06-07-1-概率论与数理统计A72答案1

五邑大学试卷

五邑大学 试 卷

学期： 2006 至 2007 学年度 第 一 学期 课程： 概率论与数理统计 专业：

班级： 姓名： 学号：

简答题（每小题6分，共计30分） 1．已知P(A) 0.5,P(B) 0.6,P(AB) 0.3,求P(A|)。 解：P(A|B)＝

P(AB)

P(B)

1 P(A B)

2分

1 P(B)

1 [P(A) P(B) P(AB)]

4分

1 P(B)

＝

＝

1 0.5 0.6 0.3

1 0.61

＝ 6分 2

2．某人花钱买了A、B、C三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的,中奖的概

＝

,p(C) 0.02, 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,率分别为p(A) 0.03,P(B) 0.01

则此人赚钱的概率。

解：设D表示“此人赚钱”，则D＝A∪B∪C 2分

P(D)＝P(A∪B∪C)

＝1－P(ABC) 4分 ＝1－P(A)·P(B)·P(C)

＝1－0.97×0.99×0.98＝0.059 6分

3．设随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4。已知P{X k}正比于k值，求X的分布律，并求P{X 3}。

五邑大学试卷

解：P{X＝1}＝λ，P{X＝2}＝2λ，P{X＝3}＝3λ，P{X＝4}＝4λ 2分 ∴ λ＋2λ＋3λ＋4λ＝10λ＝1

∴ λ＝0.1 2分 X的分布律为：P{X＝k}＝0.1·k (k＝1，2，3，4)

P{X＜3}＝P{X＝1}＋P{X＝2}＝0.1＋0.2＝0.3 2分

4．已知随机变量X的概率密度为f(x) 度。

解：g(x) 2x 1，

1 e2

x

,x ( , )，求Y 2X 1的概率密

h(x)

g(x) 11

，h (x) 2分 22

g( ) ，g( ) 4分

y 1111

∴ fY(y) fX() e

2222

y 1

2

1 e4

y 12

,y ( , ) 6分

5．设随机变量X与Y独立，下表列出了(X,Y)的分布律及关于X和关于Y的边缘分布律的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。

6分

设仓库中有100箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为50箱、30箱、20箱，各厂产品的次品率依次为0.1、0.2、0.3。从这100箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，若取出的产品为正品，求它是甲厂生产的概率是多少？（10分）

五邑大学试卷

解：设A1,A2,A3分别表示“取出的一件产品是甲、乙、丙厂生产的产品”，B表示“取出的一件产品是正品”。

P(A1|B)＝

P(B|A1)P(A1)

P(B|A)P(A)

i

i

i 1

3

4分

50

＝ 8分

(1 0.1) (1 0.2) (1 0.3)

100100100

0.4545＝＝=0.542 10分 0.8383

(1 0.1)

设X1,X2, ,Xn为总体X的一个随机样本，E(X) ,D(X) ，求

2

（10分） E( (Xi 1 Xi)2)。

i 1

n 1i 1

n 1

解：原式＝

E(X

n 1

i 1

Xi)2 2分

＝

2

6分 D(X X) E(X X) i 1ii 1i i 1n 1i 1

＝

D(X

n 1i 1

i 1

) D(Xi) 9分

＝

2 2＝

2

2 10分 n 1

设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为

e y,y 0 1,0 x 1

，fY(y) 。 fX(x)

其他其他 0, 0,

五邑大学试卷

（1）求X与Y的联合密度。（2）设随机变量Z

1,

0,

当X Y当X Y

，求Z的分布律。（10分）

ey,0 x 1,y 0

解：(1) X与Y相互独立，则f(x,y) fX(x) fY(y) 5分

其他 0,

(2) P{Z 1} P{X Y}

1

X Y

f(x,y)dxdy 6分

1

y y x 1

edxdy dxedy edx 1 e 8分

G

10分

五、设X~N(0,1),Y~N(0,1)，且相互独立。U X Y 1,Z X Y 1， 求U与Z的相关系数 UZ。（10分）

解： E(UZ) E(X2 XY X XY Y2 X Y 1)

E(X2 Y2 2X 1) E(X2) E(Y2) 2E(X) E(1) 4分

D(X) E(X) D(Y) E(Y) 2E(X) 1

1 0 1 0 2 0+1＝1 6分

2

2

E(U) E(X Y 1) 1E(Z) E(X Y 1)

1 8分

UZ

=0 10分

设X b(1,p)(0 1分布)，X,X, ,X为总体X的一个随机样本，试12n求参数p的最大似然估计量。（8分） 解：L(p)

p(x,p) p

i

i

i 1

i 1

nn

xi

(1 p)1 xi

n

p

i=1

n

xi

(1 p)i=1

(1 xi)

,xi 0,1 4分

n n

p) lnL( xi lnp (1 xi

i=1 i=1

)

ln (1p ) 6分

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令 lnL(p)

1n11n xi (1 xi) 0，得p xi x pi=11 pni 1i=1

n

X 8分 ∴ 估计量为P

(x y)

Ae,0 x 1,0 y

已知(X,Y)的概率密度为f(x,y) 。

0,其他

(1) 求参数A的值，(2) 求边缘密度函数fX x 。（12分） 解：(1)

f(x,y)dxdy＝1， 2分

(x y)

y

dxdy＝A edx e ydy＝A e x 1 0 e

1

Ae

1

x

00

＝1

∴ A＝

e

6分 e 1

(2) fX(x)

e x e

dy e,0 x 1 0

12分 f(x,y)dy e 1e 1

0,其他

设正常生产时，轴承内环的锻压零件的平均高度X服从正态分布

16只内环，测得平均高度为x 30.3毫米。分布及方差

保持不变，检验现在的产品是否为正常。（显著性水平为0.05，Z0.025 1.96，H0： ＝30）（10分） 解：设H0：μ＝30，H1：μ≠30 当H0 N(0,1)， 2分

Z ， 6分

2

3 1.96 9分

当 0.05时，Z 1.96 ∴

2

所以拒绝H0，即现在的产品不正常。 10分

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