线性代数复习资料

02198线性代数、04181线性代数（经管类）考点逐

个击破 第一章 行列式

（一）行列式的定义

行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.

1．二阶行列式

由4个数aij(i,j?1,2)得到下列式子：

则为

a11a12a21a22称为一个二阶行列式，其运算规

a11a12a21a22

?a11a22?a12a21

2．三阶行列式

a11a12a13由9个数aij(i,j?1,2,3)得到下列式子：a21a22a23

a31a32a33称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.

3．余子式及代数余子式

a11a12a13设有三阶行列式 D3?a21a22a23

a31a32a33对任何一个元素aij，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素aij的余子式，记成Mij

例如 M11?a22a23a32a33i?j，M21?a12a13a32a33，M31?a12a13a22a23

再记 Aij?(?1)Mij ，称Aij为元素aij的代数余子式.

例如 A11?M11，A21??M21，A31?M31

那么 ，三阶行列式D3定义为

a11a12a13D3?a21a22a23?a11A11?a21A21?a31A31a31a32a33

我们把它称为D3按第一列的展开式，经常简写成

D3??ai1Ai1??(?1)i?1ai1Mi1

i?1i?133 4．n阶行列式

一阶行列式 D1?a11?a11

a11a12?a1nn阶行列式 Dn?a21a22?a2n???an1an2?ann?a11A11?a21A21???an1An1

其中Aij(i,j?1,2,?,n)为元素aij的代数余子式.

5．特殊行列式

a11上三角行列式

a12?a1na22?a2n???00?ann?00?a11a22?ann ?a11a22?ann

0?0a11a21?an1a110?0下三角行列式

a22????an2?ann0?00a22?0对角行列式

????ann?a11a22?ann

（二）行列式的性质

性质1 行列式和它的转置行列式相等，即D?D

性质2 用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.

性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.

T推论1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.

推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 性质4 行列式可以按行（列）拆开.

性质5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D. 定理1（行列式展开定理）

n阶行列式D?aij等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的

n乘积的和，即D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin(i?1,2,?,n) 或D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj(j?1,2,?,n)

前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式.

本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值. 定理2 n阶行列式D?aij的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代

n数余子式的乘积之和等于零.即ai1Ak1?ai2Ak2???ainAkn?0(i?k) 或a1jA1s?a2jA2s???anjAns?0(j?s)

（三）行列式的计算

行列式的计算主要采用以下两种基本方法：

（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时

要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k.

（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它

的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：

2141 例1 计算行列式 D4?3?12152327025

解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是a12?1，利用这个

元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.

2141D4?3?12170255312　　列2?5?1列1021412行?1?1行506270250按第二行展开312375?81562按第二列展开?1?50725

52323行?(?2)?1行10?507375abbb 例2 计算行列式 D4?babbbbabbbba

解：方法1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为

，我们可以先把后三列都加到第一列上去，提a?3b（我们把它称为行和相同行列式）

出第一列的公因子a?3b，再将后三行都减去第一行：

abbbbabbbbabbbba?a?3bbbba?3babba?3bbaba?3bbba1b00b00b00a?b00?(a?3b)1bbb1abb1bab1bba

　　　?(a?3b)a?b0a?b?(a?3b)(a?b)3

方法2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与D4 有相同值的五阶行列式：

abbbD4?babbbbabbbba1bbbb0abbb?0babb0bbab0bbba1行（??1）?2，3，4，行51??1?1?1b000bb0b00

?1a?b000a?b0a?b00a?b这样得到一个“箭形”行列式，如果a?b，则原行列式的值为零，故不妨假设a?b，即a?b?0，把后四列的

1倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零. a?b1?4ba?b0000ba?b000b0a?b00b00a?b0b000a?b4b??4???1??(a?b)?(a?3b)(a?b)?a?b??

1例3 三阶范德蒙德行列式 V3?x11x221x3?(x2?x1)(x3?x1)(x3?x2)

2x1

x2x32（四）克拉默法则

定理1（克拉默法则）设含有n个方程的n元线性方程组为

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2 ??????????????an1x1?an2x2???annxn?bn如果其系数行列式D?aijn?0，则方程组必有唯一解：xj?DjD,j?1,2,?,n

其中Dj是把D中第j列换成常数项b1,b2,?,bn后得到的行列式. 把这个法则应用于齐次线性方程组，则有

定理2 设有含n个方程的n元齐次线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?0,?ax?ax???ax?0,?2112222nn ??????????????an1x1?an2x2???annxn?0如果其系数行列式D?0，则该方程组只有零解：x1?x2???xn?0

换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有D?0，在教材第二章中，将要证明，

n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.

第二章 矩阵

（一）矩阵的定义

1．矩阵的概念

由m?n个数aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)排成的一个m行n列的数表

?a11a12?a1n???aa?a?21222n?A??? ?????a??m1am2?amn?称为一个m行n列矩阵或m?n矩阵

当m?n时，称A?aij??n?n为n阶矩阵或n阶方阵

元素全为零的矩阵称为零矩阵，用Om?n或O表示

2．3个常用的特殊方阵：

?a110?0????0a22?0?①n阶对角矩阵是指形如 A??的矩阵 ??????00?a?nn???10?0????01?0?②n阶单位方阵是指形如 En??的矩阵 ??????00?1???

?a11a12?a1n??a110?0?????0a?aaa?0??222n??2122③n阶三角矩阵是指形如 ?,?????的矩阵 ???????00?a??aa?a?n2nn?nn??n1?

3．矩阵与行列式的差异

矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“*”与矩阵记号“?*?”也不同，不能用错.

（二）矩阵的运算

1．矩阵的同型与相等

设有矩阵A?(aij)m?n，B?(bij)k??，若m?k，n??，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，即aij?bij，则称矩阵A与B相等，记为A?B

因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.

2．矩阵的加、减法

设A?(aij)m?n，B?(bij)m?n是两个同型矩阵则规定

A?B?(aij?bij)m?n A?B?(aij?bij)m?n

注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.

由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.

3．数乘运算

设A?(aij)m?n，k为任一个数，则规定kA?(kaij)m?n

故数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k与行列式D的乘

积，只是用k乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.

矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.

4．乘法运算

设A?(aij)m?k，B?(bij)k?n，则规定AB?(cij)m?n

其中cij?ai1b1j?ai2b2j???aikbkj (i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)

由此定义可知，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.

故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地： ①不满足交换律，即AB?BA

②在AB?0时，不能推出A?0或B?0，因而也不满足消去律.

特别，若矩阵A与B满足AB?BA，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶

方阵.

矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.

5．方阵的乘幂与多项式方阵

设A为n阶方阵，则规定Am??AA?A ????m个特别A?E

又若f(x)?amx?am?1xmm?10???a1x?a0，则规定

f(A)?amAm?am?1Am?1???a1A?a0E

称f(A)为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵

6．矩阵的转置

设A为一个m?n矩阵，把A中行与列互换，得到一个n?m矩阵，称为A的转

置矩阵，记为AT，转置运算满足以下运算律：

(A?)T?A，(A?B)T?AT?BT，(kA)T?kAT，(AB)T?BTAT

由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义

设A为一个n阶方阵，若A满足AT?A，则称A为对称矩阵，若A满足AT??A，

则称A为反对称矩阵.

7．方阵的行列式

矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念. 设A?(aij)为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式aij，称为方阵

nA的行列式，记为A

方阵的行列式具有下列性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则

①AT?A；

n②kA?kA ③AB?A?B

（三）方阵的逆矩阵

1．可逆矩阵的概念与性质

设A为一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使满足AB?BA?E，则把B

称为A的逆矩阵，且说A为一个可逆矩阵，意指A是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A的逆矩阵B记为A，从而A与A首先必可交换，且乘积为单位方阵E.

逆矩阵具有以下性质：设A，B为同阶可逆矩阵，k?0为常数，则

?1①A是可逆矩阵，且(A)?1?1?1?1?A；

②AB是可逆矩阵，且(AB)③kA是可逆矩阵，且(kA)T?1?B?1A?1；

?1?1?1A kT④A是可逆矩阵，且(A)?1?(A?1)T

⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即

设P为可逆矩阵，则PA?PB?A?B AP?BP?A?B

2．伴随矩阵

设A?(aij)为一个n阶方阵，Aij为A的行列式A?aij中元素aij的代数余子

n?A11A21?An1???AA?A?1222n2?式，则矩阵?称为A的伴随矩阵，记为A*（务必注意A*中元素排列???????AA?A?nn??1n2n的特点）

伴随矩阵必满足

AA*?A*A?AE A*?An?1 （n为A的阶数）

3．n阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法

定理：n阶方阵A可逆?A?0，且A?1?1*A A推论：设A，B均为n阶方阵，且满足AB?E，则A，B都可逆，且A?1?B，

B?1?A

例1 设A????ab??? cd??*（1）求A的伴随矩阵A

（2）a，b，c，d满足什么条件时，A可逆？此时求A

解：（1）对二阶方阵A，求A*的口诀为“主交换，次变号”即A????c?（2）由A?矩阵

*?1?d?b?? a??abcd?ad?bc，故当ad?bc?0时，即A?0，A为可逆

1*1?d?b???A?此时A?? ?caAad?bc????1（四）分块矩阵

1． 分块矩阵的概念与运算

对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.

在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A的列分块方式与右矩阵B的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A的各子块分别左乘B的对应的子块.

2．准对角矩阵的逆矩阵

?A1???A??2形如 ?的分块矩阵称为准对角矩阵，其中A1,A2,?,Ar均为方阵空

?????Ar???白处都是零块.

若A1,A2,?,Ar都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且

?A1???A??2??????Ar????1?A1?1????1??A2???

?????1?Ar??（五）矩阵的初等变换与初等方阵

1．

初等变换

对一个矩阵A施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为

初等变换，

（1）交换A的某两行（列）；

（2）用一个非零数k乘A的某一行（列）；

（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.

注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“?”连接前后矩阵.

初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.

2．初等方阵

由单位方阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.

由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为Pij，Di(k)和

Tij(k)，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.

3．初等变换与初等方阵的关系

设A为任一个矩阵，当在A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等行变换；在A的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等列变换.

4．矩阵的等价与等价标准形

若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为A?B

?ErO?对任一个m?n矩阵A，必与分块矩阵??OO??等价，称这个分块矩阵为A的等

???ErO?PAQ???OO??

??价标准形.即对任一个m?n矩阵A，必存在n阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得

5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵

设A为任一个n阶可逆矩阵，构造n?2n矩阵（A，E） 然后 (A,E)?(E,A)

注意：这里的初等变换必须是初等行变换.

?1?1?13??? 例2 求A??2?14?的逆矩阵

??12?4??? 解：

行???22???行01?13?1?1310?11行?1?行3???(A,E)??2?14010?0?1?2????12?400?1?01?1???

2行?1?行13行???11???行10?0?101?11?02行???13??行3行?2?行2?????01?2?21?0??010?001?0013?1???1?00??2?101?01? 4??21??4?12?3??111则 A?1??42?1?????4?12? ?3?11???

例3 求解矩阵方程

?1?13??11?????2?14X?43???? ??12?4??12?????

?1?13??11????? 解：令A??2?14?,B??43?，则矩阵方程为AX?B，这里A即为例2中

??12?4??12?????矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘A?1，得

??42?1??11??30???????X?A?1B??4?12??43???25?

?3?11??12??02???????也能用初等行变换法，不用求出A?1，而直接求A?1B

?1?1311??10030?????(A,B)??2?1443???01025??(E,A?1B)

??12?412??00102??????30????1则 X?AB??25?

?02???（六）矩阵的秩

1．

秩的定义

设A为m?n矩阵，把A中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为秩(A)或r(A) 零矩阵的秩为0，因而0?秩(A)?min?m,n?，对n阶方阵A，若秩(A)?n，称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.

2．

秩的求法

由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A，只要用初等行变换把A化成阶梯形矩阵T，则秩(A)=秩(T)=T中非零行的行数.

3．与满秩矩阵等价的条件

n阶方阵A满秩?A可逆，即存在B，使AB?BA?E

?A非奇异，即A?0

?A的等价标准形为E

?A可以表示为有限个初等方阵的乘积 ?齐次线性方程组AX?0只有零解

非齐次线性方程组AX?b有唯一解 ?对任意非零列向量b，

?A的行（列）向量组线性无关

?A的行（列）向量组为Rn的一个基

?任意n维行（列）向量均可以表示为A的行（列）向量组 的线性组合，且表示法唯一. ?A的特征值均不为零 ?ATA为正定矩阵.

（七）线性方程组的消元法.

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2对任一个线性方程组?

??????am1x1?am2x2???amnxn?bm可以表示成矩阵形式AX?b，其中A?(aij)m?n为系数矩阵，b?(b1,b2,?,bm)为常数列矩阵，X?(x1,x2,?,xn)为未知元列矩阵.

从而线性方程组AX?b与增广矩阵A?(A,b)一一对应.

对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶

梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.

TT

第三章 向量空间

（一）n维向量的定义与向量组的线性组合

1．

n维向量的定义与向量的线性运算

由n个数组成的一个有序数组称为一个n维向量，若用一行表示，称为n维行向量，即1?n矩阵，若用一列表示，称为n维列向量，即n?1矩阵

与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.

2．向量的线性组合

设?1,?2,?,?m是一组n维向量，k1,k2,?,km是一组常数，则称

k1?1?k2?2???km?m

为?1,?2,?,?m的一个线性组合，常数k1,k2,?,km称为组合系数.

若一个向量?可以表示成

??k1?1?k2?2???km?m

则称?是?1,?2,?,?m的线性组合，或称?可用?1,?2,?,?m线性表出.

3．矩阵的行、列向量组

设A为一个m?n矩阵，若把A按列分块，可得一个m维列向量组称之为A的

列向量组.

若把A按行分块，可得一个n维行向量组称之为A的行向量组.

4．线性表示的判断及表出系数的求法.

向量?能用?1,?2,?,?m线性表出的充要条件是线性方程组

x1?1?x2?2???xm?m??有解，且每一个解就是一个组合系数.

例1 问??(?1,1,5)能否表示成?1?(1,2,3)，?2?(0,1,4)，?3?(2,3,6)的线性组合？

解：设线性方程组为 x1?1?x2?2?x3?3??

TTTT对方程组的增广矩阵作初等行变换：

?102?1??1001?????(A,?)?(?1,?2,?3,?)??2131???0102?

?3465??001?1?????则方程组有唯一解x1?1,x2?2,x3??1

所以?可以唯一地表示成?1,?2,?3的线性组合，且???1?2?2??3

（二）向量组的线性相关与线性无关

1．

线性相关性概念

设?1,?2,?,?m是m个n维向量，如果存在m个不全为零的数k1,k2,?,km，使

得

k1?1?k2?2???km?m?0，则称向量组?1,?2,?,?m线性相关，称k1,k2,?,km为

相关系数.否则，称向量?1,?2,?,?m线性无关.

由定义可知，?1,?2,?,?m线性无关就是指向量等式

k1?1?k2?2???km?m?0当且仅当k1?k2???km?0时成立.

特别 单个向量?线性相关???0；

单个向量?线性无关???0

2．求相关系数的方法

设?1,?2,?,?m为m个n维列向量，则?1,?2,?,?m线性相关?m元齐次线性方程组x1?1?x2?2???xm?m?0有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数?矩阵A?(?1,?2,?,?m)的秩小于m

例2 设向量组?1?(2,?1,7),?2?(1,4,11),?3?(3,?6,3)，试讨论其线性相关性.

解：考虑方程组x1?1?x2?2?x3?3?0

TTT

?213??102?????其系数矩阵 A?(?1,?2,?3)???14?6???01?1?

?7113??000?????于是，秩(A)?2?3，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为

?x1?2x3?0 ?x?x?03?2令x3?1，得一个非零解为x1??2,x2?1,x3?1 则?2?1??2??3?0

3．线性相关性的若干基本定理

定理1 n维向量组?1,?2,?,?m线性相关?至少有一个向量是其余向量的线性组合.即?1,?2,?,?m线性无关?任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.

定理2 如果向量组?1,?2,?,?m线性无关，又?,?1,?2,?,?m线性相关，则?可以用?1,?2,?,?m线性表出，且表示法是唯一的.

定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分

必无关.

定理4 无关组的接长向量组必无关.

（三）向量组的极大无关组和向量组的秩

1．向量组等价的概念

若向量组S可以由向量组R线性表出，向量组R也可以由向量组S线性表出，则称这两个向量组等价.

2．向量组的极大无关组

设T为一个向量组，若存在T的一个部分组S，它是线性无关的，且T中任一个向量都能由S线性表示，则称部分向量组S为T的一个极大无关组.

显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.

对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质： 定理1 向量组T与它的任一个极大无关组等价，因而T的任意两个极大无关组

等价.

定理2 向量组T的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.

3．向量组的秩与矩阵的秩的关系

把向量组T的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T的秩.

把矩阵A的行向量组的秩，称为A的行秩，把A的列向量组的秩称为A的列秩. 定理：对任一个矩阵A，A的列秩=A的行秩=秩（A）

此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵A，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.

例3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：

?1?(1,1,?2,7),?2?(?1,?2,,2,?9),?3?(?1,1,?6,6),?4?(2,1,4,3),?5?(2,4,4,3)

解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个4?5矩阵，再用初等行变换把它化成

简化阶梯形矩阵

A??1,?2,?3,?4,?5?TTTTT??1?1??1?2???22??7?9??122??1??114??0????6440???633???00000??10?10??B ?01?10?0001???1,?2,?3,?4,?5??4，而且B中主元位易见B的秩为4，A的秩为4，从而秩?于第一、二、三、五列，那么相应地?1,?2,?3,?5为向量组的一个极大无关组，而且?4???2??3

（四）向量空间

1．

记作R

n向量空间及其子空间的定义

定义1 n维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实n维向量空间，

定义2 设V是n维向量构成的非空集合，若V对于向量的线性运算封闭，则称集合V是R的子空间，也称为向量空间.

n2． 向量空间的基与维数

设V为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组

称为向量空间V的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.

显然，n维向量空间R的维数为n，且R中任意n个线性无关的向量都是R的

一个基.

nnn3． 向量在某个基下的坐标

设?1,?2,?,?r是向量空间V的一个基，则V中任一个向量?都可以用

?1,?2,?,?r唯一地线性表出，由r个表出系数组成的r维列向量称为向量?在此基

下的坐标.

第四章 线性方程组

（一） 线性方程组关于解的结论

定理1 设AX?b为n元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是

r(A,b)?r(A)

定理2 当n元非齐次线性方程组AX?b有解时，即r(A,b)?r(A)?r时，那

么

（1）AX?b有唯一解?r?n； （2）AX?b有无穷多解?r?n.

定理3 n元齐次线性方程组AX?0有非零解的充要条件是r(A)?r?n 推论1 设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组AX?0有非零解?A?0 推论2 设A为m?n矩阵，且m?n，则n元齐次线性方程组必有非零解

（二）齐次线性方程组解的性质与解空间

首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.

考虑由齐次线性方程组AX?0的解的全体所组成的向量集合

V???A??0?

显然V是非空的，因为V中有零向量，即零解，而且容易证明V对向量的加法运算及

数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V成为n维列向量空间R的一个子空间，我们称V为方程组AX?0的解空间

n（三）齐次线性方程组的基础解系与通解

把n元齐次线性方程组AX?0的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一

个基础解系.

当n元齐次线性方程组AX?0有非零解时，即r(A)?r?n时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为n?r

求基础解系与通解的方法是：

对方程组AX?0先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为

方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.

?2x1?x2?2x3?3x4?0? 例1 求?3x1?2x2?x3?2x4?0的通解

?x?x?x?x?0234?1 解：对系数矩阵A，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：

行?(-1)+2行?10?34?2行?(-1)+3行?10?34??21?23?13行?(-1)+1行????1行?(-1)+2行??A??32?12???111?1???014?5?

?111?1??111?1??0000???????r(A)?2?4，有非零解，取x3,x4为自由未知量，可得一般解为

?x1?3x3?4x4,?x??4x?5x,?234 ?x?x3?3?x4?x4??3???4???????4??5??k写成向量形式，令x3?k1，则通解为X?k1? x4?k2为任意常数，2?1?0??????0??1??????3???4???????4??5?,??可见，?1??为方程组的一个基础解系. 2???10?????0??1?????（四）非齐次线性方程组

1． 非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之

间的关系

设AX?b为一个n元非齐次线性方程组，AX?0为它的导出组，则它们的解之

间有以下性质：

性质1 如果?1,?2是AX?b的解，则???1??2是AX?0的解

性质2 如果?是AX?b的解，?是AX?0的解，则???是AX?b的解

由这两个性质，可以得到AX?b的解的结构定理：

定理 设A是m?n矩阵，且r(A,b)?r(A)?r，则方程组AX?b的通解为

X??*?k1?1?k2?2???kn?r?n?r

其中?为AX?b的任一个解（称为特解）,?1,?2,?,?n?r为导出组AX?0的一个基础解系.

* 2．求非齐次线性方程组的通解的方法

对非齐次线性方程组AX?b，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形

式，就得到方程组的通解.

?x3?x4?0?x1?x2?x2?2x3?2x4?1? 例2 当参数a，b为何值时，线性方程组?

??x2?(a?3)x3?2x4?b??x3?ax4??1?3x1?2x2有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解.

解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：

?1?0(A,b)???0??3?12行?4行2行??-1??1行?0???0??00??12行?3行??1221?１行??-3??4行?0???0?1a?3?2b??21a?1??00?1?1?1??1221?0a?10b?1??00a?10?111??1221?0a?10b?1???1?2a?3?1?1110

当a?1时，r(A,b)?r(A)?4，有唯一解； 当a?1,b?1时，r(A,b)?3，r(A)?2，无解； 当a?1,b??1时，r(A,b)?r(A)?2，有无穷多解.

?x1??1?x3?x4?x?1?2x?2x?234此时，方程组的一般解为 ?

x?x3?3?x4?x4?令x3?k1,x4?k2为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为

??1??1??1????????1???2???2?X????k1???k2??

010???????0??0??1???????

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