重庆市南开中学2014届高三考前第一次模拟考试数学（文）试题

重庆南开中学高2014级考前模拟测试卷

文科数学能力测试

数学试题(文史类)共4页。满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净

后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。 5．考试结束，将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求.

1．已知集合U?{1,2,3,4,5,6,7},A?{2,4,5,7},B?{3,4,5},则(CUA)(CUB)?( ) A．{1,6} B．{4,5} C．{2,3,7} D．{2,3,4,5,7}

2．已知向量a?(2,4),b?(x,1), 且a?b, 则的值为( )

11 D． 223．已知集合A,B满足：AB?A, 且A?B, 则“x?A”是“x?B”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．以点(2,1)为圆心，且与直线y?2x?1相切的圆的方程为( )

A．?2

B．

C．?164522 B．(x?2)?(y?1)? 5516452222C．(x?2)?(y?1)? D．(x?2)?(y?1)?

555．在等差数列{an}中，a1?a3?a14?27, 则其前11项的和S11?( )

99A． B．99 C．198 D．89

2A．(x?2)?(y?1)?226．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生相邻排列的概率是( ) A．

1 30 B．

1 15 C．

1 5 D．

1 107．函数f(x)?sin(??x)?3sin(A．x??2

?x)图像的一条对称轴为( )

B．x?D．x?

2? 3

?6

B1

3C1

8．如题8图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB?1, 在棱BB1上，且BD?1, 则AD与平面AAC11C所成 角的正弦值为( )

23A． B．

22C．x???6

?A1

D

C B

C．

6 4 D．

10 4x2y29．已知F1,F2是双曲线2?2?1(a,b?0)的左、右焦点，过F1且垂直于轴的直线与双曲线交于A,B两

ab点，若?ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A．(1,??)

B．(2?1,??) D．(1,3)

C．(1,2?1) 10．已知函数f(x)?1312ax?bx?cx(a?0), 记g(x)为它的导函数，若f(x)在上存在反函数， 32g(2)且f(?1)?0,则'的最小值为( )

g(0)53A． B． C． D．

22

二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.

11．由于甲流暴发，防疫站对学生进行身体健康调查，对男女学生采用分层抽样法抽取. 学校共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是 _______人.

12．二项式(x?)的展开式中的常数项为__________.

2x6?y?x?

13．已知实数x,y满足不等式组?x?y?2, 则目标函数z?x?3y的最大值为__________.

?y?0?

?114．已知函数f(x)为上的减函数，且值域为R,点A(?1,2)和点B(1,1)在f(x)的图像上，f(x)是它的

反函数，则不等式|f?1(log2x)|?1的解集为_______________.

1}(n?N*)的所有项按照从大到小的

2n?1k?1原则写成如右图所示的数表，其中的第k行有2个数， 1 1 第k行的第个数(从左数起)记为A(k,s),则A(10,495)? 351111_____________. 791113

11111 ?? 1517192921三、解答题：本大题共6小题，共75分.各题解答必须写出必要的文字说明、演算步骤和推?? 理过程.

题15图 16．(本小题满分13分)

A已知A、B、C为?ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c,若m?(2cos,tanA),

2A1n?(?cos,cotA),且m?n?.

22(Ⅰ)求角A;

15．把数列{(Ⅱ)若b?c?4,?ABC的面积为3,求

17．(本小题满分13分)

在一次数学考试中，共有10道选择题，每题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，评分标准规定：“每道题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”.某考生已确定有6道题是正确的，其余题目中：有两道题可判断两个选项是错误的，有一道可判断一个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，请求出该考生： (Ⅰ)得50分的概率； (Ⅱ)得40分的概率.

18．(本小题满分13分 )

已知四棱锥P?ABCD的底面是边长为2的正方形，PD? 面ABCD,PD?2,E,F分别为BC,AD的中点， (Ⅰ)求直线DE与面PBC所成角的正弦值； (Ⅱ)求二面角P?BF?D的正切值.

P

19．(本小题满分12分) 已知函数f(x)?x?ax?3x

32D F A

E 题18图

B C

'(Ⅰ)若函数f(x)在[1?2,??)是增函数，导函数f(x)在(??,1]上是减函数，求的值；

(Ⅱ)令g(x)?f(x)?f(x)?3x, 求g(x)的单调区间.

'2

20．(本小题满分12分)

x2?y2?1的左、右顶点分别为A、B,曲线是以椭圆中心为顶点，为焦点的抛物线. 已知椭圆4(Ⅰ)求曲线的方程；

(Ⅱ)直线l:y?k(x?1)与曲线交于不同的两点M、N,当AM?AN?17时，求直线l的倾斜角?的取值范围.

21．(本小题满分12分)

设各项为正的数列?an?的前项和为Sn且满足：(Ⅰ)求an; (Ⅱ)求Tn?Snan?1?. an2111??…?; S1S2Sn(Ⅲ)设m,n,p?N*且m?n?2p, 求证：

112??. 222SmSnSp

数学(文史类)参考答案

一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分. 1～5 AABCB 6～10 DCCBA

10．f'(x)?ax2?bx?c, 即g(x)?ax2?bx?c(a?0). ?f(x)在上存在反函数，且a?0,

∴g(x)?0对x?R恒成立，即ax2?bx?c?0(a?0)对x?R恒成立. ∴??b2?4ac?0,

1111从而c?0,又f(?1)?0,即?a?b?c?0, ∴b?a?c?0,从而b?0,于是

3223g(2)4a?2b?c?ac4ac??2???2?2?2?2?1?4,故选A． '2g(0)bbbb

二、填空题：本大题共5小题，共25分．

题号 答案

11

12

13

14

15

720

860

(2,4)

1 20111?(1?29)?511个数， 15．前9行共有1?2?…?2?1?21}中的第1006项， 所以A(10,495)是数列{2n?11. 即A(10,495)?2011

三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．(本小题满分13分)

1112A?1??cosA??, 所以A?120????6分 解：(Ⅰ)由m?n?,得?2cos222211(Ⅱ)由S?ABC?bcsinA?bcsin120?3,得bc?4,??????9分

22a2?b2?c2?2bccosA?b2?c2?bc?(b?c)2?bc?12,所以a?23.??13分

17．(本小题满分13分)

解：设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选择对为事件A,“有一道可判断一个选项是错

误的”选择对为事件B,“有一道因不理解题意”选择对为事件C,则

111P(A)?,P(B)?,P(C)?

23411111; ????????6分 (Ⅰ)得50分的概率为P?????2234481123113121171111;?13分 (Ⅱ)得40分的概率为P?????C2????C2????2234223422344818．(本小题满分13分)

P

解：(Ⅰ)取PC的中点N,连接DN,EN,

?PD?面ABCD,∴PD?BC, 又由题意，有BC?DC N ∴BC?面PDC,∴面PBC?面PDC, 又PD?DC知DN?PC, ∴DN?面PBC, D C F 所以?DEN为直线DE与面PBC所成的角，????4分 M E 由题意DN?2,DE?5, A B 210?.??????7分 55 (Ⅱ)过作DM?BF,交BF的延长线于M,连接PM,

?PD?面ABCD,所以PM在面ABCD内的射影为DM, ∴PM?BF, 所以?PMD为二面角P?BF?D的平面角??????10分

DMDF2由Rt?DMF与Rt?BAF相似，所以 ??DM?ABBF5PD?5????????13分 所以tan?PMD?DM19．(本小题满分12分)

'2解：(Ⅰ)f(x)?3x?2ax?3, ??????1分

所以sin?DEN??f(x)在[1?2,??)上是增函数，∴f'(x)?0在[1?2,??)恒成立

3x2?33x2?3)min?3?????3分 即a?在[1?2,??)恒成立?a?(2x2xa又f'(x)在(??,1]上是减函数，∴?1?a?3, ????????5分

3∴a?3. ???????6分

322232(Ⅱ)g(x)?x?ax?3x?(3x?2ax?3)?3x?x?ax?(3?2a)x?3

2a?3g'(x)?3x2?2ax?(2a?3)?0?x1?1,x2? ??????8分

3'(ⅰ)当a?3时，x,g(x),g(x)的变化如下表：

2a?32a?32a?3(??,1) (1,) ,??) ( 3330 0 g'(x) g(x)

∴增区间为：(??,1),(2a?32a?3,??); 减区间为：(1,)??????10分 33

(ⅱ)当a?3时，x,g'(x),g(x)的变化如下表：

(??,2a?3) 3 2a?3 30 (2a?3,1) 3 (1,??) g'(x) g(x)

0 ∴增区间为：(1,??),(??,2a?32a?3); 减区间为：(,1). ?????12分 3320．(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)依题意得：A(?2,0),B(2,0),

∴曲线的方程为y2?8x. ??????4分

??y?k(x?1)(Ⅱ)由?得：kx2?(2k?8)x?k?0, 2??y?8x???(2k?8)2?4k2?0?k?0 ????7分 由??k?02k?8,x1x2?1, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则：x1?x2?k∴AM?AN?(x1?2,y1)(x2?2,y2)?(x1?2)(x2?2)?y1y2 ????9分

16?(k?1)x1x2?(2?k)(x1?x2)?4?k??1?17

k?∴0?k?1, ∴??(0,]. ??????12分

421．(本小题满分12分)

Snan?1解：(Ⅰ)?, ∴2Sn?an2?an(n?1)……①, 2Sn?1?an?12?an?1(n?2)……②

an2①-②得：2an?an2?an?12?an?an?1?(an?an?1)(an?an?1?1)?0

an?0, ∴an?an?1?1, 故{an}为等差数列，又在①中令n?1得a1?1, ∴an?1?(n?1)?1?n ??????4分

n(n?1), (Ⅱ)an?n,∴Sn?2111222∴Tn? ???????S1S2Sn1?22?3n(n?1)111112n?2[(1?)?(?)??(?)]?. ??????8分

223nn?1n?12(Ⅲ)m?n?2p, ∴mn?p, ??????9分

112∴SmSn?mn[(a1?am)(a1?an)]?mn[a1?a1(am?an)?aman]

441mn(a1?ap)p2222?mn(a1?2a1ap?ap)?2[]?Sp, ??????11分 4p2∴

1121112??. ????????12分 即??2?,22222222SmSnSpSmSnSmSnSp

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