2012高中数学 2.4.2第2课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

第2章 2.4.2 第2课时

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．过抛物线y＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )

A．有且仅有一条 C．有无穷多条

解析： 由定义|AB|＝5＋2＝7，

∵|AB|min＝4，∴这样的直线有且仅有两条． 答案： B

2．在同一坐标系中，方程ax＋by＝1与ax＋by＝0(a>b>0)的曲线大致为(

)

22

22

2

2

B．有且仅有两条 D．不存在

解析： 方法一：将方程ax＋by＝1与ax＋by＝0转化为

22

22

2

x2y2a2b2

a112

＝1，y.因为a>b>0，所以>0. 11bba

所以椭圆的焦点在y轴上；抛物线的焦点在x轴上，且开口向左．故选D. 方法二：方程ax＋by＝0中，将y换成－y，其结果不变， 即ax＋by＝0的图形关于x轴对称，排除B、C， 又椭圆的焦点在y轴上，排除A.故选D. 答案： D

3．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )

1A.32C.3

22B.

3D.2 3

2

2

2

解析： 过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，

由抛物线定义可知，AA1＝AF，BB1＝BF， 又∵2|BF|＝|AF|，

∴|AA1|＝2|BB1|，即B为AC的中点．

y＝kx＋

从而yA＝2yB，联立方程组 2

y＝8x

，

82

消去x得y－＋16＝0，

k

8 yA＋yB＝，k∴

yA·yB＝16答案： B

8 3yB＝k 2y2B＝16，

22

，消去yB得k＝故选B.

3

4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y＝4x上一动点P到直线l1

和直线l2的距离之和的最小值是( )

A．2 C.115

2

2

B．3 37D. 16

解析： ∵直线l2：x＝－1恰为抛物线y＝4x准线， ∴P到l2的距离d2＝|PF|(F(1,0)为抛物线焦点)， 所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1距离 |4×1－3×0＋6|

＝2，故选A. 3＋4答案： A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax相切，则a＝________.

x－y－1＝0

解析： 由 2

y＝ax

2

，得ax－x＋1＝0，

2

1

Δ＝1－4a＝0，得a＝.

41

答案：

4

12

6．直线y＝x＋b交抛物线yx于A、B两点，O为抛物线的顶点，且OA⊥OB，则b的

2值为________．

y＝x＋b

解析： 由 12

y＝x 2

2

，得x－2x－2b＝0，

2

Δ＝(－2)＋8b>0，

设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b， 122

于是y1y2＝x1x2)＝b，

4由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0，

故b－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合题意，舍去)．

2

b＝2适合Δ>0.

答案： 2

三、解答题(每小题10分，共20分)

π2

7．设过抛物线y＝2px的焦点且倾斜角为A、B两点，若弦AB的中

4垂线恰好过点Q(5,0)，求抛物线的方程．

解析： 弦AB中点为M，MQ为AB的中垂线，

AB的斜率为1，则lMQ：y＝－x＋

5.

设lAB：y＝x2

p

p y＝x－2联立方程组

y2＝2px.

得x－3px＝0， 4∴x1＋x2＝3p.①

2

p2

y＝－x＋5

联立方程组 p

y＝x－ 2

p

，

得2x＝5＋x1＋x2＝5＋② 22联立①②，解得p＝2， ∴抛物线方程为y＝4x.

8．已知抛物线C：y＝2px(p>0)过点A(1，－2)． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；

(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于

5

l的方程；若不存在，说明理由． 5

2

2

22

p

解析： (1)将(1，－2)代入y＝2px，得(－2)＝2p·1， ∴p＝2，

故所求的抛物线方程为y＝4x， 其准线方程为x＝－1；

(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，

y＝4x由

y＝－2x＋t

2

2

得y＋2y－2t＝0，

2

因为直线l与抛物线C有公共点， 1所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.

2另一方面，由直线OA与直线l的距离等于∴t＝±1，

5|t|5可得， 555

1 1 由于－1 － ，1∈ － ，

2 2

所以符合题意的直线l存在，其方程为y＝－2x＋1.

尖子生题库☆☆☆

9．(10分)已知抛物线C1：y＝4px(p>0)，焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；椭圆C2：1

分别以F1、F2为左、右焦点，其离心率e＝；且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.

2

(1)当p＝1时，求椭圆C2的标准方程；

(2)在(1)的条件下，若直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1相交于A，B两点，

2

若弦长|AB|等于△MF1F2的周长，求直线l的方程．

解析： (1)1；

43(2)①若直线l的斜率不存在， 则l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)， ∴|AB|＝4

又∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2| ＝2a＋2c＝6≠|AB|. ∴直线l的斜率必存在．

②设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)，

y＝4x由 y＝kx

－

2

x2y2

2

2

，得kx－(2k＋4)x＋k＝0，

2222

∵直线l与抛物线C1有两个交点A，B， ∴Δ＝[－(2k＋4)]－4k＝16k＋16>0，且k≠0 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2k＋4

则可得x1＋x2＝2，x1x2＝1

2

4

2

k

2

于是|AB|1＋k|x1－x2| ＝＝＝

＋k

2

x1＋x2

2

2

－4x1x2]

＋k＋k

2＋422－4 k

16 16

k2k4 ＝

＋k

2

2

k2

∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|

＋|F1F2|＝2a＋2c＝6， ∴由

＋k

2

k6，解得k2.

故所求直线l的方程y＝±2(x－1)．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cgyl.html