福建省漳州市2016届高三数学第二次模拟考试试题 文

2016年漳州市高三毕业班适应性练习

数学(文科)(二)

（满分150分，答题时间120分钟）

注意事项：

1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷

3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。 3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．

（1）已知集合A?xa?2?x?a?2,B?xx??2或x?4????，则A?B??的充要条

件是

（A）0?a?2 （B）?2?a?2 （C）0?a?2 （D）0?a?2

a＋3i

（2）已知复数是纯虚数，则实数a＝

1－2i

（A）－2 （B）4 （C）－6 （D）6

x2y2（3）已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线过点??1,2?，

ab则C的离心率为

（A）5 （B）3 （C）53 （D） 22（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S

的值为

（A）64 （B）73 （C）512 （D）585 （5）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中，面积最

大的是

（A）8 （B）10 （C）62 （D）82 （6）要得到函数y?sin2x的图象，只需将函数y?sin(2x?)的图象

π3ππ个单位长度 （B）向左平移个单位长度 66ππ（C）向右平移个单位长度 （D）向左平移个单位长度

33（A）向右平移

1

（7）已知两个单位向量e1，e2的夹角为?，则下列结论不正确的是 ．．．

（A）e1在e2方向上的投影为cos? （B）e12?e22 （C）?e1?e2???e1?e2?

（D）e1?e2?1

（8）已知点A（43，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转∠COB＝α，则tanα＝ （A）

?至OB，设C（1，0）， 63 12（B）

3 3 （C）

103 11 （D）

53 11?y?x≤1,?（9）设x，y满足约束条件?x?y≤3, 若z?x?3y的最大值与最小值的差为7，则实数

?y≥m,?m?

3 （A）

2

（B）?x3 2 （C）

14

（D）?1 4（10）已知x0是函数f(x)＝2＋

（A）f(x1)<0，f(x2)<0 （C）f(x1)>0，f(x2)<0

21

的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则 1－x（B）f(x1)<0，f(x2)>0 （D）f(x1)>0，f(x2)>0

（11）已知函数f?x???x?2x?3，若在区间??4,4?上任取一个实数x0，则使f?x0??0成立的概率为

124 （B） （C） （D）1

2325（12）数列?an?满足a1?1，对任意的n?N*都有an?1?a1?an?n，则

111????? a1a2a20162015403240342016（A） （B） （C） （D） 2016201720172017 （A）

二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡的相应位置上． (13)抛物线y?4x上的点P到它的焦点F的最短距离为________．

(14)已知数列?an?满足an?1?3an，且a2?a4?a6?9，则log1(a5?a7?a9)?_______．

32(15)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A-BCD，则四面体

A-BCD的外接球的体积为________．

2

?log2x,x?0,fx?(16)已知函数???x且关于x的方程f?x??x?a?0有且只有一个实根，

3,x?0,?则实数a的取值范围是________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分） 如图，在△ABC中，?ABC＝90°，AB?23，BC?2，P为△ABC内一点， ?BPC＝90°．

（Ⅰ）若PB?1，求PA；

（Ⅱ）若?APB＝150°，求tan?PBA．

（18）（本小题满分12分） 为了解漳州市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5，6，7，8，9，10．规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：

（Ⅰ）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；

（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

（19）（本小题满分12分） 如图，四边形PCBM是直角梯形，?PCB?90?，PM//BC，PM?1,BC?2，又AC?1,?ACB?120?，AB?PC，AM=2． （Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC； （Ⅱ）求三棱锥P?MAC的体积．

(20)（本小题满分12分）

P M 评估的平均得分 全市的总体交通状况等级 (0,6) 不合格 [6,8) 合格 [8,10] 优秀 C A B x2y21F2，已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1、其离心率e?，点P为

2ab椭圆上的一个动点，?PF1F2面积的最大值为43．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，

????????????????AC?BD?0，求AC?BD的取值范围．

3

(21)（本小题满分12分）

设函数f?x??axlnx?b?x?1?,?x?0?，曲线y?f?x?过点e,e?e?1，且在点

22???1,0?处的切线方程为y?0．

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）证明：当x?1时，f?x???x?1?；

（Ⅲ）若当x?1时f?x??m?x?1?恒成立，求实数m的取值范围．

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

(22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：

（Ⅰ）∠DEA=∠DFA ；

（Ⅱ）AB?BE?BD?AE?AC．

222ED

F BOA

C

(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为??2(cos??sin?)．

（Ⅰ）求C的直角坐标方程；

1?x?t?2?（Ⅱ）直线l:?（t为参数）与曲线C交于A,B两点，与y轴交于E，求?y?1?3t?2?EA?EB．

(24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)?|2x?a|?|2x?3|，g(x)?|x?1|?2． （Ⅰ）解不等式|g(x)|?5；

（Ⅱ）若对任意x1?R，都存在x2?R，使得f(x1)?g(x2)成立，求实数a的取值范围．

4

2016年漳州市高三毕业班适应性练习

数学(文科)(二) 参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．

（1）．答案：A．解析：根据题意可得，??a?2??2，解得0?a?2．

?a?2?4a＋3ia－6＋?2a＋3?ia＋3i

（2）．答案：D．解析： ＝，∴当a＝6时，复数为纯虚数．

1－2i51－2i

（3）．答案：A．解析：∵点(?1，2)在直线

bb∴4a2?c2?a2，∴e?5． y??x上，2?，b?2a，aa（4）．答案：B．解析：因为输入的x的值为1，第一次循环S=1，x=2；第二次循环S=9，

x=4；第三次循环S=73，此时满足输出条件，故输出，则输出S的值为73． （5）．答案B．解析：根据几何体的三视图确定几何体的形状，并画出几何体的直观图，标

示已知线段的长度，最后求各个面的面积确定最大值．由三视图可知，四面体的四个面都是直角三角形，面积分别为6．8．10．62，所以面积最大的是10． （6）．答案B．解析：把函数y=sin2x的图象向右平移

π个单位即可得到函数 y=sin2（x6πππ﹣）sin(2x?)的图象，故要得到函数y=sin2x的函数图象，可将函数y?sin(2x?)633π的图象向左至少平移个单位即可．

6??????????（7）．答案：D．解析：因为e1,e2为单位向量，其夹角为?，所以e1在e2方向上的投影为cos?，

A真；根据向量平方等于向量模的平方，B真；根据两向量数量积为0，则向量垂直，C

?????真；e1?e2?cos????1,1?，D假．

1

（8）．答案：D 解析：设∠COA＝θ，则tanθ＝，

43π

tanθ＋tan6π53

∴tanα＝tan(θ＋)＝＝，故选D．

6π11

1－tanθtan6(9)．答案：C

解析：作出不等式组表示的平面区域，即可行域（如图所示）．

5

??y－x＝1，??x＝1，?解方程组得?，即A(1，2)， ??x＋y＝3，??y＝2.???y＝m，?x＝m－1，

解方程组?得?，即B(m－1，m)，

??y－x＝1，y＝m.??

11

由目标函数为z＝x＋3y，作出直线y＝－x＋z，可知直线经过点A时，z取得最大值，

33

zmax＝1＋3×2＝7；直线经过点B时，z取得最小值，zmin＝m－1＋3m，则

1

7－(4m－1)＝7，解得m＝，故选C．

4

(10)．答案：B. 由数形结合可得.

1． 2(12)．答案：B．解析：因为a1?1，且an?1?a1?an?n，即an?1?an?n?1，所以

(11)．答案：B．解析：由f?x0??0得?1?x0?3．所以所求概率为当n?2时，an??an?an?1???an?1?an?2?????a2?a1??a1

n?n?1?． 2n?n?1?121??1当n?1时也成立．所以an?，??2???．

2ann?n?1?nn?1??=n??n?1????2?1?所以数列??1??的前n项和 a?n???1??11?1??1?2n?1? Sn?2??1????????????21???????nn?1???n?1?n?1??2??23?1112?20164032所以?． ?????a1a2a20162016?12017二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡的相应位置上． (13)．答案：1．解析：P?x0,y0?,?x0?0?，根据焦半径公式PF?x0?1?1． (14)．答案：?5．解析：∵an+1=3an ∴数列{an}是以3为公比的等比数列， ∴a5+a7+a9= q

（a2+a4+a6）=9×3=3

3

5

3

∴log1(a5?a7?a9)??5．

3125π

(15)．答案：．解析：设AC与BD相交于O，折起来后仍然有OA＝OB＝OC＝OD，∴外

6

22

3＋454π?5?3125π

接球的半径r＝＝，从而体积V＝×??＝．

2236?2?

6

(16)．答案：(1，＋∞)．解析：方程f(x)＋x－a＝0的实根也就是函数y＝f(x)与y＝a－x的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数图象，显然当

a≤1时，两个函数图象有两个交点，当a>1时，两个函数图象

的交点只有一个．所以实数a的取值范围是(1，＋∞)． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)．解：（Ⅰ）由已知得∠PBC=60，∴∠PBA=30，

在△PBA中，由余弦定理得

o

oPA?23?1?2?23?1?cos30??7

∴PA?7 ???6分

（Ⅱ）设∠PBA=?，由已知得?PCB??，PB=2sin?， 在△PBA中，由正弦定理得∴tan?=2??2232sin?，化简得3cos??4sin?， ?sin150?sin?30????33，∴tan?PBA=．???????12分 441(18)．解：（Ⅰ）6条道路的平均得分为(5?6?7?8?9?10)?7.5????3分

6

∴该市的总体交通状况等级为合格． ???????????5分

（Ⅱ）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．??6分 从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为：

(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10)共15个基本事件 ???????????8分

事件A包括(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9)共7个基本事件．?10分 ∴P(A)?7． ??????????????11分 15 答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为(19)．（Ⅰ）证明：由?PCB?90?得PC?CB 又因为AB?PC，AB?BC?B， AB,BC?平面ABC P 7．??12分 15M 所以PC?平面ABC．????????? 3分 N H C 又PC?平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABC． ????? 5分 A (Ⅱ) 解：在平面PCBM内，过M做MN?BC交BC于N，连结AN，则CN=PM=1， 又PM//BC，得四边形PMNC为平行四边形，所以PC//MN且PC?MN 由（Ⅰ）得PC?平面ABC，所以MN⊥平面ABC, ??????? 7分 在?ACN中，AN?AC?CN?2AC?CNcos120??3，即AN?3． 又AM=2．∴在Rt?AMN中，有PC?MN?1．

7

222B 在平面ABC内，过A做AH?BC交BC于H，则AH?平面PMC 因为AC?CN?1,?ACB?120?，所以?ANC?30?． ∴在Rt?AHN中，有AH?而S?PMC?13AN? ????????????? 9分 2211?1?1? ?????????????????? 10分 221133∴VP?MAC?VA?PMC??? ????????????? 12分 ?32212(20)．解：（Ⅰ）由题意得,当点P是椭圆的上、下顶点时，?PF1F2的面积取到最大值1分

1 此时 S?PF1F2?F1F2?OP?bc,?bc?43 ?????????2分

21 ?e?,b?23,a?4??3分

2x2y2??1 ?????????4分 所以椭圆方程为

1612（Ⅱ）由（I）得，则F1的坐标为 ????????? 5分 （?2,0）????????因为AC?BD?0,所以AC?BD

???????? ①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得AC?BD?6?8?14．?6分

②当直线AC斜率k存在且k?0时，其方程为y?k(x?2)，设A(x1,y1)，C(x2,y2)

?y?k(x?2)?2222由?x2y2得(3?4k)x?16kx?16k?48?0 ????7分

?1???1612?16k216k2?48x1?x2?,x1x2? ????????8分

3?4k23?4k2????24(k2?1)2 AC?1?kx1?x2?3?4k2 1此时直线BD的方程为y??(x?2) ??????????????9分

k1?y??(x?2)?????24(k2?1)??k同理由?2可得BD? 224?3k?x?y?1??1612?24(k2?1)24(k2?1)????????168(k2?1)2???????10分 AC?BD???22224?3k3?4k(4?3k)(3?4k)?????????1682令t?k?1，则 AC?BD?(t?1)????11分

t?112?2t??????t?11???16896?t?1,0?2?，AC?BD??[,14)

t?1t4712?2t????????96综上，AC?BD的取值范围是[,14]??????????12分

7

8

(21)．解：（Ⅰ）f??x??2axlnx?ax?b,?x?0?，

?f?(1)?a?b?0，f(e)?ae2?b(e?1)?a(e2?e?1)?e2?e?1

?a?1，b??1． ??????? 3分 （Ⅱ）f(x)?x2lnx?x?1，

设g(x)?x2lnx?x?x2，(x?1)，g?(x)?2xlnx?x?1

?由g??x??2lnx?1?0，?g?(x)在?1,???上单调递增，

???g?(x)?g?(1)?0，?g(x)在?1,???上单调递增，?g(x)?g(1)?0． ?f(x)?(x?1)2． ??????? 7分

（Ⅲ）设h(x)?xlnx?x?m(x?1)?1,(x?1)，h?(x)?2xlnx?x?2m(x?1)?1， 由（Ⅱ）中知xlnx?(x?1)?x?1?x(x?1)，?xlnx?x?1，

2222?h?(x)?3(x?1)?2m(x?1)??3?2m??x?1?， ???????9分

①当3?2m?0即m?3时，h?(x)?0，?h(x)在[1,??)单调递增，2?h(x)?h(1)?0，成立． ???????10分

3②当3?2m?0即m?时，h??x??2xlnx??1?2m??x?1?

2(h?(x))??2lnx?3?2m，令?h??x????0，得x0?e?h(x)?h(1)?0，不成立．???????11分

3综上，m?． ???????12分

22m?32?1，

当x??1,x0?时，h??x?单调递减，则h?(x)?h?(1)?0，?h(x)在?1,x0?上单调递减

(22)．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 证明：（Ⅰ）连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠EFA=90°则A、

D、E、F四点共圆????4分 ∴∠DEA=∠DFA ????5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BD?BE=BA?BF ???6分

又△ABC∽△AEF ∴

ABAC? AEAF即：AB?AF=AE?AC ???????8分

2

∴ BE?BD-AE?AC =BA?BF-AB?AF=AB(BF-AF)=AB???????10分 (23)．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由??2?cos??sin??得??2??cos??sin??， 2得直角坐标方程为x?y?2x?2y，即?x?1???y?1??2；???????5分

2222（Ⅱ）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得t2?t?1?0，点E对应的

参数t?0，设点A，B对应的参数分别为t1,t2，则t1?t2?1，t1t2??1 ， 所以|EA|?|EB|?|t1|?|t2|?|t1?t2|?

9

?t1?t2?2?4t1t2?5．???????10分

(24)．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（Ⅰ）由x?1?2?5得?5?x?1?2?5 ???????2分

??7?x?1?3，得不等式的解集为?x?2?x?4? ?????????5分

（Ⅱ）因为任意x1?R，都有x2?R，使得f(x1)?g(x2)成立， 所以{y|y?f(x)}?{y|y?g(x)}，???????6分

又f(x)?2x?a?2x?3?|(2x?a)?(2x?3)|?|a?3|，???????7分

g(x)?|x?1|?2?2，???????8分

所以|a?3|?2，解得a??1或a??5，???????9分

所以实数a的取值范围为a??1或a??5 ?????????10分

10

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