高考抛物线专题做题技巧与方法总结

高考抛物线专题做题技巧与方法总结

知识点梳理：

1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (p?0)： 标准方程 图形 y2?2px ▲y2??2px ▲x2?2py ▲x2??2py ▲yyyyxOxOxOxO 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率

2.抛物线的焦半径、焦点弦

F(p,0) 2p 2 F(?p 2 F(0,p) 2 F(0,?p 2p,0) 2p) 2x??x?y??p 2y?x?0,y?R x?0,y?R x?R,y?0 x?R,y?0 x轴 y轴 （0，0） e?1 ①y2?2px(p?0)的焦半径PF?x?P;x2?2py(p?0)的焦半径PF?y?P；

22② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.

p2③ AB为抛物线y?2px的焦点弦，则xAxB? ，yAyB??p2，

42|AB|=xA?xB?p

?x?2pt2?x?2pt3. y?2px的参数方程为?（t为参数），x2?2py的参数方程为?（t2y?2pty?2pt??2为参数）. 重难点突破

重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能

通过方程研究抛物线的几何性质 难点: 与焦点有关的计算与论证

重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识

问题1：抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( ) A.

17157 B. C. D. 0

81616点拨：抛物线的标准方程为x2?11y，准线方程为y??,由定义知，点M到准41615 16线的距离为1，所以点M的纵坐标是

2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向

问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有

点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条

3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路” 问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切

点拨：设AB为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点A'、B'分别是点A、B在准线上的射影，弦AB的中点为M，则AB?AF?BF?AA'?BB'，点M到准线

11的距离为(AA'?BB')?AB，?以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线

22相切

3、典型例题讲解： 考点1 抛物线的定义

题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例1 ]已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为

解题思路：将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离

[解析]过点P作准线的垂线l交准线于点R，由抛物线的定义知，

PQ?PF?PQ?PR，当P点为抛物线与垂线l的交点时，PQ?PR取得最小值，

最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3

总结：灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 练习：

1.已知抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，点Px1，y1)，P2x(2y，1(2)，P，y3)在3(x3抛物线上，且|P1F|、|P2F|、|P3F|成等差数列， 则有 （ ） A．x1?x2?x3

B． y1?y2?y3

C．x1?x3?2x2 D. y1?y3?2y2

ppp［解析］C 由抛物线定义，2(x2?)?(x1?)?(x3?),即：x1?x3?2x2．

2222. 已知点A(3,4),F是抛物线y2?8x的焦点,M是抛物线上的动点,当MA?MF最小时,

M点坐标是 ( )

A. (0,0) B. (3,26) C. (2,4) D. (3,?26) [解析] 设M到准线的距离为MK,则|MA|?MF|?MA?MK，当MA?MK最小时，M点坐标是(2,4)，选C

考点2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程

[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线x?2y?4?0上 解题思路：以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.

[解析] (1)设所求的抛物线的方程为y2??2px或x2?2py(p?0), ∵过点(-3,2) ∴4??2p(?3)或9?2p?2

29 ∴p?或p?

3494 ∴抛物线方程为y2??x或x2?y,

2319前者的准线方程是x?,后者的准线方程为y??

38 (2)令x?0得y??2，令y?0得x?4，

∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时, ∴p?8，此时抛物线方程y2?16x;焦点为(0,-2)时 ∴p?4，此时抛物线方程x2??8y.

∴所求抛物线方程为y2?16x或x2??8y,对应的准线方程分别是

x??4,y?2.

p?4, 2p

?2 2

总结：对开口方向要特别小心，考虑问题要全面 练习：

x23.若抛物线y?2px的焦点与双曲线?y2?1的右焦点重合,则p的值 32 [解析]

p?3?1?p?4 24. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上； ②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.

能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）

[解析] 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.

5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且|AM|?17,|AF|?3，求此抛物线的方程

[解析] 设点A'是点A在准线上的射影，则|AA'|?3，由勾股定理知|MA'|?22，点A的横坐标为(22,3?x2?4y或x2?8y

p)，代入方程x2?2py得p?2或4，抛物线的方程2考点3 抛物线的几何性质

题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证

[例3 ]设A、B为抛物线y?2px上的点,且?AOB?90?(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.

解题思路：由特殊入手，先探求定点位置

2?y?kx2p2p［解析］设直线OA方程为y?kx,由?2解出A点坐标为(2,)

kk?y?2px1?y??xk(x?2pk2)?2直线AB方程为y?2pk??,k解出B点坐标为(2pk,?2pk)，?21?k?y2?2px?令y?0得x?2p，直线AB必过的定点(2p,0)

总结：（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用?练习：

6. 若直线ax?y?1?0经过抛物线y2?4x的焦点，则实数a? [解析]-1

7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射

影为A1,B1,则?A1FB1? ( )

A. 45? B. 60? C. 90? D. 120? [解析]C

基础巩固训练：

1换k而得。 k

1.过抛物线y2?4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于a2?2a?4(a?R)，则这样的直线（ ）

A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在 [解析]C |AB|?xA?xB?p?a2?2a?5?(a?1)2?4?4，而通径的长为4． 2.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线x2?4y上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为 （ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 [解析] B 利用抛物线的定义，点P到准线y??1的距离为5，故点P的纵坐标为4．

3.两个正数a、b的等差中项是

9，一个等比中项是25，且a?b,则抛物线2y2?(b?a)x的焦点坐标为( )

1111A．(0,?) B．(0,) C．(?,0) D．(?,0)

4424[解析] D. a?5,b?4,b?a??1

4. 如果P1，P2，?，P8是抛物线y2?4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，?，F是抛物线的焦点，若x1,x2,?,xn(n?N?)成等差数列且x1?x2???x9?45，x8，

则|P5F|=（ ）．

A．5 B．6 C． 7 D．9

?xi?[解析]B 根据抛物线的定义，可知PFip?xi?1（i?1，2，??，n），2?x1,x2,?,xn(n?N?)成等差数列且x1?x2???x9?45,x5?5,|P5F|=6

5、抛物线y2?4x的焦点为F,准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）

A．33

B．43

C．63

D．83

[解析] C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H，设A(m,n)，则

AF?AB?m?1,FH?OH?OF?m?1，?m?1?2(m?1)?m?3,n?23

1四边形ABEF的面积=[2?(3?1)]?23?63

2????6、设O是坐标原点，F是抛物线y?4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x?????轴正向的夹角为60，则OA为 ．

2[解析]21.

过A 作AD?x轴于D，令FD?m，则FA?2m即2?m?2m，解得m?2．

?A(3,23)?OA?32?(23)2?21 综合提高训练

7.在抛物线y?4x2上求一点，使该点到直线y?4x?5的距离为最短，求该点的坐标

[解析]解法1：设抛物线上的点P(x,4x2)，

1|4(x?)2?4|417|4x?4x?5|2??点P到直线的距离d?， 1717172当且仅当x?11（，1）时取等号，故所求的点为

22解法2：当平行于直线y?4x?5且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为y?4x?b，代入抛物线方程得4x2?4x?b?0， 由??16?16b?0得b??1,x?11（，1），故所求的点为

228. 已知抛物线C:y?ax2（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线c上一个动点，过点P且与抛物线c相切的直线记为l． （1）求F的坐标；

（2）当点P在何处时，点F到直线l的距离最小？ 解：（1）抛物线方程为x2?故焦点F的坐标为(0,1y a1) 4a2（2）设P(x0,y0) 则 y0?ax0

?y'?2ax, ?在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率 k?2ax0

2直线l的方程是 y?ax0?2ax0(x?x0) 2即 2ax0x －y?ax0?0

0?? d?12?ax04a(2ax0)2?(?1)2?1124a2x0?1? . 4a4a当且仅当 x0?0 时上式取“＝” 此时P的坐标是(0,0) ?当P在(0,0)处时，焦点F到切线L的距离最小.

9. 设抛物线y2?2px（p?0）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．证明直线AC经过原点O．

?p?证明:因为抛物线y2?2px（p?0）的焦点为F?,0?，所以经过点F的直线AB

?2?的方程可设为 x?my?p，代人抛物线方程得 2 y2?2pmy?p2?0．

若记A?x1,y1?，B?x2,y2?，则y1,y2是该方程的两个根，所以

y1y2??p2．

因为BC∥X轴，且点C在准线x??故直线CO的斜率为k?p?p?上，所以点C的坐标为??,y2?， 2?2?y22py1??. pyx11?2即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．

9x2y210.椭圆2?2?1上有一点M（-4，）在抛物线y2?2px（p>0）的准线l上，

5ab抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；

（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.

x2y2解：（1）∵2?2?1上的点M在抛物线y2?2px（p>0）的准线l上，抛物线

ab的焦点也是椭圆焦点. ∴c=-4，p=8??①

9∵M（-4，）在椭圆上

5∴

1681??1??② a225b2∵a2?b2?c2??③ ∴由①②③解得：a=5、b=3

x2y2??1 ∴椭圆为

259由p=8得抛物线为y2?16x 设椭圆焦点为F（4，0）， 由椭圆定义得|NQ|=|NF| ∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|

941=(?4?4)2?(?0)2?，即为所求的最小值.

55参考例题：

1、已知抛物线C的一个焦点为F（1，0），对应于这个焦点的准线方程为

2x=-1.

2（1）写出抛物线C的方程；

（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；

（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.

解：（1）抛物线方程为：y2=2x. （4分）

（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-1)，代入y2=2x，

2得：k2x2-(k2+2)x+k24?0.

k2?22设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1+x2=

，y1+y2=k(x1+x2-1)=2.

kk??0?x1?x2k2??x??2设△AOB的重心为

（x，y）则?33k2G?y?0?y1?y2?2，

??33k消去k得y2=23x?29为所求， （6分）

②当直线垂直于x轴时，A（12，1），B（12，-1）， （8分）

△AOB的重心G（13，0）也满足上述方程.

综合①②得，所求的轨迹方程为y2=23x?29， （9分）

（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=2，

根据圆的性质有：|MN|=2|MP||MQ||PQ|2?r2|PQ|?2r|PQ|2?22?1?2|PQ|2. （11分）

当|PQ|2最小时，|MN|取最小值， 设P点坐标为(x0，y0)，则y20=2x0. |PQ|2=（x0-3）2+ y220= x0-4x0+9=(x0-2)2+5， ∴当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5， 故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值2305.

抛物线专题练习

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为

A ）

（

A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）

2．圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ D ）

A．x2+ y 2-x-2 y -1=0 4B．x2+ y 2+x-2 y +1=0

D．x2+ y 2-x-2 y +

1=0 4C．x2+ y 2-x-2 y +1=0

3．抛物线y?x2上一点到直线2x?y?4?0的距离最短的点的坐标是

）

A．（1，1）

3911B．（,）C．(,) D．（2，4）

2424（ A

4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ B ） A．6m

B． 26m C．4.5m

D．9m

5．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ C ）

A． y 2=－2x

B． y 2=－4x

C．y 2=－8x D．y 2=－16x

6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 A． y 2=-2x C． y 2=2x

（ B ）

B． y 2=-4x

D． y 2=-4x或y 2=-36x

7．过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= A．8

B．10 C．6

（ A ）

D．4

8．把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a?(2,?3)平移，所得的曲线的方程是（C ）

A．(y?3)2??4(x?2) B．(y?3)2??4(x?2) C．(y?3)2??4(x?2) D． (y?3)2??4(x?2)

9．过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有 ）

（ C

A．0条 B．1条 C．2条 D．3条

10．过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则A．2a B．

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为 2 ．

12．抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 x? ．

13．P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这

个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是 （1，0） ．

x2y2??1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程14．抛物线的焦点为椭圆94k 41 2a11

?等于 pq

（ C ）

C．4a D．

4 a为 y2??45x

三、解答题（本大题共6小题，共76分）

15．已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：x2?(y?3)2?1外切，求动圆圆

心M的轨迹方程．(12分)

[解析]：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的

距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2??12y．

16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到

焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．（12分） [解析]：设抛物线方程为x2??2py(p?0)，则焦点F（??m2?6p?m?26?m??26 ?，解之得或， ???2p2?p?4?p?4?m?(3?)?52?p,0），由题意可得 2 故所求的抛物线方程为x2??8y，m的值为?26

17．动直线y =a，与抛物线y2?1x相交于A点，动点B的坐标是(0,3a)，求线2段AB中点M的轨迹的方程．(12分)

?x?a2[解析]：设M的坐标为（x，y），A（2a，a），又B(0,3a)得 ?

?y?2a2y2 消去a，得轨迹方程为x?，即y2?4x

4yOA'AxB

18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4

米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分) [解析]：如图建立直角坐标系，

设桥拱抛物线方程为x2??2py(p?0)，由题意可知， B（4，-5）在抛物线上，所以p?1.6，得x2??3.2y，

当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则A

5（2,yA），由22??3.2yA得yA??，又知船面露出水面上部分高为0．75

4米，所以h?yA?0.75=2米

19．如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段

C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=分)

[解析]：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标

原点．由题意可知：曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．

，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14

设曲线段C的方程为y2?2px(p?0),(xA?x?xB,y?0)， 其中xA,xB分别为A、B的横坐标，p?MN． 所以，M(?(xA?pp,0),N(,0)． 由AM?17，AN?3得 22p2)?2pxA?17 ① 2p(xA?)2?2pxA?9 ②

2联立①②解得xA??p?4?p?24．将其代入①式并由p>0解得?，或?． px?1x?2?A?A因为△AMN为锐角三角形，所以

?p?2p?xA，故舍去?． ∴p=4，xA?1． 2?xA?2BN?p?4．综上得曲线段2由点B在曲线段C上，得xB?y2?8x(1?x?4,y?0)．

C的方程为

20．已知抛物线y2?2px(p?0)．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛

物线交于不同的两点A、B，|AB|?2p． （Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求Rt?NAB面积的最大值．(14

分)

[解析]：（Ⅰ）直线l的方程为y?x?a，将y?x?a代入y2?2px，

得 x2?2(a?p)x?a2?0． 设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为

A(x1,y1)、B(x2,y2)，

?4(a?p)2?4a2?0,则 ??x1?x2?2(a?p), 又y1?x1?a,y2?x2?a，

?2?x1x2?a.∴|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2 ?2[(x1?x2)2?4x1x2]?8p(p?2a)．

0?|AB|?2p,8p(p?2a)?0， ∴

∵

0?8p(p?2a)?2p． 解得

?pp?a??． 24

（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为(x3,y3)，则由中点坐标公式，得

x3?y?y2(x1?a)?(x2?a)x1?x2??p． ?a?p， y3?1222

∴ |QM|2?(a?p?a)2?(p?0)2?2p2． 又 ?MNQ为等腰直角三角形， ∴ |QN|?|QM|?2p， ∴S?NAB?|AB|?|QN|12?2p|AB|2 ?2p?2p

2?2p2

即?NAB面积最大值为2p2

分)

[解析]：（Ⅰ）直线l的方程为y?x?a，将y?x?a代入y2?2px，

得 x2?2(a?p)x?a2?0． 设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为

A(x1,y1)、B(x2,y2)，

?4(a?p)2?4a2?0,则 ??x1?x2?2(a?p), 又y1?x1?a,y2?x2?a，

?2?x1x2?a.∴|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2 ?2[(x1?x2)2?4x1x2]?8p(p?2a)．

0?|AB|?2p,8p(p?2a)?0， ∴

∵

0?8p(p?2a)?2p． 解得

?pp?a??． 24

（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为(x3,y3)，则由中点坐标公式，得

x3?y?y2(x1?a)?(x2?a)x1?x2??p． ?a?p， y3?1222

∴ |QM|2?(a?p?a)2?(p?0)2?2p2． 又 ?MNQ为等腰直角三角形， ∴ |QN|?|QM|?2p， ∴S?NAB?|AB|?|QN|12?2p|AB|2 ?2p?2p

2?2p2

即?NAB面积最大值为2p2

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