晶体结构习题

第一章 晶体结构

1、 三维空间有多少种布拉菲格子？画图说明这些布拉菲格子。

解：三维空间有14种布拉菲格子，分别如下图所示：

2、 石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问一个原胞含有几个原子？为什

么？

解：石墨层中一个原胞包含两个原子。图中A和B原子是不等价的，它们的几何处境不相同，因此一个原胞中至少有两个碳原子；如图所示，石墨单层可通过图中虚线框所围，包含A、B两个原子的单元周期性平移得到，它能构成石墨单层的一个原胞，因此石墨层中一个原胞包含两个原子。

3、 利用刚球密堆模型,求证球可能占据的最大体积与总体积之比为：

?(1) 简单立方

6(5) 金刚石；（2）体心立方

322（3）面心立方（4）六角密积?；?；?； 8663?。 16解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?2R，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：

441??R31??R3???33?33?

6a(2R)（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?4R/3，则体心立方的致密度为：

442??R32??R33?3??33?? 38a(4R/3)（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?22R，则面心立方的致密度为：

444??R32??R33??33??a(22R)32? 6（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?2R，

c?(26/3)a?(46/3)R，则六角密积的致密度为：

446??R36??R333????223a3(2R)6?c6?(46/3)R442? 6（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?(8/3)R，则金刚石的致密度为：

448??R38??R33?3??33?? 3316a(8/3)R

4、设有一简单格子，它的基矢分别为a1?3i,a2?3j,a3?1.5(i?j?k)。试求： (1) 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？ (2) 该晶体的倒格子基矢；

(3) 密勒指数为(121)晶面族的面间距； (4) 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？

(5) [1,1,1]晶列与[1,1,1]晶列之间的夹角余弦为多少？

解：（1）由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。 （2）由倒格子基矢的定义可知：

?2?[a2?a3]2??4.5(i?k)2?b???(i?k)?1a?[a?a]13.53123?2?[a3?a1]2??4.5(j?k)2????(j?k) ?b2?a?[a?a]13.53123?2?[a1?a2]2??9k2??b??3a?[a?a]?13.5?1.5k123?（3）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为

d121?2?K121?2?

1?b1?2b2?b3?330?30 10 ?2?2?(i?2j?5k3（4）由于面密度???d，其中d是面间距，?是体密度。对布喇菲格子，?等于常数。因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为(h1h2h3)，则该晶面族的面间距dh1h2h3

应为最大值，所以有

dh1h2h3?2?Kh1h2h3?2?

h1b1?h2b2?h3b3

?2?2?[h1i?h2j?(2h3?h1?h2)k]3?3?max

h1i?h2j?(2h3?h1?h2)k由此可知，对面指数为（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面间距3/2，因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。 （5）[111]与[111]晶列之间的夹角余弦为

cos??

R111?R111R111?R111?(a1?a2?a3)?(a1?a2?a3)a1?a2?a3?a1?a2?a3

?

(4.5i?4.5j?1.5k)?(1.5i?1.5j?1.5k)?4.5i?4.5j?1.5k?1.5i?1.5j?1.5k557

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