2011级高等数学(上)期中考试试卷(9学分)

上交大高数期中考

华东理工大学2011–2012学年第一学期

《高等数学（上）9学分》课程期中考试试卷 2011.10

开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟

考生姓名： 学号： 班级 任课教师

一．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）：

2x 1 1、设y ，则 y'(x) x 3

32

2、若记曲线 3x 2y 2xsiny 2 与 y 轴交点为P，则曲线在P点处的法

4

线方程为

3x 1x 1

3、极限 lim()

x 13 x

4、极限 lim

1

tanx sinx

x 0(arcsinx)3

5、设 y

x

2

(x 1) 5x 2

2000

，则 y'(0) 6、设 y (x7、设f(x)

2(x2 1)

1)，则 y'(1) 23

1 2x xx

，其中 (x)在x 0处可导，且 (0) 0, (0) 1，则当x 0

(x) tan5x

时，f(x)关于x的阶数是

上交大高数期中考

8、设y y(x)由参数方程

x t (1 sint),dy

确定，则 y tcost

dx

二．选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）：

x 1．若f(x) tlimetx

1 etx

,x 0 n，则x 0 是f(x)的 （ ） x x

nlimn nx n x

,x 0（A）连续点 （B）无穷间断点 （C）跳跃间断点 （D）可去间断点

2

2、设f(x) ex 1 ,x 0

，其中g(x)是有界函数，则f(x)在x 0处 （ ） x

x2g(x),x 0（A）极限不存在 （B）极限存在但不连续 （C）连续但不可导 （D）可导 3、已知 y f

3x 2 3x 2

, f'(x) arcsinx2

，则y'(x) （ ）

（A）arcsin 3x 2 2

12 3x 2 (3x 2)2 （B）arcsinx2

12(3x 2)2

22

（C）arcsin 3x 2 18x 3x 3x 2 (3x 2)2

（D）arcsin 2

3x 2

4、“nlim

f(n) L” 是“nlim

f(2n) L”的 （ ）

（A）充分条件，非必要条件 （B）必要条件，非充分条件 （C）充要条件 （D）既不是必要条件，也不是充分条件 5、下列说法正确的是 （ ） （A）两个无穷大之和一定是无穷大 （B）不是无穷大量，则此量一定是有界的 （C）有界函数与无穷大量的乘积一定是无穷大 （D）无穷大与无穷大之积一定是无穷大 1

1

6、在区间( . )内方程 x

4

x2

cosx 0 （ ）

（A）有且仅有一个实根 （B）有且仅有两个实根 （C）有无穷多个实根 （D）无实根

上交大高数期中考

三．（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 1

11、计算极限：limn2

n

n 1

n

(10 10

)

ln(1 x3) ,x 02、设f(x)

x2sin1

，求f'(x). x ,x 0

上交大高数期中考

3、设f(x)在x 0处连续，且lim

f(x) 1

x 0

x sinx

2，计算f'(0).

4、 计算极限：lime2x

x 0(cotx

sinx

)

上交大高数期中考

四、（本题8分）．

证明：在极坐标系中的两个圆 acos 与 bsin 在交点处正交（在交点处切线垂直），其中a,b为给定的正数。

五、（本题8分）

设函数f(x)可导，且f'(x) 0，函数x (y)是函数y f(x)的反函数，且f(2) 3 , g(x) [13

f2

(2 5x)]，求f'(2) g'(3)和g'(0)。

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（本题8分）

设f x a1sinx a2sin2x ansinnx，且 f(x) sinx， 试证明： a1 2a2 nan 1

. 六、

上交大高数期中考

华东理工大学2011–2012学年第一学期

《高等数学（上）9学分》课程期中考试试卷 2011.10.

（答案）

一．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）：

2x 1 1、设y ，则 y'(x) x 3

(2x 1)28(2x 1) 2x 1 2(x 3) (2x 1) 1

解：y' 4 4[2x 6 2x 1] 552

(x 3)(x 3)x 3(x 3)

2、若记曲线 3x 2y3 2x2siny 2 与 y 轴交点为P，则曲线在P点处的法线方程为 解：点P (0,1). 将方程两边对x求导，得

3

3

3

4

3 6y2y' 4xsiny 2x2cosy y' 0，

令x 0,y 1 ，得 y'(0)

1

1

. 法线斜率 k 2，法线方程：y 1 2x. 2

3x 1x 1

3、极限 lim()

x 13 x3x 1

)解：lim(

x 13 x

4、极限 lim

1x 1

2x 2 lim 1 x 13 x

3 x2

2(x 1)3 x

e

12

tanx sinx

x 0(arcsinx)3

x2x

tanx sinxtanx (1 cosx) 1 lim解：lim lim

x 0x 0(arcsinx)3x 02x3(arcsinx)3

5、设 y 解：lny

x

2

(x 1) 5x 2

，则 y'(0)

11

lnx 2lnx 1 ln5x 2 33

上交大高数期中考

y 125

y3(x 1)x 13(5x 2)

y

x 1

(x 1)22000

1 1925

y'(0) 3(x 1)x 13(5x 2) 6 2x 2

6、设 y (x

2(x2 1)

1)，则 y'(1) 23

1 2x x

2000

(x

f(x) f(1)

li解： y'(1) lix 1x 1x 1

2(x2 1)

1)arct23 x 1

lim(1 x x

x 1

1999

2(x2 1)

) 500 23

1 2x x

7、设f(x)

(x) tan5x

x

，其中 (x)在x 0处可导，且 (0) 0, (0) 1，则当

x 0 时，f(x)关于x的阶数是解： f(x)

(x) tan5x

x

x 0

~5 (x)，

lim

x 0

而 '(0) lim

(x) (0)

x

(x)

x

1， (x)~x.

当x 0时，f(x)~5x，所以f(x)关于x是1阶的.

8、设y y(x)由参数方程

x t (1 sint),dy

确定，则dx y tcost

解：

dy(tcost)'cost tsint

dx[t (1 sint)]'1 sint tcost

二．选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）：

x etx

lim,x 0 t 1 etx

1．若f(x) ，则x 0 是f(x)的 （ ） x x

n n lim,x 0x x n n n

（A）连续点 （B）无穷间断点 （C）跳跃间断点 （D）可去间断点

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x ,x 0 1

解：（C） f(x) ,x 0、 f(0 0) 1 f(0 0) 0.

2

1 ,x 0

ex 1 ,x 0

2、设f(x) ，其中g(x)是有界函数，则f(x)在x 0处 （ ） x

2

x2g(x),x 0（A）极限不存在 （B）极限存在但不连续 （C）连续但不可导 （D）可导 解：（D）

3、已知 y f

3x 2 3x 2

, f'(x) arcsinx2

，则y'(x) （ ）

2

（A）arcsin 3x 2 3x 2 12(3x 2)2 （B）arcsinx2

12(3x 2)2

2

2

（C）arcsin 3x 2 18x 3x 3x 2 (3x 2)2

（D）arcsin 2

3x 2

'2

解：y'(x) f' 3x 2 3x 2 3x 2

12 3x 2 3x 2 arcsin 3x 2

(3x 2)2

4、“nlim

f(n) L” 是“nlim

f(2n) L”的 （ ）

（A）充分条件，非必要条件 （B）必要条件，非充分条件 （C）充要条件 （D）既不是必要条件，也不是充分条件 解：（A）

5、下列说法正确的是 （ ） （A）两个无穷大之和一定是无穷大 （B）不是无穷大量，则此量一定是有界的 （C）有界函数与无穷大量的乘积一定是无穷大 （D）无穷大与无穷大之积一定是无穷大 解：（D）

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1

1

6、在区间( . )内方程 x

4

x2

cosx 0 （ ）

（A）有且仅有一个实根 （B）有且仅有两个实根 （C）有无穷多个实根 （D）无实根 解：(B) 三．（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 1

11、计算极限：lim2

n

n 1

n

n(10 10

)

1111ln10解： limn2

(10nn 1

) limn 1

n(n 1)

n(n 1)

n

10

n

n210

(10

1) limn

n2(e

1)

ln10 limn2(n(n 1)

ln10

n

e

1) limn

n2

n(n 1)

ln10

ln(1 x3) ,2、设f(x)

x 0

x2sin1

x ,x 0，求f'(x) 解：在x 0处：f '(0) f(x) f(0)xlim 0

x f1

'(0) xlim 0

xsinx

0 f(x) f(0)ln(1 x3) x3

f '(0) xlim 0 x xlim 0 x xlim 0

x

0 所以f(x)在x 0处可导，且 f'(0) 0。

当x 0时，f'(x) (x2

sin1)' 2xsin

1xx cos1x

当x 0时，f'(x) (ln(3

3x2

1 x))'1 x

3

3x2

,x 所以 f'(x) x3 10

2xsi1x co1 x,x 0

3、设f(x)在x 0处连续，且lim

f(x) 1

x 0

x sinx

2，计算f'(0).

解：由f(x)在x 0处连续，且

上交大高数期中考

lim

x 0

f(x) 1f(x) 1xf(x) 1xf(x) 1

lim limlim lim 2

x 0x sinxx 0x sinxx 0xx sinxx 0x2x

lim(f(x) 1) 0 f(0) 1

x 0

f'(0) lim

x 0

f(x) f(0)f(x) 1

lim 2 4 x 0x2x

e2x

) 4、 计算极限：lim(cotx

x 0sinx

cosx e2xcosx 1 1 e2xcosx 1e2x 1

lim lim( ) 解：原式 lim

x 0x 0x 0sinxxxx

1

x2

cosx 1e 12x

li li li li 0 2 2

x 0x 0x 0x 0xxxx

2x

四、（本题8分）．

证明：在极坐标系中的两个圆 acos 与 bsin 在交点处正交（在交点处切线垂直），其中a,b为给定的正数。

x acos2 ,解：圆L1： acos 的参数方程为 ，

y acos sin

x bsin cos ,

圆L2： bsin 的参数方程为 。 2

y bsin

设两圆相交于点M，M点对应的参数为 0，则圆L1在M点的切线斜率：

a( sin2 0 cos2 0)cos2 0dy

k1

dx 0 2acos 0sin 0sin2 0

圆L2在M点的切线斜率：

k2

2bsin 0cos 0sin2 0dy

， 22

dx 0b(cos 0 sin 0)cos2 0

cos2 0sin2 0

1，

sin2 0cos2 0

于是 k1k2 从而证得两圆正交。

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五、（本题8分）

设函数f(x)可导，且f'(x) 0，函数x (y)是函数y f(x)的反函数，且f(2) 3 , g(x) [

12

f(2 5x)]，求f'(2) g'(3)和g'(0)。 3

解：由条件函数f(x)可导，且f'(x) 0，根据反函数求导法则知x (y)可导，且 '(y)

1

. f '(x)

所以 f'(2) g'(3) 1 利用复合函数求导法则

12

g'(x) '[f2(2 5x)] f(2 5x) f'(2 5x) ( 5)

33101

'[f2(2 5x)] f(2 5x) f'(2 5x)

33

令x 0，得

101210

g'(0) '[f(2)] f(2) f'(2) '(3) 3 f'(2) 10。

333

六、（本题8分）

设f x a1sinx a2sin2x ansinnx，且 f(x) sinx， 试证明： a1 2a2 nan 1 解： 由 f(x) sinx，得

f(x)

1,x 0,x 。 sinx2f(x)

1. sinx

两边取极限，有 lim

x 0

lim

x 0

asinx a2sin2x ansinnxf(x)f(x)

lim lim1

x 0x 0sinxsinxx

lim(a1

x 0

sinxsin2xsinnx

a2 an)xxx

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a1lim

sinxsin2xsinnx

a1 2a2 nan a2lim anlim

x 0x 0x 0xxx

所以 a1 2a2 nan 1.

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