N?N? ? an??2R ⑴ at?gsin⑵ N?

m??mgcos? R2m 题1-14图

?N??R ???O mg1-15 质量为m的静止物体自较高的空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度

成正比的阻力的作用，比例系数为k > 0，该下落物体的收尾速度（即最后物体作匀速运动时的速度）．

?vtd?d?ktd??dt ? ??dt 解: m?mg?k? ?

0000g?k?m??mgkmdt????mg?k??mgkkmg?k??mg????t ?ln?????ln?????t ?ln???t ?ln???k?m?mgkmk?0m??k????

??mgk?mgk?e?ktm?tmgmg(1?em) “最后”,相当于t??, 则有 ?m? ? ?? kkk5

*1-16如图所示，一弯曲杆OA可绕Oy的轴转动，OA上有一个小环，可无摩擦地沿

OA运动．当OA绕Oy轴以角速度 ? 转动时，欲使小环与杆OA保持相对静止，

y试求杆OA的形状 （即给出函数关系y?f(x)??）．

A

?原题 2-8 N ?mg

? Ox 题1-16图

*1-17 以初速率 ?0 从地面竖直向上抛出一质量为 m 的小球，小球除受重力外，

还受一个大小为 ? m?2 的粘滞阻力（?为常数，?为小球运动的速率），求当小球回到地面时的速率．P25 2-1 解：取地面为原点，y轴正向竖直向上．

小球上抛时，由牛顿第二定律有 ?mg?? m?2?md?

dtm? d?dyd??dy 变量替换 d??有 ?mg?? m?2?m?d?，即 ???d?，

dydtdtdydymg?? m?2积分

?0?0?hm? d??dy 20mg?? m??21mg?? m?0ln得最大高度 h? ① 2?mg小球下落时，由牛顿第二定律有 ?mg?? m?2?md?

dtm? d??dy 变量替换后有 ?mg?? m?2?m?d?， 即 ?dymg?? m?2积分

???100m? d?1mg??dyh?ln 得 ②

hmg?? m?22?mg?? m?12?2?0g1mg?? m?01mg??ln?ln由①、②式有，解得： 1 2?mg2?mg?? m?12??02?g 6

作业3 刚 体

3-1 一飞轮的转动惯量为J，在 t = 0时角速度为?0，此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度?的平方成正比，比例系数k > 0，当???03时，飞轮的 角加速度?? ，从开始制动到???03时，所经过的时间 t = . 29J 解：由转动定律：M??K?2?J? 将???03代入 得 ???k?0由 ?K?2?J??Jd? dt??03?o?d??2??t02Jk dt 解得 t??0kJ3-2 一滑轮半径为10cm, 转动惯量为 1.0?10?2 kg?m2,有一变力 F?0.50t?0.30t2 (N)沿切线方向作用在滑轮的边沿上，滑轮所受力矩为 0.05t?0.03t2 N?m．如果滑轮最初处于静止状态，则在3.0s后的角速度为 49.5 rad/s． 解：M?rF?0.10?0.50t?0.30t2?0.05t?0.03t2 N?m

???M?Jd???Mdt??Jd??dt??1.0?10?o?2?? d????0.05t?0.03t? dt???49.5rad/s

3.02o

3-3 如图，滑块A，重物B和滑轮C的质量分别为mA = 50 kg，mB = 200 kg和mC = 15 kg，滑轮半径为R = 0.10 m，J0?mCR22，A与桌面之间，滑轮与轴承间均无摩擦，绳质量可不计，绳与滑轮间无相对滑动．求滑块A的加速度及滑轮两边绳中的张力．

解：P110 6.3 TA?MAa （1）

A C mBg?TB?mBa（2）

(TB?TA)R?J??mCR2?2（3）

a?R? （4）

mBg 所以 a? = 7.61 m/s2

mA?mB?mc2TA?MAa= 381 N

B 题3-3图

TB?mB(g?a)= 440 N

7

3-4 如图所示，一半径为R质量为m的均匀圆盘，可绕水平固定光滑轴转动，转动惯量为 J = mR2/2，现以一轻绳绕在轮边缘，绳的下端挂一质量为m的物体，求圆盘从静止开始转动后，它转过的角度和时间的关系． R m O

原题 5-2

m 题3-4图

3-5 以力F 将一块粗糙平面紧压在轮上，平面与轮之间的滑动摩擦系数为?，轮的初角速度为 ?0，问转过多少角度时轮即停止转动？已知轮的半径为R，质量为m，可视为匀质圆盘，转动惯量为 J = mR2/2；轴的质量忽略不计；压力F均匀分布在轮面上． P115 6.13

粗解：以轮心为中心，r为半径，取宽为dr的细环，

轮糙2轴细环上压力为 dF?(Fπ R)?2π r?dr， 平面细环上摩擦力为 df?? dF?2?(FR2)r dr

df对轴的力矩为 dM?? r df?2?(FR2)r2dr 总摩擦力矩为 M?dM?2?(FR2)20题3-5图

??R0r2dr?2?FR3

23mR?0由动能定理 ?M????0?J?2 ∴ ???

8?F

3-6 已知滑轮对中心轴的转动惯量为J，半径为R，物体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为?，物体与斜面间光滑，系统从静止释放， 且释放时绳子无伸长（如图所示），求物体下滑x距离时的速率． 原题 5－5 解：∵ 仅保守力作功，∴ 机械能守恒

1kx2?1J?2?1m?2?mgxsin?

222kxm?2mgxsin??kx2?R 而 ???R ∴ ??mR2?J

8

题3-6图

3-7 氧分子对垂直于两氧原子连线的对称轴的转动惯量为1.94?10?46kg?m2，氧分子质量为5.30?10?26kg．若氧气中有一个氧分子具有500 m/s 的平动速率，且这个分子的转动动能是其平动动能的2/3．这个分子转动角速度大小为 6.75×1012 (rad/s)．

解：Ekr?J?22，Ekt?m?22，Ekr?2Ekt3，??2m(3J)?= 6.75×1012(rad/s) P116 6.14

3-8 一人手执两个哑铃，两臂平伸坐在以?0角速度旋转的转轴处，摩擦可不计，现突然将两臂收回，转动惯量为原来的1/3，则收臂后的转动动能是收臂前的 3 倍．

22 解：J0?0?J0?3 收臂后角速度 ??3?0 ，收臂前动能 Ek?J0?02收臂后动能 Ek???J03??3?0?2?3J0?02 ∴Ek?Ek?3

2

3-9 质量为m，半径为R的匀质薄圆盘，可绕光滑的水平轴 O?在竖直平面内自由转动，如图所示，圆盘相对于轴的转动惯量为 3mR22，开始时，圆盘静止在竖直位置上，当它转动到水平位置时，求：(1) 圆盘的角加速度；(2) 圆盘的角速度；(3) 圆盘中心O点的加速度． y

OA

原题 5－9

B OxO?

题3-9图

3-10 质量分别为m和2m，半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示．求盘的角加速度的大小． 2rr

原题 5－10

m

9

m题3-10图

3-11 质量为m，长为L的匀质木棒可绕Ｏ轴自由转动，转动惯量为 J = mL2/3，开始木棒铅直悬挂，现在有一只质量为m的小猴以水平速度v0抓住棒的一端（如图），求：⑴ 小猴与棒开始摆动的角速度；⑵ 小猴与棒摆到最大高度时，棒与铅直方向的夹角．

原题 5-7

题3-11图

3-12 如图所示，一质量m、长 l 的匀质细杆，以O点为轴，从静止在与竖直方向成?0角处自由下摆，到竖直位置时与光滑桌面上一质量也为m的静止物块（可视为质点）发生弹性碰撞，已知杆对O轴的转动惯量为ml23．求：⑴棒开始转动时的角加速度;

⑵ 棒转到竖直位置碰撞前的角速度?1及棒中央点C的速度?C1． O⑶ 碰撞后杆的角速度?2和物块的线速度?2．

lm?0C解：⑴ 由转动定律 M?J? M?mgsin?0

2C3gsin?0联立求得 ??（rads2）

2lm⑵ 棒从?0角转到竖直位置过程，机械能守恒有：

题3-12图

l12l122 mg?1?co?s0??J?1， mg?1?co?s0??ml?1

2226得： ?1?3g?1?co?s0?l1 ①， ?C1??1?3gl?1?co?s0?

l22⑶ 棒与物块在弹性碰撞过程中对转轴的角动量守恒，有：

121ml?1?ml2?2?ml?2 ② 331111122由机械能守恒，得： ?ml2?12??ml2?2 ③ ?m?223232联立 ① ② ③ 式得：

?2?

13g1?1?co?s0? （逆时针反转） 3gl1?cos?0 ?2??2l2??10

5-12 一台电冰箱，为了制冰从260 K的冷冻室取走热量209 kJ．如果室温是300 K，电力做功至少应是多少（假定冰箱为理想卡诺循环致冷机）？如果此冰箱能以0.209 kJ/s的速率取出热量，试问所需电功率应是多少？ 解：

此卡诺循环的致冷系数为 w?T2260Q2?=?= 6.5 ?AT1?T2300?260Q2=?= 3.22×104 J = 32.2 kJ w如果此冰箱以0.209 kJ/s的速率取出热量，所需电功率至少为 从冷冻室取走热量209 kJ时，所需电功至少为A? P?0.209?1036.5 = 32.2 w

*5-13 有一套动力装置，用蒸汽机带动致冷机．若蒸汽机锅炉的温度为227℃，用暖气系统作为蒸汽机的制冷器，制冷器温度为57℃；致冷机在温度为7℃的天然蓄水池中吸热，并放给暖气系统．试求每燃烧1 kg燃料（燃烧值为2.00×107 J/kg）所能共给暖气系统热量的理想值． 解：

蒸汽机的效率为 ??AT57?273?1?2?1?= 34% Q1T1227?273从1 kg燃料中吸收的热量为 Q1= 2.00×107 J 对外做功为 A??Q1=?= 6.80×106 J 因此放入暖气系统的热量为 Q2?Q1?A = 1.32×107 J 致冷机的致冷系数为 w??T2?7?273Q2??= 5.6 AT1??T2?(57?273)?(7?273)??wA= 3.81×它从天然蓄水池中吸热 Q2107 J

每燃烧1 kg燃料所能共给暖气系统的总热量为

??A?Q1?Q2?=?= 5.81×??Q1?A?Q2Q总?Q2?Q1107 J

16

作业7 振 动

7-1 固体中相邻原子之间的作用力类似于用弹簧联接的弹力．在常温下，固体中原子振动的频率约为 1013Hz，某固体中的一个银原子以此频率振动，假设其余原子都不动．已知一摩尔银（有6.02?1023个原子）的质量为 108 g．则原子间的等 效劲度系数为 707 N/m．

P131. 7.4 解：银原子质量 m = 108×10?3/6.02×1023 , k?(2πv)2m= 707 N/m． 7-2 喇叭膜片作简谐振动，频率为 440 Hz，其最大位移为 0.75 mm，则角频率为 880π ；最大速率为 2.07 m/s；最大加速度为 5.73×103 m/s2． P132. 7.6 解：x?Acos(?t??)，??2π?；????Asin(?t??)，?max??A；

a???2Acos(?t??)，amax??2A

7-3 一汽车可视为是被支撑在四根相同的弹簧上，可沿铅垂方向振动，频率为3.00

Hz，车的质量为 1450 kg，设车重均匀的分配在四根弹簧上，则每根弹簧的劲度系数k = 1.288×105 N/m；若有平均质量为 73.00 kg的 5 个人坐在车上，仍定车和人的总重量均分于四根弹簧上，则此时车与人所构成系统的振动频率为v = 2.68 Hz．

P137 7.14 解：四根弹簧并联 k??4k，??k?m，?k?π2v2m= 1.288×105 N/m M = 1450 + 73 × 5，? v?(12π)4kM = 2.68 Hz

7-4 图(a)、(b)为两个简谐振动的 x ~t曲线，用余弦函数表示振动时，它们的初相位分别是 ?a= ???/3 ，?b= ??/2 ；角频率分别为?a = 5?/6 rad/s，

?b= ? rad/s；图(a)曲线上P点的相位 ?P= ??/3 ，速度的方向为 负 ，加速度的方向与速度的方向 相同 ，达到P点的时刻 t = 0.8 s．

x

A

A/2

O

原题 19-4 x A P 1 (a) t (s) O 1 t (s) (b) 题7-4图

17

7-5 一个小球和轻弹簧组成的系统，按 x?0.05cos(8π t?π3)(SI) 的规律振动． ⑴ 求振动的角频率，周期，振幅，初相位，最大速度及最大加速度； ⑵ 求t = 1秒，2秒和10秒等时刻的相位．

原题 19-1

7-6 一长方形木块浮于静水中，其浸入深度为 h，用手慢慢下压木块，使其浸入深度变为 b，然后放手任其运动．⑴ 试证明：若不计阻力，木块的运动为谐振动，并写出木块运动的动力学（微分）方程；⑵ 求振动的角频率，周期，振幅，初相位，并写出木块的运动学（余弦函数）方程．P138 7.15 解：⑴ 取如图所示的坐标系， hb木块在任一位置x处所受浮力为 f?(h?x)S? g 由平衡条件有 mg?hS? g 题7-6图 木块所受合力为 F?mg?f??S? g x

2xd木块运动微分方程为 m2??S? g x??mgx

dth2g? x?0 即 dxdt2hbhOxx∴木块的运动为谐振动．

⑵ 振动的角频率 ??gh， 周期 T?2πhg

(t??) 设木块的运动学方程为 x?Acos?s?b?h，?0??? Asin??0，求得 由初始条件 t = 0时 x0?Aco?振幅 A?b?h， 初相位 ??0

∴木块的运动学方程为 x?(b?h)cos(ght)

18

7-7 有一个与轻弹簧相连的小球，沿x轴作振幅为A的简谐振动，该振动的表达式用余弦函数表示，若t = 0时，球的运动状态为：① x0??A；② 过平衡位置向x轴正向运动；③ 过x = A/2，且向x轴负方向运动．试用矢量图法确定相应的初相位．

原题 19-2

7-8 一质点在一直线上作简谐振动，当它距离平衡位置为 +3.0 cm，其速度为?93π cm/s，加速度为?27π2cm/s2．从此时刻开始计时，写出余弦函数形式的振动方程，经过多长时间反向通过该点？

原题 19-3

19

7-9 当重力加速度g改变dg时，试问单摆的周期T的变化dT如何？写出周期的变g之间的关系式．在某处（g = 9.80 m/s2）走时准确化dT与重力加速度的变化dgT的一个单摆挂钟被移至另一地点后每天慢10 s，试用上关系式计算该地的重力加速度的值．

原题 19-6

7-10 一质点作谐振动，其振动方程为：x?6.0?10?2cos[(π3)t?π4] (SI)

⑴ 当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半；

⑵ 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？

原题 19-7

7-11 有两个同方向、同频率的谐振动，其合成振动的振幅为0.20米，其相位与第一振动的相位差为π6，已知第一振动的振幅为0.17米，求第二振动的振幅以及第一和第二振动之间的相位差．

原题 19-8

20

7-12 已知 x1 = 6.0cos(100πt?0.75π) mm，x2 = 8.0cos(100πt?0.25π) mm，求合成振动的振幅及相位，并写出余弦函数形式的振动方程．

原题 19-9

7-13 有一根轻弹簧，下面挂一质量为10g的物体时，伸长为4.9 cm，用此弹簧和质量为80g的小球构成一弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0 cm后，给予向上的速度5.0 cm/s，试求振动的周期及余弦函数形式的振动方程．

原题 19-10

21

*7-14 如图所示，一直角匀质刚性细杆，水平部分杆长为l，质量为m，竖直部分杆长为 2l，质量为2m，细杆可绕直角顶点处的水平固定轴O无摩擦地转动，水平杆的末端与劲度系数为k的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置．试求杆作微小摆动时的周期． P122 7-1 解：设平衡时弹簧伸长x0，∵细杆系统O的对合外力矩为零，有

kx0l?mgl2

当细杆摆到任意角度?位置时，弹簧的伸长量为x0?x，细杆系统所受合外力矩为

s?2mgsin??k(x0?x)lco?s ② M?mg(l2)co?klO2l∵摆动幅度微小， ∴ x?l?，cos?1，sin???， 以上各式与式①一同代入式②，有 M??(2mgl?kl2)?

2?d由刚体的定轴转动定律，有 J2??(2mgl?kl2)?

dt题7-14图

k2细杆对O的总转动惯量为 J?ml3?(2m)(2l)3?3ml

22mg?kl∴细杆作微小摆动的微分方程为 d????0

dt23ml22lO?mg2l?角频率为 ??

2mg?kl3ml， 周期为T?2π 3ml2mg?kl2mg*7-15 设有两个相互垂直的同频率谐振动x?5cos? t 和 y?3cos(? t??)，其中

??arccos(815)．求合振动的轨迹． P144 7.26 解：

由x方向的振动得 x5?cos?t ①

由y方向的振动得 y?3cos?tcos??3sin?tsin??(35)xcos??3sin?tsin? 也可写成 [(y3)?(x4)cos?]sin???sin?t ② x2[(y3)?(x4)co?s]2??1 将式①和式②平方后相加，有 225sin?式中 cos??815，sin2??161225，代入上式并化简， 得合振动的轨迹方程 9x2?16xy?25y2?161 该轨迹为斜椭圆，如图所示．

22

yOx

作业9 光的干涉

9-1 两束平面相干光都以光强I平行地照射到某一表面上，两光合成可能达到的最大强度是 4I ．

9-2 在双缝干涉实验中，光的波长为600 nm，双缝间距为2 mm， 双缝与屏的间距为3.00 m，在屏上形成干涉图样的明条纹间距为 0.9 mm．

解：双缝干涉相邻明条纹间距为?x?D?d

9-3 在真空中波长为?的单色光，在折射率为n的透明介质中从A沿某路径传播到B．若A、B两点相位差为3π，则此路径AB的光程差为 1.5? ．

9-4 在双缝干涉实验中，入射光的波长为?，用透明玻璃纸遮住双缝中的一个缝，若玻璃纸中光程比相同厚度的空气的光程大 2.5?， 则屏上原来的明纹处变为 暗纹 ．（填明纹、暗纹、无法确定）．

9-5 在双缝干涉实验中，用汞弧灯加上绿色滤波片作光源，两缝间距为0.6 mm, 在2.5 m远处的屏幕上出现干涉条纹，测得相邻两明纹中心距离为2.27 mm．求入射光的波长． 解：相邻两条纹的间距 ?x?D?d

?x?d2.27?10?3?0.6?10?3? =?5.448?10?7m?544.8nm ??2.5D

9-6 如图所示，在双缝干涉实验中入射光的波

S1 长为550 nm，用一厚度为e?2.85 μm的透明

S 薄片盖住S1缝，发现中央明纹移动了3个条

S2 纹，上移至O?点，求透明薄片的折射率．

解：当透明薄片盖住一条缝时，光程差将增加

ne?e?(n?1)e ，正是这一附加光程差使中央明纹移动到原来3级明纹的位置，

3?3?5.50?10?7?1??1?1.58 即 (n?1)e?3?， n?e2.85?10?6

23

r1r2DO?O题9-6图 9-7 在杨氏双缝干涉实验装置中，双缝间距为0.5 mm，双缝至屏幕的距离为1.0m，屏上可见到两组干涉条纹，一组由波长为480 nm的光产生，另一组由波长为600 nm的光产生，求这两组条纹中的第三级干涉明条纹之间的距离． 原题 21—1

9-8 薄钢片上有两条紧靠的平行细缝，用波长?= 546.1 nm的平面光波正入射到钢片上，屏幕距双缝的距离为D = 2.00m，可测得中央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为?x=12.0 mm．求： ⑴ 两缝间的距离；

⑵ 从任一明条纹（计作0）向一边数到第20条明条纹，共经过多大距离； ⑶ 如果使光波斜射到钢片上，条纹间的距离如何改变？ 原题 21—2

9-9 一束波长为?的单色平行光垂直照射在薄膜上，经上、下两表面反射的两束光发生干涉，如图所示，薄膜厚度为e． ⑴ 若n1?n2?n3，则两束反射光的光程差?? 2n2e??2 ； ⑵ 若n1?n2?n3，则两束反射光的光程差?? 2n2e ．

n1 ? n2 e 题9-9图

n3 解：⑴ n1?n2?n3，上表面反射光1有半波损，下表面反射光2没有半波损，

故两束反射光程差为 ??2n2e??2

⑵ 若n1?n2?n3，上、下两表面反射光均有半波损，光程差为 ??2n2e

9-10 一束波长为?的单色光由空气垂直入射到折射率为n的透明薄膜上，透明薄膜放在空气中，要使反射光得到干涉加强，则薄膜的最小厚度为 ?4n ． 解：上表面反射光有半波损，下表面反射光没有半波损，光程差为 ??2ne??2

干涉加强条件为 ??2ne??2?k? 取k?1，e最小??4n

24

9-11 将单色光垂直照射在空气劈尖上，若将整个劈尖装置由空气放入水中，观察劈尖条纹的变化为 变窄 （填“变窄”或“不变”或“增大”）． 解：由劈尖条纹间距公式 ?l?减小．

9-12 在图示的三种透明材料构成的牛顿环装置中，用单色光垂直照射，在反射光中看到干涉条纹，则在接触点P附近形成的圆斑为：右半部 暗 （填“明”或“暗”），左半部 明 （填“明”或“暗”）． 解：在接触点P，e?0．在左半边上下表面反射光均有半波损，光程差为0，为明纹．而在右半边，仅上表面反射光有半波损,光程差为?2,为暗纹.

P?2n2?，劈尖由空气放入水中n2增大，?不变，∴?l题9-12图

9-13 如图所示，用波长为?的单色光垂直照射折射率为n2的劈尖膜（n1?n2,n3?n2）观察反射光干涉，从劈尖顶开始，第2条明纹对应的薄膜厚度为e?___3?(4n2)____．

n1n2n3题9-13图

解：劈尖膜仅下表面反射光有半波损．∴ 2n2e??2?2? 得 e?3?(4n2) 9-14 为了测量由两平板玻璃构成的空气劈尖的微小夹角,用波长为589 nm的平行光垂直照射空气劈尖,测得反射光的等厚干涉条纹的间距?l?4.0mm．⑴求劈尖的夹角；⑵接着在该空气劈尖中充满待测液体，再测得干涉条纹间距?l??3.0mm,求液体的折射率．

解：⑴ 劈尖等厚干涉条纹间距 ?l??2n2sin?

空气劈尖 n2?1，劈尖的夹角一般很小，

589?10?9??7.37?10?6rad ??sin???32n2?l2?1?4.0?10??，则 ⑵ 充液后 ?l??3.0mm ，但?和?都保持不变，设待测液体的折射率为n2?sin?)n2?l??/(2n2?l4.0??n2?? n2?1??1.33

??l?/(2n2sin?)n2?l?3.0

25

9-15 牛顿环装置中平凸透镜的曲率半径R = 2.00 m，垂直入射的光波长

??589.29 nm，让折射率为n = 1.461的液体充满平凸透镜和平板玻璃之间形成的环形薄膜间隙中．求：⑴ 充以液体前后第10暗环条纹半径之比是多少？⑵ 充液之后此暗环的半径（即第10暗环的r10）为多少？ 解：⑴ 第K条暗环半径为 rK?kR?n ∴

rk空气?rk液体n液?n气n液?1.461?1.21

即由空气到液体牛顿环半径变小，条纹向中心收缩．

⑵ r10?

9-16 白光垂直照射到空气中一厚度为380 nm的肥皂水膜上，问肥皂水膜表面呈现什么颜色？（肥皂水的折射率看作1.33）． 解：从肥皂膜两表面反射的两条光线的光程差 ??2ne??2，

KR?10?2.00?589.29?10?9??2.84mm n液1.4614ne当??2ne??2?k?，k?1,2,3,?时，反射光最强，解得相应波长 ?＝，

2k?1已知n?1.33，e?380nm，在白光范围400 ~ 760 nm内，k只能取k1?2和k2?3，

4?1.33?3804?1.33?380，?2??674nm（红色）?404nm（紫

2?2?12?3?1色）所以肥皂水膜表面呈紫红色． 相应波长为?1?

9-17 在折射率n3?1.52的照相机镜头表面镀有一层折射率n2?1.38的MgF2增透膜，若此膜可使波长??550nm的光透射增强，问此膜的最小厚度为多少？ 解：n1?n2?n3，上、下两表面反射光均有半波损，光程差为 ??2n2e 为使给定波长的透射光增强，要求该波长光反射光干涉相消，应满足条件

2n2e?(2k?1)?2

取k?0，对应膜的最小厚度emin?

?4n2?550?99.4nm

4?1.3826

9-18 在迈克尔逊干涉仪的一条光路中，放入一折射率为n1，厚度为d的透明薄片，放入后，这条光路的光程改变了 2(n?1)d ．

9-19 有一劈尖，折射率n=1.4，尖角?=10-4 rad，在某一单色光的垂直照射下，可测得两相邻明条纹之间的距离为2.5 mm，试求： ⑴ 此单色光在空气中的波长；

⑵ 如果劈尖长为35 mm总共可出现多少条明条纹． 原题 21—5

9-20 如图所示，牛顿环装置的平凸透镜与平板玻璃有一缝隙e0，现用波长为?的单色光垂直照射，已知平凸透镜的曲率半径为R，求反射光形成的牛顿环的各暗环半径． 原题 21—7

R

?

e0

题9-20图

27

作业11 光的偏振

11-1 一束部分偏振光由自然光和线偏振光相混合而成，使之垂直通过一检偏器．当检偏器以入射光方向为轴进行旋转检偏时，测得透过检偏器的最大光强为I1，最小光强为I2，如果所用检偏器在其透光轴方向无吸收，则入射光中自然光的强度 为 2I2 ；线偏振光的强度为 I1 - I2 ． 原23-3题

11-2 两偏振片的偏振化方向的夹角由45o转到60o，则转动前后透过这两个偏振片的透射光的强度之比为 2 ．

原23-5题，解：I1?(I02)cos245?，I2?(I02)cos260?，??

11-3 一束光强为I0的自然光光波，通过三个偏振片P1，P2，P3后，出射光强为I?I08．已知P1和P3偏振化方向相互垂直，若以入射光为轴转

P1动P2，使出射光强为零，P2最少要转动角度为 45° ． 解：自然光I0通过P1光强为I?I02；通过P2光强为(I02)cos2?； 再通过P3光强为(I02)cos2??cos2(90???)?I08．算得??45? 若以入射光为轴，转动P2使出射光强为零，P2最少要转动角度为45o.

?P2P311-4 要使一束线偏振光通过偏振片后振动方向转过90?，至少需要让这束光通过__2__块理想偏振片，在此情况下，透射最大光强是原来光强的__1/4__倍． 解：至少需2块．线偏振光I0通过P1光强 I1?I0cos?，

22I0?P1P2112通过P2光强I2?I1cos(??)?I0cos?sin??I0sin2? ∴Imax?I0 42411-5 光强度为I0的自然光投射到一组偏振片上，它们的偏振化方向的夹角是：P2

与P3为30?、P2与P1为60?．则透射光的光强为多大？将P2拿掉后又是多大？

?22解：如图(a)示，通过第一偏振片P1后光强为I02 通过第二偏振片P2后光强为(I02)cos60?

通过第三偏振片P3后光强为I3?(I02)cos260?cos230??3I032 去掉第二偏振片P2后有两种情况：

⑴如图(a)示，P1、P3正交??60??30??90? 有 I3?(I02)cos290??0

⑵如图(b)示， P1与P3夹角为 ??60??30??30? 有 I3?(I02)cos230??3I08

28

2P1P260?30?P3P130?30?P3P2图(a) 图(b)

11-6 三个偏振片平行放置（如图所示），第一个与第三个的偏振方向相垂直，中间一个偏振片的偏振方向与另两个的偏振方向各成45°角，一束强度I的自然光垂直人射并依次通过这三个偏振片，求：

⑴ 不考虑偏振片在偏振方向的吸收，入射光透过I 第一、二、三个偏振片后的光强各是多少？ ⑵ 若偏振片在偏振方向的吸收率为?，最后从第题11-6图 三个偏振片透射出的光强是多少？ 原23-4题

11-7 在两个平行放置的正交偏振片P1，P2之间，平行放置另一个偏振片P3，光强为I0的自然光垂直P1人射．t = 0时，P3的偏振化方向与P1的偏振化方向平行，然后P3以恒定角速度?绕光传播方向旋转，如图所示，证明该自然光通过这一系

I?t?0统后，出射光的光强I?0(1?cos4?t)． 16I0原23-6题

P1P3P2

题11-7图

11-8 当一束自然光在两种介质分界面处发生反射和折射时，若反射光为完全偏振光，则折射光为 部分偏振 光，且反射光和折射光之间的夹角为 90° ．

11-9 一束自然光自空气射入一块平面玻璃上（如图所示），设入射角等于布儒斯特角i0，则在界面2的反射光是 振动方向⊥入射面的线偏振 光． 原23-2题

29

i01 2 题11-9图 11-10 自然光以55°角从水中人射到另一种透明媒质表面时，其反射光为线偏振光，已知水的折射率是1.33，则上述媒质的折射率为 1.9 ；透入到媒质的折射光的折射角是 35° ． 原23-1题

11-11 某种透明媒质对于空气的全反射临界角为45°，光从空气射向此媒质的布儒斯特角为 54.7° ．

解：若临界角为?，由反射定律sin??1n，∴ n?1sin45??2

再由布儒斯特定律tanib?n1，∴ib?tan?1n?54.7?

11-12 水的折射率为1.33，玻璃折射率为1.50，当光由水中射向玻璃而反射时，起偏振角为多少？当光由玻璃射向水面反射时，起偏振角又为多少？ 解： 设水的折射率为n1，玻璃的折射率为n2，当光由水射向玻璃反射时，

由布儒斯特定律tani0?nn2，i0?arctan2?48?26? n1n1n1?41?34? n2??arctan若光由玻璃射向水面被反射，则起偏角为i011-13 晶体内不发生双折射的方向 称为晶体的光轴；主平面由 光线与光轴 构成． （原23-7题）

11-14 主折射率为no=2.0，ne=1.5的单轴晶体，一平面单色自然光由空气入射到晶体表面，光轴方位以及入射光的方向分别如图(a)、(b)、(c)、(d)所示．试用惠更斯作图法分别画出这四种情形中o光和e光的光路及振动方向． 解：?o?cno?c2，?e?cne?2c3

(a)作图步骤：① 作AB⊥BD，令BD?c?t， ② 在晶体内以A点为圆心，作半径为?o?t?BD2的半圆，及半长轴为?e?t?2BD3，半短轴为?o?t?BD2的半椭圆，两者相切于光轴处．

③ 自D点引半圆的切线，切点为O点，连接AO并延长即为o光光线； ?e?t④ 自D点引半椭圆的切线，切点为E点，连接AE并延长即为e光光线；

⑤ o光振动⊥o主平面，为“●”振动；e光振动在e主平面内，为“—”振动． ⑥ 由晶体出射的所有光线均与入射光线平行.

30

Bc?tDAO?o?t光轴 Eeo题11-14图(a)

eo

(b)作图步骤：

BA① 在晶体内分别以A点和D点为圆心，作半

?o?t径为?o?t（可任取）的半圆，及半长轴为

?e?t?4?o?t3，半短轴为?o?t的半椭圆，两O光轴 ?e?t者相切于光轴处． E② 作两半圆的公切线，切点为O，连接AO并eeoo延长即为o光光线；

③ 作两半椭圆的公切线，切点为E，连接AE

题11-14图(b)

并延长即为e光光线；

④ o光振动⊥o主平面，为“●”振动；e光振动在e主平面内，为“—”振动． ⑤ 由晶体出射的所有光线均与入射光线平行．

(c)作图步骤：① 作AB⊥BD，令BD?c?t, ② 在晶体内以A点为圆心，分别作半径为

Bc?t?o?t?BD2和?e?t?2BD3的半圆.

③ 自D点引半圆的切线，切点为O点，D连接AO并延长即为o光光线； A?o?t④ 自D点引半椭圆的切线，切点为E点，

O连接AE并延长即为e光光线； ∷光轴 E?e?t⑤ o光振动⊥o主平面（o光线与光轴组

eoo成的面），为“—”振动；e光振动在e主平面（e光线与光轴组成的面）内，为

题11-14图(c) “●”振动．

⑥ 由晶体出射的所有光线均与入射光线平行． (d)作图步骤：① 作AB⊥BD，令BD?c?t， ② 在晶体内以A点为圆心，作半径为?o?t?BD2的半圆，及半长轴为B?e?t?2BD3，半短轴为

c?t两者相切于?o?t?BD2的半椭圆，

光轴处． D?o?tA③ 自D点引半圆的切线，切点为O点，

连接AO并延长即为o光光线； OE④ 自D点引半椭圆的切线，切点为E?e?t光轴 e点，连接AE并延长即为e光光线；

oo⑤ o光振动⊥o主平面，为“●”振动；e光振动在e主平面内，为“—”振动．

题11-14图(d) ⑥ 由晶体出射的所有光线均与入射光线平行．

31

ee*11-15 如图所示的渥拉斯顿棱镜用方解石（no=1.6584，ne=1.4864）制成，并且顶角??45?．⑴ 试求当一束自然光垂直入射时，从棱镜出射的两束线偏振光的夹

角，并示意画出光路及偏振态．⑵若渥拉斯顿棱镜改用石英（no=1.54424, ne=1.55335）制成，求两线偏振光的夹角． B C

光轴 解：

∵两块棱镜的光轴垂直，∴在界面AC处，ｏ光和

自然光 ｅ光发生了转化． 而且在第二棱镜中两光均遵从

?光轴 D 折射定律． A ∵no?ne，∴垂直振动是光密→光疏，光线远离法线；而 平行振动是光疏→光密，光线靠近法

线；当两光线出晶体时，均是光密→光疏，均远离法线 ．

B 题11-15图

C e光 o光 光轴 D 光轴 o光 ?1 ① AC面上 nosin45??nesinnesin??nosin?2 ②

自然光 e光 ?A CD面上 nesin?1?45??sin?1 ③ nosin?2?45??sin?2 ④

B光轴 45?C?1A??2光轴 ?1??2D???1??2 ⑤

⑴ 将 no=1.6584, ne=1.4864 代入上述式子，可求得：

?1?52.086°，?2?39.329°；?1?10.566°，?2?9.432°；??19.998° = 20°0′

⑵ 将 no=1.54424, ne=1.55335 代入上述式子，可求得：

?1?44.665°，?2?45.339°；?1?0.520°，?2?0.524°；??1.044° = 1°2.6′

32

习题参考答案

作业1 质点运动学 力

1-1 4，-18，0，

加速度减小的加速直线运动 1-2 ⑵，⑷，⑸，⑶，⑴ 1-3 2.12 s， 0.5 s

1-4 A车在前， 1.19 s， 0.67 s 1-5 3.47 s

1-6 s?ct33， a?ct4?c2t6R2

1-7 ???220s2?h2s，a??0hs3

1-8 ???0l(h?l)， u????0 1-9 a2n?2.30?10， at?4.80 1-10 at = 24 m/s2， an = 57.8 m/s2 1-11 4 m/s， 2.5 m/s

1-12 ?4.0?13m?s?1

1-13 ???0RR??，s?Rln(1??k?0t??k0t)kR1-14 at?gsin?， a2n??R

N?m?2R?mgcos?

1-15 ?m?mgk 1-16 y??2(2g)x2 1-17 ?1??0g??20?g

作业3 刚 体

3-1 ???k?029J，t?2J(?0k) 3-2 0.05t?0.03t2， 49.5 3-3 TA?381 N， TB?440 N

3-4 ??gt2(3R)

3-5 ???3mR?20(8?F) 3-6 ??R2mgxsin??kx2(mR2?J)

3-7 6.75 × 1012

3-8 3

3-9 ?2g4gA?3R，??3R，a?235g，

a?与 x 负向夹角，??26.56?

3-10 ??2g(19r)

3-11 ??3?), ??cos?1?1??20(4L0(4gL)?

3-12 ??3gsin?0(2l)，

?1?3g?1?cos?0?l， ?C1?3gl?1?cos?0?2 ?2?3gl?1?cos?0?2，

?2??3g?1?cos?0?l2

3-13 h?3h02

3-14 ??247?lcos(12?07l0t)

作业5 热力学基础

5-1 3P1V1/2， 0

5-2 251 J， -293 J， 82 J， 169 J 5-3 Cp,m = 29.1 J/(mol·K)，

CV,m = 20.8 J/(mol·K) 5-4 等压， RT0/2

5-5 QV??E=623.3 J，A = 0，

?E?623.3 J，Qp?1038.8 J，A = 415.5 J 5-6 略 5-7 1.19 5-8 15.4% 5-9 3， 10 5-10 -5.07×103 J， 3.039×104 J， 5.47×103 J， 13.4%

33

5-11 VC?V2， TC?T1?V1V??12?，

P?RT1C?(1V2)?V1V2???，

QAB??RT1ln(V2V1)?0，

Q?RT1BC???1??V?11V2???1??0， ??1??1?1???V1V2???1?ln(V 2V1)5-12 32.2 kJ， 32.2 w 5-13 5.81×107 J

作业7 振 动

7-1 707

7-2 880π， 2.07， 5.73×103 7-3 1.288×105， 2.68

7-4 ???/3，??/2，5?/6，?，?/3，

负，相同，0.8

7-5 1.26 m/s，31.6 m/s2，都为 ?/3

7-6 d2xdt2? ghx?0，??gh， T?2πhg，A?b?h，??0x?(b?h)cos(ght)

7-7 ?，3?/2，??/3

7-8 x?6.0cos?3πt?π3?cm，

?t? 0.444 s

7-9 9.79773 m/s2 7-10 x??4.24×10-2 m， ?t?0.75s 7-11 0.1 m， 90°

7-12 x?10cos(100πt?0.455π)mm

7-13 x?1.414?10?2cos(5 t?π4)cm 7-14 T?2π3ml(2mg?kl) 7-15 9x2?16xy?25y2?161，斜椭圆

作业9 光的干涉

9-1 4I 9-2 0.9

9-3 1.5? 9-4 暗纹 9-5 544.8 nm 9-6 1.58 9-7 0.72 mm

9-8 0.91 mm， 24 mm， 不变 9-9 2n2e??2， 2n2e 9-10 ?4n 9-11 变窄

9-12 暗， 明

9-13 3?(4n2) 9-14 7.37×10-6 rad， 1.33 9-15 1.21， r10 = 2.84 mm

9-16 紫红色．∵反射光中干涉最强是

?1?674nm(红), ?2?404nm(紫) 9-17 99.4 nm 9-18 2(n?1)d

9-19 700 nm， 14条

9-20 rn?R?k??2e0?

作业11 光的偏振

11-1 2I2， I1 - I2 11-2 2 11-3 45°

11-4 2， 1/4

11-5 I3?3I0/32，

P2拿掉后 I3?0 或 I3?3I08 11-6 141条

11-7 ?(4n)

11-8 部分偏振， 90°

11-9 振动方向⊥入射面的线偏振 11-10 1.9， 35° 11-11 54.7°

11-12 i0?48?26?，i?0?41?34? 11-13 晶体内不发生双折射的方向， 光线与光轴 11-14 略

11-15 方解石??20°0′，石英??1°2.6′34

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