2019届高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第5讲开普勒

5、开普勒定律 万有引力定律

[基础训练]

1．(2018·湖北武昌实验中学检测)万有引力的发现实现了物理学史上第一次大统一：“地上物理学”和“天上物理学”的统一，它表明天体运动和地面上物体的运动遵从相同的规律．牛顿发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道简化为圆轨道，还应用到了其他的规律和结论．下面的规律和结论没有被用到的是( )

A．开普勒的研究成果

B．卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常量 C．牛顿第二定律 D．牛顿第三定律

答案：B 解析：牛顿在发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道简化为圆轨道就是利用开普勒第一定律，由牛顿第二定律可知万有引力提供向心力，再借助于牛顿第三定律来推算物体对地球的作用力与什么有关系，同时运用开普勒第三定律来导出万有引力定律．而卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常量是在牛顿发现万有引力定律之后，故选B.

2．(2018·湖南岳阳一模)地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离．已知木星公转的轨道半径约5.0天文单位，请估算木星公转的周期约为( )

A．3年 B．5年 C．11年 D．25年

答案：C 解析：根据开普勒第三定律，木星与地球的轨道半径的三次方与公转周期的

R3R3木地

平方的比值相等，据此列式分析即可．根据开普勒第三定律，有：2＝2，故T木＝

T木T地T地＝53×1年≈11

年，选项A、B、D错误，C正确．

?R木?3?R地???

3．(多选)GPS全球定位系统有24颗卫星在轨运行，每个卫星的环绕周期为12小时．GPS系统的卫星与地球同步卫星相比较，下面说法正确的是( )

A．GPS系统的卫星轨道半径是地球同步卫星的

2

倍 23

B．GPS系统的卫星轨道半径是地球同步卫星的

2倍 2

C．GPS系统的卫星线速度是地球同步卫星的2倍 3

D．GPS系统的卫星线速度是地球同步卫星的2倍

答案：BD 解析：万有引力是卫星围绕地球转动的向心力，由G2＝m?

Mmr?2π?2r得卫星运

??T?

动的周期T＝2π

r3，设GPS系统的卫星半径为r1，周期为T1，地球同步卫星半径为r2，GM3

2πr1

T1r13?T1?22v1r1T23

周期为T2，根据周期公式解得＝＝，A错误，B正确；＝＝·＝2，??r22v22πr2r2T1?T2?

T2

C错误，D正确．

4．(2018·河北省三市联考)如图所示，冥王星绕太阳公转的轨道是椭圆，公转周期为

T0，其近日点到太阳的距离为a，远日点到太阳的距离为b，半短轴的长度为c.若太阳的质

量为M，引力常量为G，忽略其他行星对冥王星的影响，则( )

A．冥王星从B→C→D的过程中，速率逐渐变小

B．冥王星从A→B→C的过程中，万有引力对它先做正功后做负功 C．冥王星从A→B所用的时间等于 4D．冥王星在B点的加速度大小为4GM b－a2＋4c2T0

答案：D 解析：根据开普勒第二定律：对每一个行星，其与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，故冥王星从B→C→D的过程中，冥王星与太阳间的距离先变大后变小，故速率先减小后增大，选项A错误；同理从A→B→C的过程中，速率逐渐减小，万有引力做负1

功，选项B错误；冥王星的公转周期为T0，从A→B→C的过程所用时间为T0，由于冥王星

21

在此过程中，速率逐渐减小，而A→B与B→C的路程相等，故其从A→B的时间小于T0，选

4项C错误；根据万有引力充当向心力可得：

GMm22

2＝ma′，由图中几何关系可得：R＝c＋R2?a＋b－a?2＝c2＋b－a?2?4??

2

4GM，联立可得：a′＝24c＋b－a，选项D正确．

5．(2018·辽宁省实验中学质检)设地球是一质量分布均匀的球体，O为地心．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．在下列四个图中，能正确描述x轴上各点的重力加速度g的分布情况的是( )

A

B

C

D

答案：A 解析：设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有mg＝

GMmGM43

2，即g＝2，由于地球的质量M＝πRρ，所以地球表面重力加速度的表达式可RR3

4πGRρ

写成g＝.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为R3－x的井底，物体受到地球的万有引力即为半径等于x的球体在其表面产生的万有引力，g4πGρGM＝x，即当xR时，g＝2，g与x平方成反比，故A正确．

3x6．(2016·河南洛阳尖子生一联)设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆周运动，金星在地球轨道的内侧(称为地内行星)，在某特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线上，这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢

走过太阳表面，天文学称这种现象为“金星凌日”．假设地球公转轨道半径为R，“金星凌日”每隔t0年出现一次，则金星的公转轨道半径为( )

A.

t0

2

1＋t0

3

RB．R?t0?3 ?1＋t0???

C．R?1＋t0?2D．R3?t0?2

?t0??1＋t0?????

R3T2金金

答案：D 解析：根据开普勒第三定律有3＝2，“金星凌日”每隔t0年出现一次，故

RT地

?2π－2π?t＝2π，已知T＝1年，联立解得R金＝3?t0?2，因此金星的公转轨道半径?T金T地?0地?1＋t0?R????

3

R金＝R?t0?2，故D正确．

?1＋t0???

GMm，飞船在距地球中心为r处的引r7．发射宇宙飞船的过程中要克服引力做功，已知将质量为m的飞船在距地球中心无限远处移到距地球中心为r处的过程中，引力做功为W＝力势能公式为Ep＝－

GMm，式中G为引力常量，M为地球质量．若在地球的表面发射一颗人r造地球卫星，如果发射的速度很大，此卫星可以上升到离地心无穷远处(即地球引力作用范围之外)，这个速度称为第二宇宙速度(也称逃逸速度)，已知地球半径为R.

(1)试推导第二宇宙速度的表达式；

(2)已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于M1＝1.98×10 kg，求它的可能最大半径．(引力常量G＝6.67×10

答案：(1)见解析 (2)2.93×10 m

解析：(1)设第二宇宙速度为v，所谓第二宇宙速度，就是卫星摆脱中心天体束缚的最小发射速度．则卫星由地球表面上升到离地球表面无穷远的过程中，根据机械能守恒定律得

3

－11

30

N·m/kg)

22

Ek＋Ep＝0

12Mm即mv－G＝0 2R解得v＝

2GM. R(2)由题意知第二宇宙速度大于c，即

－11

30

2GM1

R1

>c

2GM12×6.67×10×1.98×103

得R1<2＝ m＝2.93×10 m 16

c9×10则该黑洞的最大半径为2.93×10 m．

[能力提升]

8．(2018·江西宜春高安二中段考)如图所示，设火星绕太阳在圆轨道上运动，轨道半径为r，周期为T，火星表面的重力加速度为g，彗星在穿过太阳系时由于受到太阳引力，轨道发生弯曲，与火星在圆轨道的A点“擦肩而过”，已知引力常量为G，忽略其他星体对它们的影响，则( )

3

A．彗星的速度一定大于火星的第三宇宙速度 B．可确定彗星在A点的速度大于火星绕太阳的速度 C．可求出火星的质量 D．可求出火星的第一宇宙速度

答案：B 解析：彗星能够与火星“擦肩而过”，只能说明彗星在A点的速度大于火星绕太阳运动的速度，A错误，B正确；由

GMm?2π?2

＝m??r可知，只能求出太阳的质量，C错误；r2?T?

由于火星的半径未知，所以不能求出火星的第一宇宙速度，D错误．

9．(2018·福建厦门质检)假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，半径分别为RA和RB.这两颗行星周围卫星的轨道半径的三次方(r)与运行周期的平方(T)的关系如图所示，

3

2

T0为卫星环绕行星表面运行的周期．则( )

A．行星A的质量大于行星B的质量 B．行星A的密度小于行星B的密度

C．行星A的第一宇宙速度小于行星B的第一宇宙速度

D．当两行星的卫星轨道半径相同时，行星A的卫星向心加速度小于行星B的卫星向心加速度

23

GMm4π2r4πrGM23

答案：A 解析：根据2＝m2，可得M＝2，r＝2T，由图象可知，A的斜

rTGT4π

率大，所以A的质量大，A正确．由图象可知当卫星在两行星表面运行时，周期相同，将M4GMm3

＝ρV＝ρ·πR代入上式可知两行星密度相同，B错误．根据万有引力提供向心力，则23Rmv2

＝，所以v＝RGM＝R42

πρGR，行星A的半径大，所以行星A的第一宇宙速度也大，3

C错误．两卫星的轨道半径相同时，它们的向心加速度a＝2，由于A的质量大于B的质量，所以行星A的卫星向心加速度大，D错误．

10．(2018·湖南长沙四校一模)将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出( )

GMrgR2

A．地球的质量为

GB．地球自转的周期为2π

g0－g R?3?

g0

C．地球同步卫星的高度为R?－1?

g－g0??

D．地球的第一宇宙速度大小为gR

答案：C 解析：在地球南、北两极时，物体受到的重力与万有引力大小相等，即GMm＝R2

g0R22

mg0，解得M＝，选项A错误；由于在地球赤道上该物体的重力为mg，则有mg0－mg＝mωR，

G可解得ω＝

g0－g2π

，故地球自转的周期为T＝＝2πRω

Rg0－g，选项B错误；由于地球

同步卫星围绕地球转动的周期等于地球自转的周期，故由万有引力定律可得

GMm′

＝

R＋h2?3?

g0

m′ω(R＋h)，解得地球同步卫星的高度为h＝R?－1?，选项C正确；由于地球的

?g0－g?

2

GMm0v2

第一宇宙速度大小等于卫星围绕地球转动的最大速度，则有2＝m0，解得v＝

RR因为GM＝g0R，故v＝g0R，选项D错误．

11．万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体的运动规律具有一致性．

2

GM，又R(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0.

①若在北极上空离地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h＝时F0100算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；

②若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式．

(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R三者均减小1

到现在的，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现100实地球的1年为标准，计算设想的“地球”的1年将变为多长？

答案：见解析

解析：(1)设小物体质量为m

①在北极地面，有G2＝F0；在北极上空离地面h处，有GF1RF2F0

MmRMmR＋h2＝F1.联立可得＝

F1F0

R2R＋h2

RF11

，当h＝时，＝＝0.98.

100F01.012

②在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的拉力，有

223

Mm4πF24πRG2－F2＝m2R，得＝1－. RTF0GMT2

(2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力作用．设太阳质量为MS，地球质量为M，地球公转周期为TE，有

2MSM4π

G2＝Mr2，可得TE＝rTE

4πr23

GMS

＝3π?r?3

??，其中ρ为太阳的密度． Gρ?RS?

由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关．因此设想的“地球”的1年与现实地球的1年时间相同．

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