三个坐标变换的论文

【摘要】:通过例子解释坐标之间计算的问题，以及总结如何避免此类问题的发生。

【关键字】：直角坐标，柱坐标，球坐标，向量计算

【正文】:

我们都知道在柱坐标和球坐标中的向量的加减，点积和叉积和直角坐标中不一样，那么又是什么让他们有如此之大的差距。本文意在通过例子说明其中的深刻含义，以期在实际运用中能够避免坐标不一致而带来的计算错误。 例子：

我们假设有直角坐标中向量为a=（1,1,1）,b=(2,4,1).如我们熟知c=a+b=(3,5,2).这是直角坐标的情形。

我们假设a=（1,1,1）,b=(2,4,1).此时为柱坐标。a+b为多少呢？我们有两种思路，一种就是把他们当做直角坐标的向量加减法则进行的结果再转换成直角坐标。另一种是两个向量同时转化为直角坐标然后再把它们按照直角坐标的法则相加减。下面我们来看看是否可行。

思路一：c=（3,5,2）(柱坐标)，则直角坐标为c=（0.85，-2.88,2）.

思路二：a=（0.54，0.84,2） , b=( -1.31,-1.51,1). a+b=( -0.77 , -0.67 ,2.00)=c 显然两个结果不相同。但是那个结果是正确的呢？思路二中我们将它化为直角坐标来算应该是正确的。也就是说第一个是错的……

同理对于球坐标也是有相同的结论。我们不能够按照直角坐标的方法来计算他们的和差等。

原因：

直角坐标的定义是用三个相互垂直的方向一定，长度一定的向量作为基。而它的坐标表示是用一个向量在空间中能够投影到这三个不变的向量的大小来确定的。当两个向量相加时，我们的意思是他们在同一个方向上的投影是个标量可以相加。所以我们能够得到正确的结果。

然而柱坐标的基是一个径向往外的单位向量，和一个环向逆时针的单位向量，一个与z轴相同的单位向量。对于空间不同的向量，他们分解的基往往不是相同的基。自然不能将两个基上面的不同方向上的向量给加到一块。这就造成了错误的产生。这一点其实是由于它的定义所决定的他们的加减法不能够像直角坐标那样加减。

同理，球坐标也是一样的。球坐标的表示方法，也牵涉到基的问题。球坐标的基，是以一个径向向外通过原点的单位向量，一个环向的单位向量，和一个使俯仰角变大的方向的单位向量构成的。其中三个向量都不是常矢量。对于不同的向量分解的基自然也是不同的。

【总结】

那么我们如何避免这种错误的发生？

一种思路就像之前说的一样，把所有的坐标全部转换成直角坐标，让后计算，最后再把它给转换回去，得到了坐标。

另一种思路就是将每个向量分解的基向量全部给写出来，把向量写成是基相加的形式，然后将不同的基进行合并，最后得到答案，那么也是正确的。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ciji.html