2015年东北三省三校高考数学二模试卷（文科）

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2015年东北三省三校高考数学二模试卷（文科）

一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合M={1，2}，N={x|log2（2x﹣1）≤2}，则M∩N（ ） A．{1}

B．{2}

C．{0，1}

D．{1，2}

2．（5分）i为虚数单位，复数z=i2012+i2015在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3．（5分）向量=（2，﹣9），向量=（﹣3，3），则与﹣同向的单位向量为（ ） A．（C．（

，﹣，﹣

） ）

B．（﹣D．（﹣

，，

） ）

4．（5分）设l，m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列说法正确的是（ ） A．若l⊥m，m?，则l⊥a C．若l∥a，m?a，则l∥m

B．若l⊥a，l∥m，则m⊥a D．若l∥a，m∥a，则l∥m

5．（5分）若p是￢q的充分不必要条件，则￢p是q的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 6．（5分）设a=（）A．a＞b＞c

，b=log

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2，c=log

3，则（ ）

D．c＞a＞b

B．a＞c＞b C．b＞c＞a

7．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的A的值是（ ）

1页

.

A．15 B．21

﹣

C．28 D．36

8．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0的左、右焦点分别为F1、F2，以

a，则双曲线的离心率为（ ）

F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为A．3

B．2

C．

cos2+sinx﹣

D．

9．（5分）将函数f（x）=

的图象上所有点的纵坐标不变，

得到函数g（x），则函数g（x）

横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移的解析式为（ ） A．g（x）=cos C．g（x）=sin（2x﹣

）

B．g（x）=﹣sin2x D．g（x）=sin（+

）

10．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此

三棱锥外接球的表面积为（ ）

2页

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A．

B．9π C．4π D．π

11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．若sinB=A．

，cosB=

B．

，则a+c=（ ）

C．3

D．2

12．（5分）已知f（x）=x4+e|x|，则满足不等式2f（lnt）﹣f（ln）≤f（2）的实数t的集合为（ ） A．[e﹣1，e]

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13．（5分）若cos2（α+

）=，则sin2α= ． B．[e﹣2，e2]

C．[0，e2]

D．[e﹣2，e]

14．（5分）有一个底面圆半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 ．

15．（5分）已知实数x，y满足不等式组

，若目标函数z=2x﹣y仅在

点（1，k）处取得最小值，则实数k的取值范围是 ． 16．（5分）已知点A（﹣

），在抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线上，点M，

=3，则点A

N在抛物线C上，且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若到动直线MN的最大距离为 ．

3页

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三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=Sn+2，n∈N* （1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=n?an，求数列{an}的前n项和Tn．

18．（12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，距据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余每天使用微信在一小时以上，若将员工年龄分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，使用微信的人中75%是青年人，若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中是青年人．

（Ⅰ）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表． 2×2列联表．

青年人 中年人 合计 经常使用微信 不经常使用微信 合计 （Ⅱ）由列联表中所得数据，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？

（Ⅲ）采用分层抽样的方法从“经常使用微信”中抽取6人，从这6人中任选2人，求事件A“选出的2人均是青年人”的概率． 附： P（K2≥k） k K2=

0.010 6.635 ．

0.001 10.828 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，AB=4，AA1=5，点M是BB1中点

（Ⅰ）求证：平面A1MC⊥平面AA1C1C

4页

.

（Ⅱ）求点A到平面A1MC的距离．

20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1（﹣1，0），

，过F2的直线与椭圆C交

F2（1，0），椭圆C的上顶点与右顶点的距离为于A，B两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程

（Ⅱ）点M在直线x=2上，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=2，求证：点M为定点．

21．（12分）函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣x﹣m，

（Ⅰ）若函数F（x）=f（x）﹣g（x），求函数F（x）的极值．

（Ⅱ）若f（x）+g（x）＜x2﹣（x﹣2）ex在x∈（0，3）恒成立，求实数m的取值范围．

四、选做题（请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答．并用28铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分）．【选修4一l：几何证明选讲】

22．（10分）如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD是∠ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D． （Ⅰ）求证：CE?AB=AE?AC

（Ⅱ）若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

5页

.

23．已知点P的直角坐标是（x，y）．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是（ρ，θ），点Q的极坐标是（ρ，θ+θ0），其中θ0是常数．设点Q的平面直角坐标是（m，n）． （I）用x，y，θ0表示m，n； （Ⅱ）若m，n满足mn=1，且θ0=

【选修4-5：不等式选讲】

24．已知a，b，c＞0，a+b+c=1．求证： （Ⅰ）（Ⅱ）

+++

≤+

，求点P的直角坐标（x，y）满足的方程．

≥．

6页

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2015年东北三省三校高考数学二模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合M={1，2}，N={x|log2（2x﹣1）≤2}，则M∩N（ ） A．{1}

B．{2}

C．{0，1}

D．{1，2}

【解答】解：集合M={1，2}，N={x|log2（2x﹣1）≤2}={x|0＜2x﹣1≤4}={x|≤x≤}， ∴M∩N={1，2}， 故选：D．

2．（5分）i为虚数单位，复数z=i2012+i2015在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【解答】解：∵z=i2012+i2015=i2012+i2012+3=1﹣i，

复数z=i2012+i2015在复平面内对应的点的坐标为：（1，﹣1）， 位于第四象限． 故选：D．

3．（5分）向量=（2，﹣9），向量=（﹣3，3），则与﹣同向的单位向量为（ ） A．（C．（

，﹣，﹣

） ）

B．（﹣D．（﹣

，，

） ）

【解答】解：∵向量=（2，﹣9），向量=（﹣3，3）， ∴﹣=（5，﹣12），

设与﹣平行的单位向量=（x，y）， 则﹣=λ，

=1

7页

.

∴x=5λ，y=﹣9λ，x2+y2=1， 解得λ=13，x=故选：A．

4．（5分）设l，m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列说法正确的是（ ） A．若l⊥m，m?，则l⊥a C．若l∥a，m?a，则l∥m

B．若l⊥a，l∥m，则m⊥a D．若l∥a，m∥a，则l∥m

，y=

，

【解答】解：对于A，若l⊥m，m?a，则l可能在a内；故A错误；

对于B，若l⊥a，l∥m，根据线面垂直的性质定理以及平行线的性质可得m⊥a；故B正确；

对于C，若l∥a，m?a，则l与m平行或者异面；故C错误； 对于D，若l∥a，m∥a，则l与m平行、相交或者异面；故D错误； 故选：B．

5．（5分）若p是￢q的充分不必要条件，则￢p是q的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：由p是?q的充分不必要条件知“若p则?q”为真，“若?q则p”为假， 根据互为逆否命题的等价性知，“若q则?p”为真，“若?p则q”为假， 故选：B．

6．（5分）设a=（）A．a＞b＞c

，b=log

2，c=log

3，则（ ）

D．c＞a＞b

3=﹣log23＜

B．a＞c＞b

＞0＞b=log

C．b＞c＞a

【解答】解：∵a=（）﹣1， ∴a＞b＞c．

2=﹣log32＞﹣1，c=log

7．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的A的值是（ ）

8页

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A．15 B．21 C．28 D．36

【解答】解：模拟执行程序框图，可得 A=1，i=1 A=3，i=2

不满足条件i＞5，A=6，i=3 不满足条件i＞5，A=10，i=4 不满足条件i＞5，A=15，i=5 不满足条件i＞5，A=21，i=6

满足条件i＞5，退出循环，输出A的值为21， 故选：B．

8．（5分）已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0的左、右焦点分别为F1、F2，以

F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，则双曲线的离心率为（ A．3

B．2

C．

D．

【解答】解：由题意，圆心到直线的距离为d=

=

，

∵以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，

∴2

=

a，

∴2（c4﹣a2b2）=3a2c2， ∴2c4﹣2a2（c2﹣a2）=3a2c2，

9页

）

.

∴2e4﹣5e2+2=0， ∵e＞1， ∴e=

．

故选：D．

9．（5分）将函数f（x）=

cos2+sinx﹣

的图象上所有点的纵坐标不变，

得到函数g（x），则函数g（x）

横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移的解析式为（ ） A．g（x）=cos C．g（x）=sin（2x﹣【解答】解：∵（fx）=

）

=

B．g（x）=﹣sin2x D．g（x）=sin（+×

+sinx﹣

） =sin（x+

），

cos2+sinx﹣

∴其图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的函数解析式为：y=sin（2x+

），

得到函数g（x），则函数g（x）的解析式为：g（x）=sin[2

）．

再将所得图象向右平移（x﹣故选：C．

）+

]=sin（2x﹣

10．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此

三棱锥外接球的表面积为（ ）

10页

.

A．

B．9π C．4π D．π

【解答】解：由题意，三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是等腰直角三角形，顶点在底面中的射影是底面斜边的中点， 设三棱锥外接球的半径为r，则r2=（1﹣r）2+（∴r=，

∴三棱锥外接球的表面积为4故选：A．

11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．若sinB=A．

）2，

=，

，cosB=

B．

，则a+c=（ ）

C．3

，

D．2

【解答】解：∵sinB=∴sin2B+cos2B=1， 即（则（

）2+（

，cosB=

）2=1，

）2=（=

）2=1﹣（）2，

∴ac=13，cosB=

∵a，b，c成等比数列， ∴ac=b2=13，

∵b2=a2+c2﹣2accosB， ∴13=（a+c）2﹣2ac﹣2ac×∴（a+c）2=63， 即a+c=故选：C．

12．（5分）已知f（x）=x4+e|x|，则满足不等式2f（lnt）﹣f（ln）≤f（2）的实数t的集合为（ ） A．[e﹣1，e]

B．[e﹣2，e2]

C．[0，e2]

D．[e﹣2，e]

=3

，

=（a+c）2﹣26﹣2×13×

=（a+c）2﹣50，

【解答】解：∵f（x）=x4+e|x|，

11页

.

∴f（0）=1，f（﹣x）=f（x）， ∵2f（lnt）﹣f（ln）≤f（2）

∴2f（lnt）﹣f（﹣lnt）=2f（lnt）﹣f（lnt）≤f（2）， 即f（lnt）≤f（2）， ∵f（x）=x4+e|x|，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴|lnt|≤2， 解得：e﹣2≤t≤e2， 故选：B．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13．（5分）若cos2（α+

）=，则sin2α=

．

【解答】解：∵cos2（α+则sin2α=， 故答案为：．

）==﹣sin2α=，

14．（5分）有一个底面圆半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 ．

【解答】解：∵到点O的距离等于1的点构成一个球面，如图， 则点P到点O的距离大于1的概率为： P==

==，

12页

.

故答案为：．

15．（5分）已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=2x﹣y仅在

点（1，k）处取得最小值，则实数k的取值范围是 （2，+∞） ． 【解答】解：由约束条件

作出可行域如图，

化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，要使z取得最小值，需直线y=2x﹣z在y轴上的截距最大，

∵目标函数z=2x﹣y仅在点C（1，k）处取得最小值，则直线y=kx的斜率大于直线y=2x﹣z的斜率，即k＞2． ∴实数k的取值范围是（2，+∞）． 故答案为：（2，+∞）． 16．（5分）已知点A（﹣

），在抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线上，点M，

=3，则点A

N在抛物线C上，且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若到动直线MN的最大距离为

．

13页

.

【解答】解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣， 由题意得﹣=﹣，解得p=1． 即有抛物线方程为y2=2x，

设直线MN的方程为：x=ty+m，点M（x1，y1），N（x2，y2）， 直线MN与x轴的交点为D（m，0）， x=ty+m代入y2=2x，可得y2﹣2ty﹣2m=0， 根据韦达定理有y1?y2=﹣2m， ∵

?

=3，

∴x1?x2+y1?y2=3，从而（y1?y2）2+y1?y2﹣3=0， ∵点M，N位于x轴的两侧， ∴y1?y2=﹣6，故m=3． 当y=0时，x=3恒成立，

故直线MN所过的定点坐标是D（3，0），

当直线MN绕着定点D（3，0）旋转时，AD⊥MN， 即有点A到动直线MN的距离最大，且为故答案为：

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=Sn+2，n∈N* （1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=n?an，求数列{an}的前n项和Tn．

【解答】解：（1）∵an+1=Sn+2，n∈N*，∴Sn=an+1﹣2， 即Sn+1=2an+1﹣2，∴Sn+2=2an+2﹣2，

两式相减，得an+2=2an+2﹣2an+1，即an+2=2an+1， 又∵a1=2，∴a2=S1+2=2+2=4，

即数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以an=2n；

．

=

．

14页

.

（2）设bn=n?an，则bn=n×2n，

∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n， 2Tn=1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，

两式相减，得：Tn=﹣1×2﹣1×22﹣1×23﹣…﹣1×2n﹣1﹣1×2n+n×2n+1 =n×2n+1﹣（2+22+23+…+2n﹣1+2n） =n×2n+1﹣

=2+（n﹣1）×2n+1．

18．（12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，距据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余每天使用微信在一小时以上，若将员工年龄分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，使用微信的人中75%是青年人，若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中是青年人．

（Ⅰ）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表． 2×2列联表．

青年人 中年人 合计 经常使用微信 不经常使用微信 合计 （Ⅱ）由列联表中所得数据，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？

（Ⅲ）采用分层抽样的方法从“经常使用微信”中抽取6人，从这6人中任选2人，求事件A“选出的2人均是青年人”的概率． 附： P（K2≥k） k 0.010 6.635 0.001 10.828 15页

.

K2=

．

【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，该公司员工中使用微信的共：200×0.9=180人 经常使用微信的有180﹣60=120人，其中青年人：120×=80人 所以可列下面2×2列联表：

青年人 80 55 135 中年人 40 5 45 合计 120 60 180 经常使用微信 不经常使用微信 合计 …（4分）

（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：K2=10.828 …（7分）

所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．…（8分） （Ⅲ）从“经常使用微信”的人中抽取6人中，青年人有2人

设4名青年人编号分别1，2，3，4，2名中年人编号分别为5，6， 则“从这6人中任选2人”的基本事件为：

≈13.333＞

=4人，中年人有

（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，4）（3，5）（3，6）（4，5）（4，6）（5，6）共15个 …（10分）

其中事件A“选出的2人均是青年人”的基本事件为：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3

）

（

2

，

4

）

（

3

，

4

）

共

6

个 …（11分） 故P（A）=． …（12分） 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，AB=4，AA1=5，点M是BB1中点

（Ⅰ）求证：平面A1MC⊥平面AA1C1C （Ⅱ）求点A到平面A1MC的距离．

16页

.

【解答】（Ⅰ）证明：记AC1与A1C的交点为E．连结ME．

如图

∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，点M是BB1中点， ∴MA1=MA=MC1=MC=

．

因为点E是AC1，A1C的中点， 所以ME⊥AC1且ME⊥A1C，…（4分） 从而ME⊥平面AA1C1C．

因为ME?平面A1MC，所以平面A1MC⊥平面AA1C1C．…（6分） （Ⅱ）解：过点A作AH⊥A1C于点H， 如图，

由（Ⅰ）知平面A1MC⊥平面AA1C1C，平面A1MC∩平面AA1C1C=A1C， 而AH⊥平面AA1C1C

∴AH即为点A到平面A1MC的距离．…（9分） 在△A1AC中，∠A1AC=90°，

17页

.

A1A=5，AC=4∴∴AH=

即点A到平面A1MC的距离为20．（12分）椭圆C：

+

． …（12分）

=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1（﹣1，0），

，过F2的直线与椭圆C交

F2（1，0），椭圆C的上顶点与右顶点的距离为于A，B两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程

（Ⅱ）点M在直线x=2上，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=2，求证：点M为定点．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知：则椭圆方程为

+y2=1；

，可得a2=2，b2=1，

（Ⅱ）证明：若直线AB斜率不存在，AB：x=1． 不妨设A（1，

），B（1，﹣

），M（2，m），

则k1==m﹣，k2==m+，

由k1+k2=2，可得2m=2，即m=1， 若直线AB斜率存在，设为k，

设直线AB方程为：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），M（2，m），

可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，

x1+x2=，x1x2=，

k1=，k2=，

k1+k2=

18页

.

==2，

所以m=1，

所以定点M（2，1）．

21．（12分）函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣x﹣m，

（Ⅰ）若函数F（x）=f（x）﹣g（x），求函数F（x）的极值．

（Ⅱ）若f（x）+g（x）＜x2﹣（x﹣2）ex在x∈（0，3）恒成立，求实数m的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）F（x）=lnx﹣x2+x+m，定义域（0，+∞）， F′（x）=﹣2x+1=﹣F′（x）=0，可得x=1，

x F′（x） F（x） （0，1） + 递增 1 0 极大值 （1，+∞） ﹣ 递减 ，

则F（x）的极大值为F（1）=m，没有极小值；

（Ⅱ）f（x）+g（x）＜x2﹣（x﹣2）ex在（0，3）恒成立； 整理为：m＞（x﹣2）ex+lnx﹣x在x∈（0，3）恒成立； 设h（x）=（x﹣2）ex+lnx﹣x，则h′（x）=（x﹣1）（ex﹣）， x＞1时，x﹣1＞0，且ex＞e，＜1，即h′（x）＞0； 0＜x＜1时，x﹣1＜0， 设u=ex﹣，u′=ex+

＞0，u在（0，1）递增，

x→0时，→+∞，即u＜0，x=1时，u=e﹣1＞0， 即?x0∈（0，1），使得u0=时，u＞0，

x∈（0，x0）时，h′（x）＞0；x∈（x0，1）时，h′（x）＜0． 函数h（x）在（0，x0）递增，（x0，1）递减，（1，3）递增， h（x0）=（x0﹣2）

+lnx0﹣x0=（x0﹣2）?

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﹣=0，∴x∈（0，x0）时，u＜0；x∈（x0，1）

﹣2x0=1﹣﹣2x0，

.

由x0∈（0，1），﹣＜﹣2，h（x0）=1﹣﹣2x0＜﹣1﹣2x0＜﹣1，

h（3）=e3+ln3﹣3＞0，

即x∈（0，3）时，h（x）＜h（3），即m≥h（3）， 则实数m的取值范围是（e3+ln3﹣3，+∞）．

四、选做题（请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答．并用28铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分）．【选修4一l：几何证明选讲】

22．（10分）如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD是∠ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D． （Ⅰ）求证：CE?AB=AE?AC

（Ⅱ）若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．

【解答】（Ⅰ）证明：由C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A， 得△ACE∽△BCA， ∴

，

∴CE?AB=AE?AC； …（5分） （Ⅱ）证明：∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACF=∠BCD，

∵AC为圆的切线，∴∠CAE=∠CBD，

∴∠ACF+∠CAE=∠BCD+∠CBD，即∠AFD=∠ADF，∴AF=AD ∴△ACF∽△BCD， ∴

=，

∴CF=DF．…（10分）

20页

.

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．已知点P的直角坐标是（x，y）．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是（ρ，θ），点Q的极坐标是（ρ，θ+θ0），其中θ0是常数．设点Q的平面直角坐标是（m，n）． （I）用x，y，θ0表示m，n； （Ⅱ）若m，n满足mn=1，且θ0=【解答】解：（Ⅰ）由题意知：

，求点P的直角坐标（x，y）满足的方程．

，和

，

即：，

所以：，

（Ⅱ）由题意知：，

所以：整理得：

【选修4-5：不等式选讲】

．

，．

24．已知a，b，c＞0，a+b+c=1．求证： （Ⅰ）（Ⅱ）

+++

≤+

≥．

+

+

）2≤（12+12+12）[（

）

【解答】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（

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.

2

+（+

）2+（+

≤

）2]=3， ．

+

+

）

∴

（Ⅱ）由柯西不等式得：[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]（≥（∴

+?+

+

?≥．

+

?

）2=9

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