中考动点问题专项训练(含详细解析)

中考动点问题专项训练（含详细解析）

一、解答题

1. 如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿 向点 匀速运动，速度是 ；同时，点 从点 出发沿 方向，在射线 上匀速运动，速度是 ，过点 作 交 于点 ，连接 ， ， 交 于点 ．设运动时间为 ，解答下列问题：

（1）当 为何值时，四边形 是平行四边形；

（2）设 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 ，使得 的面积为矩形 面积的 ；

（4）是否存在某一时刻 ，使得点 在线段 的垂直平分线上．

2. 已知：如图，在 中， ， ， ，点 从点 出发，沿 向点 匀速运动，速度为 ；过点 作 ，交 于点 ，同时，点 从点 出发，沿 向点 匀速运动，速度为 ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接 ．设运动时间为 ，解答下列问题：

（1）当 为何值时，四边形 为平行四边形?

（2）设四边形 的面积为 ，试确定 与 的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 四边形 ?若存在，请说明理由，若存在，求出 的

值，并求出此时 的距离．

3. 已知： 和矩形 如图①摆放（点 与点 重合），点 ， ， 在同一条直线上， ， ， ．如图②， 从图①的位置出发，沿 方向匀速运动，速度为 ； 与 交于点 ．同时，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ．过 作 ，垂足为 ，交 于 ，连接 ， ，当点 停止运动时， 也停止运动．设运动时间为 ，解答下列问题：

（1）当 为何值时， ?

（2）设五边形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；

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（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 五边形 矩形 ?若存在，求出 的值；若不存在，请

说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使点 在 的垂直平分线上?若存在，求出 的值；若不存在，请说

明理由．

4. 如图，在 中， ， ，点 从点 出发，在线段 上以每秒 的速度向点 匀速运动．与此同时，点 从点 出发，在线段 上以每秒 的速度向点 匀速运动．过点 作 ，交 于点 ，连接 ， ．当点 到达 中点时，点 与 同时停止运动．设运动时间为 秒（ ）．

（1）当 为何值时， ．

（2）设 的面积为 ，求出 与 之间的函数关系式．

（3）是否存在某一时刻 ，使 ?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．

5. 如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿 向点 匀速运动，速度是 ，过点 作 交 于点 ，同时，点 从点 出发沿 方向，在射线 上匀速运动，速度是 ，连接 ， ， 与 交于点 ，设运动时间为 ．

（1）当 为何值时，四边形 是平行四边形；

（2）设 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 ，使得 的面积为矩形 面积的 ；

（4）是否存在某一时刻 ，使得点 在线段 的垂直平分线上．

6. 已知：如图①，在 中， ， ， ，点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为 ；点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为 ；连接 ．若设运动的时间为 （ ），解答下列问题：

（1）当 为何值时， ?

（2）设 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；

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（3）是否存在某一时刻，使线段 恰好把 的周长和面积同时平分?若存在，求出此时的值；若不存在，

说明理由；

（4）如图②，连接 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存在某一时刻，使四边形

为菱形?若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

7. 已知：如图， 是边长为 的等边三角形，动点 ， 同时从 ， 两点出发，分别沿 ， 方向匀速移动，它们的速度都是 ，当点 到达点 时， ， 两点停止运动，设点 的运动时间 （ ），解答下列各问题：

（1）经过 秒时，求 的面积． （2）当 为何值时， 是直角三角形?

（3）是否存在某一时刻 ，使四边形 的面积是 面积的三分之二?如果存在，求出 的值；不存在请说

明理由．

8. 已知：如图，在平行四边形 中， ， ， ，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，连接并延长 交 的延长线于点 ，过 作 ，垂足是 ，设运动时间为 ．

（1）当 为何值时，四边形 是平行四边形? （2）证明：在 ， 运动的过程中，总有 ；

（3）是否存在某一时刻 ，使四边形 的面积是平行四边形 面积的一半?若存在，求出相应的 值；若

不存在，说明理由．

9. 如图，在梯形 中， ， ， ， ， ．点 从点 出发沿折线 方向向点 匀速运动，速度为 ；点 从点 出发，沿 方向向点 匀速运动，速度为 ， ， 同时出发，且其中任意一点到达终点，另一点也随之停止运动，设点 ， 运动的时间是 ．

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（1）当点 在 上运动时，如图（1）， ，是否存在某一时刻 ，使四边形 是平行四边形?若存在，

求出 的值；若不存在，请说明理由；

（2）当点 在 上运动时，如图（2），设 的面积为 ，试求出 与 的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻 ，使 的面积是梯形 的面积的 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理

由；

（4）在（2）的条件下，设 的长为 ，试确定 与 之间的关系式．

10. 已知：如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，沿边 向点 以 的速度移

动，与此同时，点 从点 出发沿边 向点 以 的速度移动．如果 、 两点在分别到达 、 两点后就停止移动，回答下列问题：

（1）运动开始后多少时间， 的面积等于 ?

（2）设运动开始后第 时，五边形 的面积为 ，写出 与 之间的函数表达式，并指出自变量 的

取值范围；

（3） 为何值时， 最小?求出 的最小值．

11. 已知：如图 ①，在平行四边形 中， ， ． ． 沿 的方向匀速平移得到

，速度为 ；同时，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，当 停止平移时，点 也停止运动．如图 ②，设运动时间为 ．

解答下列问题：

（1）当 为何值时， ?

（2）设 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻 ，使 四边形 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．

（4）是否存在某一时刻 ，使 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．

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12. 在直角梯形 中， ， 是直角， ， ，点 从点 出发，以每秒

的速度沿 方向运动，点 从点 出发以每秒 的速度沿线段 方向向点 运动，已知动点 ， 同时出发，当点 运动到点 时， ， 运动停止，设运动时间为 ．

（1）求 长；

（2）当四边形 为平行四边形时，求 的值；

（3）在点 ，点 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积为 平方厘米?若存在，请求出所有

满足条件的 的值；若不存在，请说明理由．

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答案

第一部分

1. （1） 当 时，四边形 是平行四边形， 此时，四边形 是平行四边形， 则 ，即 ，解得， ， 即当 时，四边形 是平行四边形．

（2） ，

， ， ，

，即

，

解得， ， ， 则 ，

四边形

即 与 之间的函数关系式为： ． （3） 存在．

矩形 面积为： ， 由题意得，

，解得， 或 ．

当 或 时， 的面积为矩形 面积的 ． （4） 存在这样的 使得点 在线段 的垂直平分线上． 当点 在线段 的垂直平分线上时， ， 由勾股定理得， 解得， 答：

，

（舍去），

，

2. （1） ， ， ， ， ，

时，点 在线段 的垂直平分线上．

当 时，四边形 是平行四边形， ，即 解得，

，

，

答：当 时，四边形 为平行四边形． （2） 过点 作 ，垂足为 ，

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， ， ，

，即

，

解得， ， ，

， ， ，

，即

解得，

，

，

四边形

（3） 存在，若 四边形 ，则 ，

，

，

解得， （舍去）， ，

则 为 时， 四边形 ， 当 时， ， ， 作 于 ，

则 ， ， ， 则 3. （1） 若 ， 则 ． 所以 ， 即

．

，

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解得：

．

（2） 由 可得， ， 又 ， 所以 ， 所以 即

，

，

所以 ．

（3） 假使存在 ，使 五边形 矩形 ， 则 矩形 ，即

，

整理得 ， 解得 ， （舍去）．

答：存在 ，使得 五边形 矩形 ． （4） 存在． 易证 ， 所以 ，即 ， 所以 ，则 ，

．

作 于 点，

则四边形 为矩形，

所以 ， ，

故： ，

若 在 的垂直平分线上， 则 ， 所以 ，

所以 ，

即： ， 整理得： ， 解得 ， （舍去）．

综上，存在使点 在 的垂直平分线上的 ，此时 ．

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4. （1） 过点 作 于点 ，

， ， ，

， ，

， ， ，

，

解得

， ，

当 为 时， ．

（2） 过点 作 于点 ，交 于点 ．如图所示，

，

， ， ，

，

， ，

由 ，可得 ，

， 四边形 是矩形， ，

，

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，即

，

（ ）．

（3） 存在． 由题意：

，解得 或 ．

秒或 秒 时， ． 5. （1） ， ，

根据题意得： 时，四边形 是平行四边形， 即 ， 解得： ；

（2） 四边形 ， 因为 ， 所以 ， 所以

，

所以 ，

则 ， 则 ，

，

则 四边形 ， 即 ；

（3） 矩形 ， 由题意得： ， 解得： 或 ；

（4） 在 中， ， 在 中， ，

当点 在线段 的垂直平分线上时， ，即 ， 则 ， 解得： 则

或

（舍去）．

．

6. （1） 在 中， ． 由题意知： ， ． 若 ，则 ． ．

．

．

（2） 过点 作 于 ．

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，

． ．

，

（3） 不存在某一时刻，使线段 恰好把 的周长和面积同时平分． 若 把 周长平分，则 ． ． 解得： ．

若 把 面积平分，则 ．

． 时方程不成立，

不存在这一时刻 ，使线段 把 的周长和面积同时平分． （4） 存在这样的时刻，使得四边形 为菱形． 过点 作 于 ， 于 ．

若四边形 是菱形，那么 ． 于 ， ． 于 ， ． ．

． ．

．

．

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， 解得 当

．

时，四边形 是菱形，

此时 ， ． 在 中，由勾股定理，得

．

菱形 边长为

7. （1） 过 点作 ，垂足为 ．

由题意可知 ．

为等边三角形，且边长为 ， ，

．

（ ）．

（2） ①当 时， 由题意可知 ， ． ． ，

，即 ． ②当 时， 此时 ． ，

，即 ．

当 ， 时， 是直角三角形． （3） 不存在．

由题意可知， ， ．

．

，四边形 的面积是 面积的三分之二，

． 即 ． 化简得 ．

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． 此方程无解．

所以不存在某一时刻 ，使四边形 的面积是 面积的三分之二． 8. （1） 如图 ，连接 ， ，

四边形 是平行四边形， ， ， 解得 ，

当 时，四边形 是平行四边形． （2） 四边形 是平行四边形， ，

， ， ，

，

， ， ，

即在 ， 运动的过程中，总有 ． （3） 如图 ，过点 作 于 ，

， ， ，

， ，

，

在 中，由勾股定理得： ， ， 为等腰直角三角形， ，

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，

．

四边形 是平行四边形， ， ， ，

设四边形 的面积为 ，

，

假设存在某一时刻 ，四边形 的面积是平行四边形 的面积的一半，

，

整理得： ， 解得： 当

（舍），

时，四边形 的面积是平行四边形 面积的一半．

9. （1） 不存在，理由如下：

因为 ， ， ， 所以 ， 所以 ，

设点 ， 运动的时间是 ， ， ，使四边形 是平行四边形，

有 ， 所以 ，

解得： ，此时点 与点 重合，不能构成平行四边形． （2） 如图②，

由题意可求： ， ， 过点 作 ，

因为 ， 所以 可求

，

，

所以 （3） 如图3，

．

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过点 作 ，

由 ， ，可求： ，

所以梯形 的面积为： ， 当 时， ，

此时， 的面积为： ， 由题意得： ，

解得： （舍去）；

当 时，

由（2）知， 的面积为：

，

由题意： ， 解得： 或 （舍去），

所以当 时， 的面积是梯形 的面积的 ． （4） 如图②，

由（2）知： ， ， 过点 作 ，

因为 ， 所以

，

，

可求： ， ， 由勾股定理可求： ，

当 时， ，解得： 所以

，

．

10. （1） 运动开始后第 时， 的面积等于 ．根据题意，得

即

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解得

所以 或 时， 的面积等于 ． （2） 运动开始后第 时，

矩形

（3） ． 所以当 时， 最小， 的最小值是 ． 11. （1） 在 中，

由勾股定理得： ． 由平移性质可得 ． 因为 ， 所以 ． 所以 即

，

．

．

解得

（2）

如图，作 于点 ， 于点 ． 由 ， 可得

．

则由勾股定理易求 ．

因为 ， ， 所以 ． 所以 ． 所以 ． 即

． ，

求得：

．

因为 ，

所以 到 的距离

．

．

所以， 是面积 （3） 因为 ， 所以 ．

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若 四边形 ， 则 ． 即：

，

整理得： ． 解得 ．

答：当 时， 四边形 ． （4） 若 ，则 ． 因为 ， 所以 ． 所以 ． 所以 ． 所以 ， 即： ．

，

所以 故

．

．

整理得 ． 解得 （舍）， ． 答：当 时， ．

12. （1） 如图 1，

过 点作 于点 ，则四边形 是矩形， ， ， ，

， ．

（2） 当四边形 为平行四边形时，点 在 上，点 在 上，如图 2，

由题意得： ， ，

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，解得 ．

（3） ①当点 在线段 上时，即 如图 3，

时，

， 解得 ．

②当点 在线段 时，即 时，

如图 4，

， ，

， 化简得： ，

， 方程无实数解； ③当点 在线段 上时，

若点 在 点 的右侧，即

时，

则有 ， ， 解得

（舍去），

若点 和点 重合，则面积为 ，不合题意． 若点 在 的左侧，即 时， 则有 ，

， 解得

，

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综上，满足条件的 的值存在，分别为 或 ．

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