椭圆的焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式

F1F2?2ab2222a?ccos?及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：

若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为?，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、

2ab2222短半轴长和焦半距，则有F1F2?a?ccos?。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB?8，焦距F1F2?42，过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、Q两点，设?PF1X??(0????)，当?取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长？

分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且a?4，c?22，从而b?22，故由焦

2ab2222点弦长公式F1F2?a?ccos?及题设可得：

2?4?(22)16?8cos?22?42，解得

cos???2?2，即??arccos2?2或??arccos2?2。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，

16?直线l通过点F，且倾斜角为，又直线l被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的

35方程。

分析：由题意可设椭圆E的方程为

(x?c?3)a22?(y?1)b22?1，又椭圆E相应于F的准线

为Y轴，故有

a2c?c?3 （1）， 又由焦点弦长公式有

22ab22a?ccos2?3?165 （2）

22222又 a?b?c （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：a?4，b?3，c?1，

从而所求椭圆E的方程为

(x?4)4x222?(y?1)32?1。

例3、已知椭圆C：

a?yb22?1（a?b?0），直线l1：

xa?yb?1被椭圆C截得的

弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的求椭圆C的方程。

25，

分析：由题意可知直线l1过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有a2?b2?8， （1）又由焦点弦长公式得

2ab2222a?ccos?=

4a5， （2） 因tan?=3，得???3，（3）

又 a2?b2?c2 （4）。解由（1）、（2）、（3）、（4）联列的方程组得：a2?6，b2?2，

x2从而所求椭圆E的方程为

6?y22?1。

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