《信号与系统》课程讲义5-1

第五章傅立叶变换应用于通信系统

用傅立叶变换求响应、无失真传输； 理想低通滤波器、系统的物理可实现性； 调制解调、带通滤波器、抽样信号恢复 模拟信号； 脉冲编码调制、频分复用、时分复用、 ISDN

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输一、傅立叶变换求响应(零状态响应) 1 .原理：(针对因果激励下的因果系统 ) ① 卷积定理：

R( s) H ( s) E ( s ) r (t ) h(t ) e(t ) R( j ) H ( j ) E ( j )

H ( j ) — 傅立叶变换形式的系统函数② 稳定系统：R ( j ) H ( j ) E ( j ) R ( j ) H ( s )s j

E ( j )

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输③ 临界稳定系统：

R( j ) H ( j ) E ( j ), R( s) H ( s) E ( s)这里 R( j ) F [r (t )], H ( j ) F [h(t )], E( j ) F [e(t )] 不能 R( j ) R(s)s j

, H ( j ) H (s)

s j

, E( j ) E(s)

s j

④ 不稳定系统： 只可用 R( s) H ( s) E ( s)

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输H ( j ) 对 E ( j )的各频率分量作加权， 2.物理含义： 某些频率分量加强，另一些频率分量则削弱或不变例1.设 E ( j )含 sin 2t , sin 4t , sin 6t , sin16t 分量H j 2

则 H j 作用后： 2, 4 的频率分量增强 6 的频率分量不变 16 的频率分量被削弱

2 1 0.602 4

6

16

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输3.利用系统函数H ( j ) 求对非周期激励信号的响应

注意：此处的系统函数 H ( j ) 的含义为：

H ( j ) F [h(t )] ,而不是 H ( j ) H (s)两者只有在系统稳定时才相等 ① 稳定系统对非周期激励信号的响应

s j

R ( s ) H ( s ) E ( s ) R ( j ) H ( s )

s j

E ( j )

R( j ) H ( j ) E ( j )

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输2 例2.已知系统频响特性 H ( j ) ,求激 2 j 5 6 t t 励分别为 e(t ) e u (t ), e(t ) e u (t ), e (t ) u (t )时的零状态响应 解： (方法一)根据 R( j ) H ( j ) E( j ) 求零状态响应

1 2 1 R ( j ) i) E ( j ) 1 j (2 j )(3 j ) (1 j )

rzs (t ) (e t 2e 2t e 3t )u(t )ii) e(t ) e t u(t ) 信号的傅立叶变换不存在

注意：无法用傅立叶变换求解，并不是说零状态响应不存在

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输1 iii) E ( j ) ( ) j

2 1 R( j ) [ ( )] (2 j )(3 j ) j

1 1 1 1 2 1 R( j ) ( ) 3 3 j 2 j 3 3 j

1 2t 2 3t rzs (t ) ( e e )u (t ) 3 3

§

5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输解： (方法二)根据 R( s) H ( s) E ( s) 求零状态响应

系统稳定： H ( j )

2 2 H ( s ) ( s 2)( s 3) 2 j 5 6

1 2 1 i) E ( s) R( s ) s 1 ( s 2)(s 3) s 1 rzs (t ) (e t 2e 2t e 3t )u(t )ii) E ( s )

1 2 1 R( s) s 1 ( s 2)( s 3) s 1 1 t 2 2t 1 3t rzs (t ) ( e e e )u (t ) 6 3 2

可以求 出零状 态响应

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输1 2 iii) E ( s ) R ( s ) s s ( s 2)( s 3) 1 2t 2 3t rzs (t ) ( e e )u (t ) 3 3

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输例3.利用傅立叶分析方法求RC低通网络在矩形脉冲作用 下的零状态响应v1 (t )

v1

+

R

C

-

v20

+

E

t

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输1 1 1 RC RC H ( s) H ( j ) , ( ) 1 1 j RC s j RC RCH ( j )

解：

0

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输V1 ( j ) E sa(

2

)e

j

2

V2 ( j ) H ( j )V1 ( j )

j

E sa(

2

)e

j

2

E V2 ( j ) H ( j )V1 ( j ) (1 e j ) j j E E j (1 e ) (1 e j ) j j v2 (t ) E[u (t ) u (t )] E[e t u (t ) e (t )u (t )] E (1 e t )u (t ) E[1 e (t ) ]u (t )

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输v1 (t )EE

V1 ( j )

0v2 (t )E

t

0V2 ( j )

0

t

0

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输结论 ●输入信号的高频分量比起低频分量受到较严重的衰减 ●输出信号波形与输入信号波形相比产生失真，表现在上升特性 和下降特性上 输入特性 t = 0 时刻急速上升，t 时刻急速下降，意味着很高 的频率分量，而低通滤波器不允许高频分量通过，输出电压不能 迅速变化，不再表现为矩形脉冲，而以指数规律上升和下降 ●减小滤波器 RC时间常数，低通带宽增加，允许更多高频分量 通过，响应波形的上升、下降时间缩短 ●从频谱改变角度揭示了激励与响应波形差异。物理概念清楚， 求解过程较拉氏变换繁琐 ●引出 H ( j ) 重要意义，研究信号传输特性，建立滤波器概念， 理解频响特性物理意义，理解时间常数

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输② 临界稳定系统对非周期激励信号的响应

R( j ) H ( j ) E ( j ) ,但 H ( j ) H (s)例4.已知电路的输入 i(t ) e u(t ),求 vc (t ) 2t

s j

i(t ) e u(t )

2t

C 1

vc (t )

i(t ) e 2t u(t )

C 1

vc (t )

1 1

1 1 解：H ( s) H ( j ) [ ( )] ( ) sC C j j 第一种方法： 1 1 VC ( j ) H ( j ) I ( j ) [ ( )] j j 2 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 j 2 j 2

1 vC (t ) (1 e 2t )u (t ) 2第二种方法：

1 1 1 1 1 VC ( s ) H ( s) I ( s) ( ) s s 2 2 s s 2

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输4.利用 H ( j ) 求对周期性激励信号的响应①稳定系统对周期性激励信号的响应 a)正弦信号

e(t ) Em sin( 0t )

t 时刻加入激励e(t ) Em sin( 0t ) u(t )

H ( j )等价于

r (t ) ?

t 0 时刻加入激励

H ( s)

rss (t ) ?

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输解：R( j ) H ( j ) Em j ( 0 ) ( 0 )

Em j H ( j 0 ) ( 0 ) H ( j 0 ) ( 0 )

Em j H ( j 0 ) e j 0 ( 0 ) H ( j 0 ) e j 0 ( 0 )

r (t ) Em j H ( j 0 ) [e j 0

j 0t e j 0t e e j 0 ] 2 2

Em H ( j 0 ) sin( 0t 0 )

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输1 H ( j ) 例5: 对 2cos 2t 的响应 j 21 解： H ( j ) H ( j ) j 2 1 2 2 , 0

4

2

2 r (t ) 2 cos(2t ) cos(2t ) 4 2 4 2 2 1直接写出响应

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输b)一般周期信号 一般周期信号 e(t ) t 时刻加入激励

H ( j )

r (t ) ?

等价于一般周期信号 e(t ) u (t )

t 0 时刻加入激励

H ( s)

rss (t ) ?

§5.1用傅立叶变换求响应、无失真传输解： R ( j ) H ( j ) 2 n

E ( n )n 1 1 1

2 r (t )

n

E H ( jn ) ( n )nn

n

En H ( jn 1 )e jn 1t

Rne jn 1t n 1

1 Rn En H ( jn 1 ), En E0 ( ) T1

特点：求逆不容易，但很容易得到响应的傅立叶级数系数

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cik1.html