2.3幂函数教学设计

2.3幂函数

李航群

一 教材分析

幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。 二 教学目标

1．知识目标:（1）通过实例，了解幂函数的概念；

（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质； （3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

2．能力目标:在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。

3． 情感目标:通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。 四 教学重点 常见的幂函数的图象和性质。

五 教学难点 画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。 六 教学课时 ：一课时

七 教学方法：探究研讨法，讲练结合法 八 教学过程 （一）创设情境

问题一：下列问题中的函数各有什么特征？

（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．

（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a．这里S是a的函数． （3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a．这里V是a的函数． （4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝的函数．

（5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t（km／s）．这里v是t的函数．

请学生讨论、总结并回答，即可得出：p＝w，s＝a，a＝次幂的形式．

问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？

提示学生：可以用x表示自变量，用y表示函数值，那么，上述函数式变成：y＝x的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今天这节课，我们就来研究：幂函数。

（二）、建立模型

定义：一般地，函数y＝x叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数。 深化认知 下列函数是幂函数的是：

A．y=2x+1 B．y=3x C．y=x D．y=1

请学生回答，并点评。

引导：有了幂函数的概念后，我们接下来做什么？——研究幂函数的性质。

2

-3

a

a

2

-1

32

．这里a是S

，v＝t都是自变量的若干

-1

1

通过什么方式来研究？――画函数的图象。

为使作图高效，我们可先做点什么――分析函数的定义域、奇偶性。

（三）问题探究

1. 对于幂函数y＝x，讨论当a＝1，2，3，1/2，－1时的函数性质． 填表

a

以上问题给学生留出充分时间去探究，教师引导学生从函数解析式出发来研究函数性质．

2. 在同一坐标系中，画出y＝x，y＝x，y＝x，y＝具有的共同性质．

让学生画出图像并回答，老师点评。

幂函数的性质．

（1）函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝

3

-1

2

3

2

3

，y＝x的图像，并归纳出它们

-1

，y＝x的图像都过点（1，1）；

2

2

3

-1

（2）函数y＝x，，y＝x，y＝x是奇函数，函数y＝x是偶函数; （3）在（0，＋∞）上, 函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝函数；

（4）在第一象限内，函数y＝x图像向上与y轴无限接近；向右与x轴无限接近。 （四）例题讲解

例1 证明：幂函数

-1

是增函数，函数y＝x是减

-1

f(x)?x2在(0, +∞)上是增函数；在(-∞,0)上是减函数

2

证明:任取x1,x2?(0,??),且x1?x2,则有：2f(x1)?f(x2)?x12?x2?(x1?x2)(x1?x2)因为0?x1?x2,所以x1?x2?0,x1?x2?0,所以f(x1)?f(x2)?0即f(x1）?f(x2)?幂函数f(x)?x2在x?(0,??)上是增函数.同理任取x3,x4?(??,0),且x3?x4,则22f(x3)?f(x4)?x3?x4?(x3?x4)(x3?x4)因为x3?x4?0,所以x3?x4?0,x3?x4?0,所以f(x3)?f(x4)?0即f(x3）?f(x4)?幂函数f(x)?x2在x?(??,0)上是减函数.

例2 写出下列函数的定义域，并指出奇偶性：2 1①?? y=x ②y=x2 ③y=x请同学回答并解析过程。

注意：由于学生对幂函数还不是很熟悉，所以在讲评中要刻意体现出幂函数图像的画法，即再一次让学生体会根据解析式来画图像例题这一基本思路．

例3 比较下列各组中两个数的大小：

（1）1.5，1.7；（2）0.7，0.6；（3）(－1.2)35353535351.5

1.5

3?2 ④y=x3

2－3，(－1.25)－23．

解析：（1）考查幂函数y＝x的单调性，在第一象限内函数单调递增，

7， ∵1.5＜1.7，∴1.5＜1.3 （2）考查幂函数y＝x2的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵(－1.2) ∴(－1.2)2－32－3－23＝1.2，(－1.25)23－23＝1.25－23，又1.2－23＞1.25－23，

＞1.25－．

点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；

（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． （六）归纳小结

3

今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？ （七）布置作业：

课本 第87页 2、3题

思考：幂函数y=(m-3m-3)x在区间?0,???上是减函数，求m的值。

2m

九 教学后记

（1）本节课开始时要注意用相关熟悉例子引入新课。

（2）画函数图象时，如果学生已能够运用计算器或相关计算机软件作图，可以让学生自己操作，以提高学生探索问题的兴趣和能力，并提高教学效率。

（3）由于课程标准对幂函数的研究范围有相对限制，故要求较低。

（4）由于幂函数的性质随幂指数的改变会出现较大的变化，因此要学生在一节课中象指数函数和对数函数那样完全掌握这类函数的性质是比较困难的，因此本人采用了从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排教学：先重点研究了几个常见的幂函数的图象和性质，然后通过几何画板软件动态演示幂函数的图象（在第一象限）随幂指数连续变化情况，让学生归纳幂函数性质随幂指数改变的变化情况（其他象限内的情况，可结合奇偶性得到），最后再通过改变画板中的幂函数的幂指数（用参数的方法），让学生预测将要出现什么样的图象，让学生检测自己探索成果的有效性，体验成功，享受学习的乐趣。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cima.html