中考数学几何专题之手拉手模型（初三数学）

手拉手模型

【课堂导入】

什么是手拉手相似基本图形 ？与手拉手全等的基本图形类似，手拉手相似要比手拉手全等更具有一般性。

在上面右侧的四个图形中，每一个图形中都存在两对相似三角形，△ADE∽△ABC，△ADB∽△AEC，这两对相似三角形是可以彼此转化的。

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【例1】 已知：△ABC，△DEF 都是等边三角形，M 是 BC 与 EF 的中点，连接 AD，BE. （1）如图 1，当 EF 与 BC 在同一条直线上时，直接写出 AD 与 BE 的数量关系和位置关系；

oo（2）△ABC 固定不动，将图 1 中的△DEF 绕点M 顺时针旋转 （ ≤ 0 ≤90 ）角，如图 2 所

示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立， 说明理由；

【例2】 以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°． 点 E、F、M 分别是 AC、CD、DB 的中点，连接 FM、EM．

M①如图 1，当点D、C 分别在 AO、BO 的延长线上时 F EM②如图 2，将图 1 中的△AOB 绕点 O 沿顺时针方向旋转60度 角，其

M他条件不变，判断F 的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； EM

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【例3】 如图 1，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点 E，F 分别是线段 BC，AC 的中点，连结 EF． （1）线段 BE 与 AF 的位置关系是_______， AF=_______．

BE（2）如图 2，当△CEF 绕点 C 顺时针旋转α时（0°＜α＜180°），连结 AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

【例4】 如图 1，在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，过点 F 作 CD 的垂线，两垂线交于点G，连接 AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．

（1） 求证：AD=BC． （2） 求证：△AGD∽△EGF．

（3） 如图 2，若 AD、BC 所在直 线互相垂直，求 EFAD 的值．

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【例5】 如图 1，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F 是 AC 边上的一个动点（点 F 与 A、C 不重合），以 CF 为一边在等腰直角三角形外作正方形 CDEF，连结 BF、AD．

(1)①猜想图 1 中线段 BF、AD 的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；

②将图 1 中的正方形 CDEF，绕着点 C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图 2、图 3 的情形．图 2 中 BF 交 AC 于点 H，交 AD 于点 O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图 2 证明你的判断．

(2)将原题中的等腰直角三角形 ABC 改为直角三角形 ABC，∠ACB=90°，正方形 CDEF 改为矩形 CDEF，4 如图4，且 AC=4，BC=3，CD= ，CF=1，BF 交 AC 于点H，交 AD 于点O，连接 BD、AF，求 BD2 +AF2 的值．

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