河南省郑州市第四中学2013届高三第十四次调考数学（理）试题

河南省郑州市第四中学2013届高三 第十四次调考数学（理）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.多选、错选、漏选均不得分 1、在?ABC中，?A,?B,?C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,b=7,?B=面积为

A．33 B.

?,则?ABC的3333 C. D. 223 2、已知|OA|?|OB|?1,?AOB?2?,OC?OA?2OB,则OC与OB夹角为 3???2?A． B. C. D.

63232x2y23、抛物线y?4x的焦点F是椭圆2?2?1(a?b?0)的一个焦点，且它们的交点M到

abF的距离为

5，则椭圆的离心率为 3A.

3631 B. C. D.

23324、设f(x)为周期是2的奇函数，当0?x?1时，f(x)=x(x+1),则当5?x?6时，f(x)的表达

式为

A.（x-5）(x-4) B.(x-6)(x-5) C.(x-6)(5-x) D.(x-6)(7-x) 5、已知sin(???)?17,则sin(2???)? 361771A. B. ? C. D. ?

9999766、盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为

3922 B. C. D. 51035?7、由y=f(x)的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍

31得到y=2sin(3x??)的图象，则 f(x)为

6311311A. 2sin(x??) B．2sin(6x??) C. 2sin(x??) D. 2sin(6x??)

266233A.

8、若定义在R上的函数f(x)满足f(1?x)?f(x?3),且(x?2)f(x)<0 a=f (log25),b=f (log415),c=f (20.5')，则a,b,c的大小关系为

A．a>b>c B. c>b>a C. b>a>c D. c>a>b

9、下列说法正确的个数是

(1)线性回归方程y?bx?a必过(x,y)

i2?i3?i411??i （2）复数

1?i22（3）若随机变量?N(2,1)，且p(?<4)=p,则p（0

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2?x?0?ax?210、函数f(x)= ?2 在(??,??)上是单调函数的必要不充分条件是 ax??(a?1)ex?0?A. a??3或3?a?3 B. a?1或a?3 2B. C. a??1或a?3 D. a??3或1?a?3 211、已知平面?截一球面得圆M，过圆心M且与?成

?角的平面?截该球面得圆N若圆3M、圆N面积分别为4?、13?，则球面面积为

A.36? B.48? C.64? D.100?

x2y212、已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点分别为F1,F2，e为双曲线的离心率，

abP是双曲线右支上的点，?PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=

A．a B. b C. ea D. eb

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每个小题均只有一个正确答案，错填、

漏填均不得分

1??1513、?x??的展开式中含x的项的系数为n，则运行如图所

3x??示的程序，输出的结果是__________

14、f(x)?x?a,若对任意x?(?2,1)，f(x)?的取值范围是________

15、已知60的二面角??l??,点A??，AC?l，C为垂足，

02x181恒成立，则a2B??，BD?l，D为垂足，若AC=BD=DC=1则AB与?面所成

角的正弦值为__________

16.已知实数a,b满足?1?a?1,?1?b?1，则函数f(x)= 都在(0,1)内的概率为______

三、计算题：本题共6小题， 共70分

17、a2,a5是方程x?12x?27?0的两根, 数列?an?是公差为正的等

2P13x?ax2?bx?5的两个极值点3差数列，数列?bn?的前n项和为Tn,且Tn?1?(1)求数列?an?,?bn?的通项公式;

(2)记cn=anbn,求数列?cn?的前n项和Sn.

1bn?n?N??. 2DBCA18、如图，三棱锥P-ABC中，PC?平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD?平面PAB

(1)求证：AB?平面PCB；(2)求异面直线AP与BC所成角的大小； (3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。

]19、由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎， 小数点后的一位数字为叶）如图示： （1） 指出这组数据的众数和中位数；

（2） 若视力测试结果不低于5.0，则称为“健康视力”，求校医从这16人中随机选取3

人，至多有1人是“健康视力”的概率；

（3） 以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3

人，记?表示抽到“健康视力”学生的人数，求?的分布列及数学期望

4 3 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 9 5 0 1 1 2[来源:学#科#网]

x2?y2?1左，右焦点。 20、设F1,F2分别是椭圆的4（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1?PF2??源:学]

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点A,B，且?AOB为锐角（其中

O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。

[来 5，求点P的坐标。[来4源:21.（本题满分为12分）

??x3?x2?bx?c,x?1??已知函数f(x)??的图像过坐标原点O，且在点(?1,f(?1))x?1?alnx,??处的切线的斜率是?5．

（1）求实数b,c的值； （2）求f?x?在区间??1,2?上的最大值；

（3）对任意给定的正实数a，曲线y?f(x)上是否存在两点P,Q，使得?POQ是以O为 直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上？请说明理由．

选考题：（本小题满分10分）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

[来源:Zxxk.Com]

22．（本小题10分）选修4－1：几何证明选讲

已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A 点，CD是∠ACB的平分线且交AE于点F，交AB于点D． （1）求∠ADF的度数； （2）若AB＝AC，求23选修4-4：参数方程与极坐标

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方

AC的值． BC程为?sn(???4)??x??1?cos?2a，曲线C2的参数方程为?，（?为参数，2y??1?sin??。 0????）

（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；

（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围。 24、选修4-5：不等式选讲

已知a,b,c都是正数，且a,b,c成等比数列，求证：a?b?c?(a?b?c)

2222答案解析：

18、解：（1）? PC?平面ABC，AB?平面ABC，?PC?AB，

?CD?平面PAB，AB?平面PAB， ?CD ?AB。又PC?CD?C，?AB

?平面PCB

（2）由（1）AB ?平面PCB ，?PC=AC=2， 又?AB=BC， 可求得BC=

2以B为原点，如图建立空间直角坐标系，

则A（0，2，0），B（0，0，0）， C（2，0，0） P（2，0，2）

[来源学科网]

AP=（2，-2，2），BC=（2，0，0） 则AP?BC=2?2+0+0=2

cos?AP,BC??AP?BC21APBC?22?2?2 ?异面直线AP与BC所成的角为?3（3）设平面PAB的法向量为m=（x，y，z）

AB=（0，-2，0），AP=（2，?2，2）

??AB?m?0则?，即，得m=（2，0，-1）设平面PAC的法向量为n=（x，y，z） ??AP?m?0??PC?n?0PC=（0，0，-2），AC=（2，-2，0），则?

??AC?n?0得n=（1，1，0）cos=

m?n23 ??mn33?23 3

?二面角C-PA-B大小的余弦值为

20、解：（Ⅰ）易知a?2,b?1,c?3。?F1(?3,0),F2(3,0).设p(x,y)(x?0,y?0)

225x2（?3?x,?y）(3?x,?y)?x?y?3??,又?y2?1， 则PF1?PF2?447?22?x?1x?y??x2?1?3???4p(1,) 联立?2，解得?23??，32?y??y??x?y2?14?2???4（Ⅱ）显然x?0不满足题设条件 可设

l的方程为y?kx?2,设A(x1,y1),B(x2,y2).

?x2??y2?1联立?4?x2?4(kx?2)2?4?(1?4k2)x2?16kx?12?0

?y?kx?2??x1x2?1216k ,x?x??121?4k21?4k222222由??(16k)?4?(1?4k)?12?0 16k?3(1?4k)?0,4k?3?0 得k?231 ○4又?AOB为锐角?cos?AOB?0?OA?OB?0，

?OA?OB?x1x2?y1y2?0 又

y1y2?(kx1?2)(kx2?2)?k2x1x2?2k(x1?x2)?4[来源:学§科§网]

?x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?2k(x1?x2)?4

1216k12(1?k2)2k?16k4(4?k2)?(1?k)??2k(?)?4???4??0,

1?4k21?4k21?4k21?4k21?4k222 ?k2?4. ○

1○2可知综○21、解：

333?k2?4,?k的取值范围是（?2，?）?（，2） 422322（I）当x?1时，f(x)??x?x?bx?c,则f?(x)??3x?2x?b． （1分）

依题意，得??f(0)?0?c?0 即?，解得b?c?0． （3分）

?f(?1)??5?3?2?b??5????x3?x2,x?1（II）由（1）知，f(x)??

?alnx,x?1①当?1?x?1时f?(x)??3x?2x??3x(x?), 令f?(x)?0,得x?0,或x?

2232 （4分） 3当x变化时f?(x),f(x)的变化情况如下表：

x (?1,0) - 单调递减 0 0 极小值 2(0,) 3+ 单调递增 2 30 极大值 源:学_科_网][来（2,1） 3f?(x) f(x) - 单调递减 又f(?1)?2,f()?234,f(0)?0, 27所以f(x)在??1,1?上的最大值为2． （6分） ②当1?x?2时，f(x)?alnx

当a?0时， f(x)?0，所以f(x)的最大值为0 ；

当a?0时，f(x)在?1,2?上单调递增，所以f(x)在?1,2?上的最大值为aln2．（7分） 综上所述，

2时，f(x)在??1,2?上的最大值为2； ln22当aln2?2，即a?时，f(x)在??1,2?上的最大值为aln2 ． （8分）

ln2当aln2?2，即a?（III）假设曲线y?f(x)上存在两点P,Q满足题设要求，则点P,Q只能在y轴的两侧． 不妨设P(t,f(t)),(t?0)，则Q(?t,t?t)，显然t?1 因为?POQ是以O为直角顶点的直角三角形， 所以OP?OQ?0，即?t?f(t)(t?t)?0 ①

若方程①有解，则存在满足题意的两点P,Q；若方程①无解，则不存在满足题意的两点P,Q 若0?t?1，则f(t)??t?t，代入①式得?t?(?t?t)(t?t)?0，

即t?t?1?0，而此方程无实数解，因此t?1． （10分） 此时f(t)?alnt，代入①式得,?t?(alnt)(t?t)?0即令h(x)?(x?1)lnx

因为t?1，所以h(t)?h(1)?0，当t???时，h(t)???，所以h(t)的取值范围为

232322323223232421?(t?1)lnt ② a1'x)?lnx??1?0则h((x?1)，

x，所以h(x)在?1,???上单调递增，

?0,???．所以对于a?0，方程②总有解，即方程①总有解．

因此对任意给定的正实数a，曲线y?f(x)上总存在两点P,Q，使得?POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y轴上． （12分） 23、解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为?(

222sin??cos?)?a, 222∴曲线C1的直角坐标方程为x?y?a?0．

（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为(x?1)?(y?1)?1(?1?y?0),为半圆弧， 如下图所示，曲线C1为一族平行于直线x?y?0的直线， 当直线C1过点P时，利用22?1?1?a2?1得a??2?2，

B ?1 y O P

舍去a??2?2，则a??2?2， 当直线C1过点A、B两点时，a??1，

x ?1A ∴由图可知，当?1?a??2?2时，曲线C1与曲线C2有两个公共点． 222224、证明：a?b?c?(a?b?c)?2(ab?bc?ac) 因为a,b,c成等比数列，所以 b?ac 又因为a,b,c都是正数，所以0?b?所以 a?c?b

2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b)?2b(a?c?b)?0

所以，a?b?c?(a?b?c) ………… 10分

222222ac?a?c?a?c ………… 4分2[来源:学科网ZXXK]

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