时空对称性与守恒律

时空对称性与守恒律

信息系统与管理学院 童绥圣 201005019008

摘要：对称性和守恒律是基本的自然法则，人们在长期的科学探索中发现，自然界的各种对称性与守恒律之间具有相辅相存的密切联系。

关键字：对称性 对称操作 守恒律

引言

作为物理学的最原始、最基本的概念，对称和守恒各自有着深刻的思想渊源。人类对于对称和守恒的认识也是从表面深入到内部，而对称和守恒也经历了从分立走向综合的漫长发展历程。特别是在现代物理学中，对称性和守恒律对科学家来说始终具有非凡的吸引力，是一个非常有趣和深刻的话题。在探索千变万化、纷繁复杂的自然现象的普遍规律的过程中，守恒量与守恒定律是物理学家们长期倾心关注的议题。现代物理学研究表明，自然界中的守恒定律与相应的对称性是密切相关的。因此，认识现代物理学对称性的深刻内涵，明确对称性与守恒律之间的密切联系，对于探究自然规律、揭示宇宙奥秘是十分重要的。

对称和对称操作

德国数学家魏尔在1951年给对称性的普遍的严格定义：对一个事物进行一次变动或操作，如果经过此操作后，该事物完全复原，则称该事物对所经历的操作是对称的，而此操作就叫做对称作．由于操作(变换)方式不同可以有若干种不同的对称性。

（1）空间反演操作与镜像对称。空间反演操作类似于物体的平面镜成像，具有对某一轴线或平面的对称性。如物理学中的位置矢量，经过空间反射后，与镜面垂直的分量反向，与镜面平行的分量则不变。

(2)空间平移对称操作与平移对称．当某一物理规律经过坐标平移后仍与原规律相同，则为平移对称。例如，我们将进行物理实验

的全套仪器从北京运到上海，在两地会得到相同的物理定律，即物理定律具有空间平移对称性。

(3)空间旋转对称操作与转动对称。例如，太阳绕通过其中心的任意轴旋转某一角度后，其现状与原状一样。进行物理实验的仪器转动某一角度后，所得到的物理规律不会因空间的转动而发生变化，即物理定律具有空间转动对称性。

(4)时间平移对称操作与时间对称。我们所熟悉的24小时的昼夜循环，在时间上就表现出具有周期性的平移对称；周期性变化的单摆只对周期T及其整数倍的时间平移变换对称。空间对称性和时间对称性是最基本的、最常见的对称性，统称为时空对称性。另外，量子力学中全同粒子互换后，得到具有交换对称性的哈密顿算符，全同粒子体系波函数的对称性不随时间的平移而改变。

对称性与守恒律

从现代物理学的高度来审视。对称性和守恒律是基本的自然法则。在经典力学中，牛顿运动三定律只适用于宏观物体，而动量、角动量、能量三大守恒定律对宏观物体和微观领域都是普遍成立的。自然界广泛存在的对称性在物理学中处于十分基本的地位。上述三大守恒定律又比牛顿运动定律具有更普遍更深刻的根基。人们在长期的科学探索中发现，自然界的各种对称性与守恒律之间具有相辅相存的密切联系。例如，下列每一种对称性(即变换不变性)都对应着一个守恒定律：

空间平移不变性?动量守恒定律 空间转动不变性?角动量守恒定律

时间平移不变性?能量守恒定律 空间反演不变性?宇称守恒定律 整体规范不变性?电荷守恒定律

下面我们从保守力系的机械能出发，来讨论守恒律与对称操作的关系。

1.机械能对空间坐标平移的对称性与动量守恒

系统机械能函数对空间坐标平移的对称性，将导致系统的动量守恒。我们讨论两个质点组成的质点系，且各质点只受保守力作用而运动，两质点的动量分别为p1和p2，相应的位矢为r1?x1,y1,z1?和

?r2?x2,y2,z2?，现令坐标平移?r，相当与整个系统沿相反方向平移了，

??r这样质点的位矢变成了r1??r和r2??r。对机械能而言，包含了动

??能和势能，动能是速度的函数，显然不因坐标的平移而改变，因此机械能对平移操作的不变性即体现在体系的势能下不因空间坐标的平移而发生改变。即可得

?EP??EP?x?x??EP?x?x?12?Ep?y??y1?Ep?y??y2?Ep?z??z1?Ep?z2?z?

(?EP?x1??Ep?E??E???E??E)?x??p?P?y??p?p???0 ?x2?y?y?z?z12?12???此处用变分?而不用微分d，是因为?EP完全来自坐标平移，而不是系统的真实运动，因而?r可取任意值，且?r?0，有因为x,y,z互相独立，故要满足上式即可得

?E?E???E??E??EP??0;??EP?P?p?0;?p?p????0. ???x1?x2??y?y?z?z1212?????从保守力和势函数的关系不难得出：

?EP?EP??F12X,??F12Z,?Ep??F21Y;??F21x?Ep??F12Y,?EP??F21Y;?x1?z1?x2?z2?y1?y2?EP

所以可得：

F12X?F21X?0;F12Y?F21Y?0;F12Z?F21Z?0

从动量定理可得：

d?p1x?p2x??0;d?p1y?p2y??0;d?p1z?p2z??0,

dtdtdtp1x?p2x?C1即 p1y?p2y?C2

p1z?p2z?C3 因而p1?p2?C

这正是动量守恒定律的表达式，于是我们从机械能对空间坐标平移操作的对称性导出了动量守恒定律。

2.机械能对空间坐标系转动的对称性与角动量守恒 上述质点组的总机械能函数对空间坐标系旋动的对称性（即是空间各向同性），将导致角动量守恒。令质点1位于坐标原点且保持静止，质点2的质量为m，位于运动状态且不受其他力作用。现对空间坐标系实施一无穷小角位移???，实质上相当于系统沿相反方向转过无穷小角位移??（无穷小角位移为矢量）。显然质点2的位置矢量r与速度矢量v均转过??，由此可得其相应的增量

?r????r,?v????v,机械能对坐标实施旋转操作的不变性意味着下式

成立，即?E???mv2/2???EP?mv?v??Ep?mv????v???EP?0. 对第一项?EK?mv????v??m???v?v??0，因而要求第二项?EP?0，即坐标系旋转而势能不变，这表明质点m一定受到有心力的作用，势能仅为位矢r的函数，即EP?EP?r?式。这样，便从机械能对坐标系旋转的对称性推出角动量守恒律。

3.机械能对时间平移的对称性与机械能守恒

上述质点组的总机械能对时间平移的对称性将导致机械能守恒。令此质点组的总机械能E?EK?EP，为避免矢量性带来的麻烦，我们令两质点只作x方向的一维运动。则

E?m1v1x/2?EP1?x1??m2v2x/2?Ep2?x2?，又因为?t恒为零，

22所以用dEdt来表示体系的机械能对时间的平移， 即dEdt?m1v1x2dv1xdt?dEP1dt?m2v2xdv2xdt?dEP2dt

因此体系为保守力系，则dEP1dx??F12X,dEP2dx??F21X。

12又从牛顿第二定律出发可得F12X?m1dv1xdt,F21X?m2dv2xdt，

所以上式为dEdt?m1v1xdv2xdt?m1v1xdv1xdt?m2v2xdv1xdt?m2v2xdv2xdt?0， 则dEdt?0,E?C，即EK?EP?E'K?E'P，

这正是机械能守恒定律的表达式，所以体系的机械能若对时间的平移具有对称性，则其机械能守恒。

结束语

对称性在物理学中起着重要的作用，通过对系统所具有的对称性的分析，可以得到系统相应的守恒量，这些守恒量的存在对于了解系统的物理状态和性质就十分重要。在微观世界中，特别是在粒子物理学中，对称性就更为重要了。从对称性看世界，看到的可能性实在太多。美国物理学家费曼说的好：“可能性实在太多了，它们之中任何一个都可能是对的，也可能没有一个是对的，因此我们必须去探索”。 参考文献： 1. 2. 3.

物理通报 2011

赵凯华，罗蔚茵．力学【M】．北京：高等教育出版社，1995． 李承祖，杨丽佳 .大学物理学 .北京：科学出版社，2009 .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cjrd.html