高等代数第六章自测题

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精品 第六章 线性空间 自测题

一.填空题(20分)

1.若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基，则满足条件(1)n ααα,,,21 是 ；

(2)对V 中任意向量β， .

2.数域P 上的线性空间V 的非空子集W 是V 的子空间的充要条件为 .

3.已知12,W W 为线性空间V 的子空间, 12W W +为直和的充要条件为 .

4.设V 和W 是数域P 上两个线性空间，V 到W 的一个同构映射f 满足如下三个条件：

（1）f 是V 到W 的 ;

（2）对V ∈?βα,，有 ;

（3）对,V k P α?∈∈，有 .

5.向量空间V 的基12,n ααα，，到基11,,

,n n ααα-,的过渡矩阵为_______ .

6.复数域作为实数域上的向量空间，则dim =_____,它的一个基为__ __. 复数域作为复数域上的向量空间，则dim =__ __,它的一个基为__ _ _.

二.选择题(10分)

1.若21,W W 均为线性空间V 的子空间，则下列等式成立的是（ ）

（A ）21211)(W W W W W =+； （B ）21211)(W W W W W +=+ ；

（C ）1211)(W W W W =+ ； （D ）2211)(W W W W =+

2.按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P 上线性空间的是：（ ）

（A ）{}1n n W A P A A ?'=∈=； （B ）{}2()0n n

W A P tr A ?=∈=； （C ）{}

30n n W A P A ?=∈=； （D ）{}4n n W A P A A ?'=∈=-. 3.数域P 上线性空间V 的维数为V r n ∈ααα,,,,21 ，且任意V 中向量可由n ααα,,,21 线性表出，则下列结论成立的是：（ ）

（A ）n r =； （B ）n r ≤； （C ）n r <； （D ）n r >

4.设1324[],[]W P x W P x ==则=+)dim

(21W W （ ） （A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5

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5.设线性空间{}

R a a a a W ∈=)3,2,(，则W 的基为：（ ）

（A ）)3,2,1(； （B ）),,(a a a ； （C ）)3,2,(a a a ；（D ）)3,0,0()0,2,0()0,0,1( 三.(10分) 在线性空间4P 中求由线性方程组：?????=+-+=-+-=+-+01113530333045234321

43214321x x x x x x x x x x x x 所确定的4P 的

子空间W 的基和维数.

四.(15分)设3中的两个基分别为()1101α=,()2010α=，()3122α=, ()()()123100,110,111βββ===.

（1）求由基321321,,,,βββααα到基的过渡矩阵.

（2）已知向量α在基321,,ααα下的坐标为()130，求α在基321,,βββ下的坐标.

五.(15分) 设12(1,2,1,0),(1,1,1,1),αα==-1(2,1,0,1),β=- 2(1,1,3,7)β=,),(),,(212211ββααL W L W ==，求)dim (21W W +及)dim (21W W .

六.(15分) 设n n A P ?∈:

1）证明：全体与A 可交换的矩阵组成n n P ?的一子空间，记作()C A ;

2）当A =E 时，求()C A ;

3）当100002000

00A n ??????=??????时，求()C A 的维数与一组基.

七.(15分)已知n n P ?的两个子空间{}1n n V A P A A ?'=∈=，{}2n n V A P A A ?'=∈=-， 证明：12n n P V V ?=⊕．

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答案:

一.1.线性无关，β可以由n ααα,,,21 线性表示 2. 对V 的加法和数乘封闭 3. 12{}W W o ?=或12dim()0W W ?= 4. 线性映射，()()()f f f αβαβ+=+，

()()f k kf αα= 5. 111????

????

????

6. dim =2,它的一个基为1,i ; dim =2,它的一个基为1.

二．C C B C A

三. 解:由325432543254

313303870187335131103870000---??

????

??????--→--→-????????????--??????

125341

01920183701837300000000--????

????→-→-????

????????

，W 的维数为2， 一组基为()()''

1218310,29701ξξ=-=-.

四. 解：(1)由()()()123123123101=012=A 102αααεεεεεε??

??

??????

,

()()()

123123123111=011=001B βββεεεεεε??

??

??????

,

()()1

123123=A B βββααα-∴,

过渡矩阵11101111201111

2

21=0120112120112

31102001101001110A B ---????????????????????=-=?????????

???????????---??????????. (2) ()1

12312311=(,,)3=3

00B A ααααβββ-????

?

? ? ? ? ?????

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坐标为111101*********=0110123110320001102010201B A -----??????????????

? ? ? ???????-=-= ? ? ? ?

?????? ? ? ? ?????????????????????

五.解:由()12121

1211

1032

1110117=1103022201

1701

1

5ααββ-????????-?

???→????--????---????

10141

000011701000041200100

20

1--?????????

???→→????????????

, 12dim 2,dim 2W W ==,12dim()=4W W +,12dim()=0W W

六. 证明 1）设与A 可交换的矩阵的集合记为()C A .显然()O C A ∈，

,()B D C A ?∈,()()A B D AB AD BA DA B D A +=+=+=+，故()B D C A +∈.

若k 是一数，()B C A ?∈，可得()()()()A kB k AB k BA kB A ===，故()kB C A ∈.所以()C A 构成n n P ?的子空间。 2）当A E =时，()n n C A P ?=.

3）设()ij B b =为可与A 交换的矩阵，由第四章习题5知，B 只能是对角矩阵，故维数为n ；1122,,

,nn E E E 为一组基.

七. 证明:显然12+n n

V V P

??,又''

,22

n n

A A A A A P

A ?+-?∈=+,

其中'2A A +为对称矩阵,'

2

A A -为反对称矩阵, ''1222A A A A A V V +-∴=+∈+ 故12+n n P V V ??,从而12=+n n P V V ?.

又因为12A V V ?∈?,'',A A A A ==-, 有A O =.故12{}V V O ?=,故12+V V 为直和. 故12n n P V V ?=⊕

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