中考数学专题动点最值问题解法探析

动点最值问题解法探析

一、问题原型：

（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题 二、基本解法：

对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。

三、一般结论：

(

在线段

上时取等号)（如图1-2）

、

线段和最小，常见有三种类型：

（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小

通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。

1.两个定点+一个动点。

如图1-3，作一定点

关于动点

所在直线的对称点位置，最小距离和

，线段。

的边长为，是

的中点，（

是另一定点）

与的交点即为距离和最小时动点

例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形是对角线

上一动点，则

的最小值是 。

解析：

与

关于直线

对称，连结

，则

。

连结,在中，，

故

，则

的最小值为

的对

例2 （2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线称轴为

，与轴交于

、

两点，与轴

交于点

，其中

，

。

（1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知在对称轴上存在一点解析：（1）对称轴为

，，使得

的周长最小，请求出点，由对称性可知：

的坐标。 、

、

。根据

三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：

（2）

与

关于对称轴

对称，连结

，

与对称轴交点即为所求

点。

设直线解析式为：。把、代入得，。

当时，

2.两个定点+两个动点。

，则

两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。

例3 如图4，河岸两侧有

、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，

桥修在何处才能两村村民来往路程最短？

解析：设桥端两动点为直于河岸。

将

向上平移河宽长到为平行四边形，

来往

、

两村最短路程为：

，线段、

，那么

点随

点而动，

等于河宽，且

垂

与河北岸线的交点即为桥端点位置。四边形值最小。那么

，此时

。 的顶点，

为边

例4 (2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形点

、

分别在轴、

为边，

轴的正半轴上，上的一个动点，当为边

上的两个动点，且

，

在坐标原点，顶的中点。 的坐标； 的周长最小时，

（1）若（2）若求点

，

的周长最小时，求点

，当四边形

的坐标。

解析：作点（1）连接

关于轴的对称点交轴于点

，连接

，则，此时

，

的周长最小。由

。

可知 ，那么，则。

（2）将向左平移2个单位（

、

到动点

）到点，定点、分别到动点、的距

离和等于为定点的距离和，即。从而把“两个定

点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。

在

上截取。此时

，连接

交轴于

，四边形

为平行四边形，的周长最小。

值最小，则四边形

由、可求直线解析式为，当时，，即，

则。（也可以用（1）中相似的方法求坐标）

（二）“|动定|+|动动|”型：

两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。 利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。

例5 （2009年陕西省中考）如图6，在锐角的平分线交

小值为 4 。

于点

，

、

分别是

和中，

，

，的最

上的动点，则

解析：角平分线所在直线是角的对称轴，

，

作∵

于，

，交

于

，

上动点，当

关于

的对称点时，

在

上，

最小。

∴ 作

交

于

，

是等腰梯形，、在轴上，

在过

轴上，、

两点。

，

例6 如图7，四边形

，

，

，抛物线

（1）求、；

（2）设最大值；

是轴上方抛物线上的一动点，它到轴与轴的距离之和为，求的

（3）当（2）中交于点

，

为线段

点运动到使取最大值时，此时记点

到

点与到

为，设线段与轴

上一动点，求轴的距离之和的最小值，并求此时

点的坐标。 解析：（1）由、（2）设

；根据

，且

，、

，

，

可得：

、

，用零点分

、

的坐标可求出抛物线解析式为

，则

段法可求得，

此时（3）在直线最小。

，根据可知，，交则与

于，重合，。

有最小值5。函数，那么

和

轴与直线上，

关于

，则

。当。

时，。

对称，作

，当

轴于，动点关于

时，

的对称点

的值

垂直于直线

可求直线

。作

的解析式

，过

，则有点作

。由

轴的平行线

于

，

。作

，当，此时

是

于，则

的交点时，

，即

3.“|定动|+|动动|+|动定|”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。 例7 （2009年漳州中考）如图8， 、

分别是

和

上的动点，求

，

是

内一点，

，

周长的最小值。

解析：分别作当

、∵ ∴

在线段

关于上时，

，。 则、

的对称点

、，连接

，则

，

周长最小，

周长的最小值为

垂直，如图9）位于两高速的距离分别为、

组成的四

例8 （2009年恩施中考）恩施到张家界高速公路建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（公路同侧，

和

。请你在

，

到直线旁和

与沪渝高速公路

）和世界级自然保护区星斗山（的距离为

，、

到直线，使

、

和、

旁各修建一服务区

边形的周长最小，并求出这个最小值。

解析：作点关于轴的对称点，点。当

关于

、

轴的对称点

在线段

，连接，

上时，

最小。

过

、，交

分别作轴于

轴、，交

轴的平行线交于轴于，而

∴ 四边形

的周长最小值为：

。

。在

中，

，

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