数值分析简单习题

重点考察内容

第一章： 基本概念 第二章：

Gauss消去法，Lu分解法 第三章：

题型：具体题＋证明，误差分析

三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明

第四章：

掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数 第五章： 最小二乘法计算 第六章：

梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。 高斯求积公式的构造 第七章：

几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。 第九章：

基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。

第一章 误差

1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。 2. 用Taylor展开近似计算函数f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)，这里产生是什么误差？ 3. 0.7499作

3的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几4位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字.

4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确： （1） （3）

11?x?,1?2x1?x|x|?1 （2） x?11?1?,xx|x|?1

1?cosx,xx?0,|x|?1. （4） sin??sin?,???

5. 采用下列各式计算(2?1)6时，哪个计算效果最好？并说明理由。

（1） 116 （2） （3） （4） 99?702(3?22)63(2?1)(3?22)6. 已知近似数x*有4位有效数字，求其相对误差限。

上机实验题：

xkx1、利用Taylor 展开公式计算 e??，编一段小程序，上机用单精度计算e的函数

k?0k!x?值. 分别取 x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分In?? In??110xndx,n?0,1,2,?,20,有如下的递推关系 x?60n?11xxn(x?6)?6xn?11dx??dx?In?1

0x?6x?6n?6可建立两种等价的计算公式 (1) In?11?6In?1,取I0?0.154；1?nIn),取I20?0. (2) In?1?（n6n来计算I1,I2,I3,I4,?,I19，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。

第二章 插值法

1. 已知f(0)?2,f(1)??1，那么差商f[1,0]?_________. 2. n阶差商与导数的关系是f[x0,x1,?,xn]?__________________. 3. 由导数和差商的关系知，f[xi,xi]=__________________。

4. 已知函数f(x)在x?3,1,4的值分别是4，6，9，试构造Lagrange插值多项式。 5.取节点x0?0,x1?1,x2?2, 对应的函数值和导数值分别为f(x0)?1,

f(x1)?2,f'(x1)?2，试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一个条件改为f'(x2)?2，插值多项式如何计算？)

6．已知f(0)?1,f(1)?2,f'(1)?3,f(2)?9，试建立不超过3次的插值多项式，并写出插值余项.

7. 设f(x)?C4[a,b],求三次多项式p3(x),使之满足插值条件

?p(xi)?f(xi),??p'(x1)?f'(x1)i?0,1,2

28. 设P1(x)是过x0,x1的一次插值多项式，f(x)?C[a,b],其中[a,b]是包含x0,x1的任一区

间。试证明：对任一给定的x?[a,b]，在（a,b）上总存在一点?，使得

R(x)?f(x)?P1(x)?f??(?)(x?x0)(x?x)1。 2!n9.证明关于互异节点{xi}in?0的Lagrange插值基函数{li(x)}满足恒等式i?0l0(x)?l1(x)???ln(x)?1

上机习题：

1. 绘制4题的Lagrange的插值函数的图像。

第三章 数据拟合

1. 数据拟合与插值的区别是什么？

2. 最小二乘原理是使偏差?i的___________达到最小

3. 求过点（2,3），（0,1），（3,5）的线性拟合函数。

4. 用最小二乘法求一形如y?a?bx2的多项式，使与下列数据相拟合

x y

19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 第四章 线性方程组的直接解法

1. 线性方程组的解法大致可分为_____________，________________。 2. 平方根法和LDLT分解法要求系数矩阵A满足______________。

3. 上三角和下三角方程组的解法分别称为___________，____________。 4. 严格对角占优矩阵的定义是什么？ 5. 试求下面矩阵的杜利特尔分解

?62?（1） ?。 ??3?4??213??。 457（2） ??????285???15?2??x1??1???x???13?。 0436. 用列主元高斯消去法求解方程组 ????2??????206????x3????3???211??x1??1???x???1?。 6?167. 用LU分解法解方程组 ????2?????1027????x3????2??

上机实验题：

1. 编程实现列主元的高斯消去法 2. 编程实现LU分解法

第五章 线性方程组的迭代解法

?1. 向量x?(3,2,?1,?7)T，计算||x||1，||x||2，||x||?.

?31?2??，计算||A||，||A||，||A||. 0102. A=?2?1????126???20?3. A???, 分别计算A的谱半径?(A), 条件数cond?(A)，||A||1 03??4. 矩阵A的范数与谱半径的关系为__________________________。

5. 求解AX=b的迭代格式x(k?1)?Bx(k)?g收敛的充分必要条件____________________。 6. SOR迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子______________。 7. 写出下面方程的Jacobi迭代格式

?10x1?x2?2x3?7???x1?10x2?2x3?8 ??x?x?5x?43?128. 给定下列方程组，判断对它们构造的Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式是否收敛

?5x1?5x2?x3?2?5x1?2x3?7?（1） ? （2） ??5x1?12x2?8

?2x1?x2?8?x?x?5?139. 对下列方程组建立收敛的简单迭代公式（提示：先调整方程组）

?16?2??x1??1??3?26??x???2? ???2?????41?1????x3????4??10. 给定方程组

?12?2??x1??1??111??x???2?， ???2?????221????x3????1??（1）分别写出Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式。 （2）证明Jacobi迭代法收敛，而Gauss-Seidel迭代法发散。

上机实验题：

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