高考文科数学第一轮复习专题1：集合

专题1：集合

【考试要求】

1、集合的含义与表示

（1）了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。

（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法和描述法）描述不同的具体集合。 2、集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义。 3、集合的基本运算

（1）理解两个集合并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集。 （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。 （3）能用Venn图表达集合的关系及运算。

【知识要点】

1、元素与集合

（1）集合中元素的三个特性： 、 、 。 （2）集合中元素与集合文字语言 符号语言 的关系： 属于 不属于

2、集合间的基本关系：

相等 子集 真子集 文字语言 集合A与集合B中所有元素都相同 集合A中任意元素均为集合B中的元 素 集合A中任意元素均为集合B中的元 素，且集合B中至少有一元素不是集合A中的元素 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 符号语言 空集 ??A，?TB(B??) 思考：a {a}；? {0}；? {?}

感悟：正确理解集合的含义，正确使用集合的基本符号。 3、集合的基本运算 符号表示 图形表示 意义 集合的并集 AB 集合的交集 AB 集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为eUA {x| } {x| } {x| }

4、常用的结论 （1）痧u(AB)?(UA)( B)?(UA)( UB)；痧u(AUB)

（2）A?B?AB? ；A?B?AB?

11思考： 已知A?{x|?0}，那么euA?{x|?0}对么？如何正确求集合A的补集？

xx感悟：补集不是原集合描述的反方面，体会求补集的正确方法。

【考点精练】

考点一：集合的有关概念

1、已知集合A?{a?2013,a2?1012a?2013,2012}，且2013?A，求实数a的取值集合。

变式：已知集合{a,

2、用适当的符号填空：已知A?{x|x?3k?2,k?Z}，B?{x|x?6m?1,m?Z}，则由：17 A；?5 A；17 B。

3、设集合A?{?1,1,3}，B?{2?a,a?4}，则A2b,1}与集合{a2,a?b,0}相等，求a2013?b2013的值。 a实数a的值为 。 B?{3}时，

4、下列各组中各个集合的意义是否相同？为什么？ （1）{1,5}，{(1,5)}，{5,1}，{(5,1)} （2）{x|x?0}，{0}，{(x,y)|x?0,y?R}

22（3）{x|x?ax?1?0}，{a|方程x?ax?1?0有实根}

规律总结：

1、解决此类题目，应利用集合相等的定义，首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况相等，然后列出方程组求解；

2、对于含有字母的集合，在秋初字母的值后，注意检验集合是否满足互异性；

3、研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件（或叫做元素的特点描述），当集合用描述法表示时，尤其要注意元素表示的意义是什么。常见的一些形式有：

（1）{x|f(x)?0}：方程f(x)?0的根 （2）{x|f(x)?0}：不等式f(x)?0的解集 （3）{x|y?f(x)}：函数y?f(x)的定义域 （4）{y|y?f(x)}：函数y?f(x)的值域

（5）{(x,y)|y?f(x)}：函数y?f(x)图像上的点集 考点二：集合间的基本关系

1、设全集为R，集合M?{x|y?2x?1}，N?{y|y??x2}，则（ ） A、M?N B、N?M C、M?N D、M

2、设集合A?{(x,y)|4x?y?6}，B?{(x,y)|3x?2y?7}，则满足C?(A合C的个数是（ ）

A、0 B、1 C、2 D、3

3、若x?A，则

N?{(?1,?1)}

B)的集

111?A，就称A是伙伴关系的集合，集合M?{?1,0,,,1,2,3}的所有非x32空子集中具有伙伴关系的集合各数是 。

4、设A?{x|x?8x?15?0}，B?{x|ax?1?0}

21，试判定集合A与B的关系； 5（2）若B?A，求实数a组成的集合C。

（1）若a?

规律总结：

1、判断两个集合关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是利用列举法表示集合，从元素中寻找；

2、集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集，空集是反例；

3、若集合A有n个元素，则其子集数为2，真子集数为2?1

考点三：集合的基本运算

1、已知A、B均为集合U?{1,3,5,7,9}的子集，且A（ ）

A、{1,3} B、{3,7,9} C、{3,5,9} D、{3,9}

2、若全集为实数集R，集合A?{x|log1(2x?1)?0}，则eRA?（ ）

2nnB?{3}，(eUB)则A?A?{9}，

A、(,??) B、(1,??) C、[0,][1,??) D、(??,][1,??)

3、已知集合A?{是 。

4、设集合A?{x|x?1?0或x?4?0}，B?{x|2a?x?a?2}

（1）若AB??，求实数a的取值范围； （2）若AB?B，求实数a的取值范围。

规律总结：

1、在进行集合的运算时，要尽可能借助Venn图和数轴使抽象的问题直观化。一般地集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示。另外，使用数轴时一定要注意端点值的取舍；

2、在解决有关已知集合关系（如AB??，AB??，A?B等）求参数范围问题时，往往容易忽略空集的情形，因此一定要先对空集进行讨论，以防露解。另外解决这类问题还要注意分类讨论和数形结合思想的应用；

3、常用的一些结论：AB?B?B?A，AB?B?A?B

1212121?1}，B?{x|2a?x?3a?1}，若A?B，则a的取值范围x?2【考题预测】

1、已知集合A?{x|x?x?2?0}，B?{x|?1?x?1}，则（ ）

2A、ATB B、BTA C、A?B D、AB??

2、已知集合A?{(x,y)|x,y为实数且x2?y?1}，B?{(x,y)|x,y为实数且y?x，则

AB的元素个数为（ ）

A、4 B、3 C、2 D、1

【巩固练习】

1、设U?{小于7的正整数}，A?{1,2,5}，B?{x|（ ）

A、{1} B、{2} C、{1,2} D、{1,2,5}

2、设集合A?{x|y?x2?4}，B?{y|y?x2?4}，C?{(x,y)|y?x2?4}，则下列关系不正确的有（ ）

①AC??；②A?C；③A?B；④B?C A 、1个 B、2个 C、3个 D、4个

3?1?0,x?N}，则A(eUB}?2?xx2y2??1}，3、设集合A?{(x,y)|则AB的子集的个数是（ ） B?{(x,y)|y?3x}，416A、4 B、3 C、2 D、1

1,x?2}，则eUP?（ ） x111A、[,??) B、(0,) C、(0,??) D、(??,0][,??)

2224、已知U?{y|y?log2x,x?1}，P?{y|y?5、已知集合S?{3,a}，T?{x|x?9x?20?0,x?Z}，S集合P的非空子集个数是（ ） A、8 B、7 C、6 D、16 6、已知U?A B?{x?N|0?x?10}，A(e1,3,5,7}，则B? 。UB)?{2T?{4}，P?ST，则

7、某班公30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 。

8、已知集合A?{x?R|x?2?3}，集合B?{x?R|(x?m)(?x2?)，且

A

B?(?1,n，则)m? ；n? 。

9、已知集合A?{x|y?求a的取值范围。

log1(4x?3)}，B，若AB?B?{x|x2?(2?a)x?2a?0}，

210、若集合A?{x|x2?2x?8?0}，B?{x|x?m?0} （1）若m?3，全集U?A（2）若A（3）若A

B，试求A(eUB)；

B??，求实数m的取值范围；

B?A，求实数m的取值范围。

【参考答案】

考点精练：

考点一：1、{2012} 变式、?1 2、? ? ? 3、1 4、略

113521考点三：1、D 2、D 3、[,1] 4、（1）a?2或a??；（2）(??,?3][2,??)

23考点二：1、B 2、C 3、15 4、（1）BTA；（2）{0,,}

考题预测： 1、B 2、C

巩固练习：

1、C 2、C 3、A 4、A 5、C 6、{0,2,4,6,8,9,10} 7、12 8、?1 1

9、(??,] 10、（1）{x|3?x?4}；（2）m??2；（3）m?4

34第一章 集合

第一节 集合的含义、表示及基本关系

1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________． 2．若?

{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．

3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．

4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．

5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．

6．已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？

B组

abab

1．设a，b都是非零实数，y＝＋＋可能取的值组成的集合是________．

|a||b||ab|

2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?A，则实数m＝________.

3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．

4．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，那么a的值是________． 5．满足{1}

A?{1,2,3}的集合A的个数是________个．

1b1c1

6．已知集合A＝{x|x＝a＋，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}，C＝{x|x＝＋，c∈Z}，则A、

62326B、C之间的关系是________．

7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的________．

8．(2010年江苏启东模拟)设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．

9．(2009年高考北京卷)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1?A，且k＋1?A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

10．已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．

11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，

(1)若B?A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围； (2)若A?B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围； (3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．

12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}．

(1)若A是B的真子集，求a的取值范围； (2)若B是A的子集，求a的取值范围； (3)若A＝B，求a的取值范围．

第二节 集合的基本运算

A组

1．(2009年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩?UB＝____.

2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有________个．

3．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________. 4．(原创题)设A，B是非空集合，定义A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则A?B＝________.

5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________． 6．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．

(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B； (2)若B?A，求m的取值范围．

B组

1．若集合M＝{x∈R|－3

2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(?UA)∩B＝________.

3．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(?UN)＝________.

4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________. 5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U＝A∪B中有m个元素，(?UA)∪(?UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．

6．(2009年高考重庆卷)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则?U(A∪B)＝________.

x

7．定义A?B＝{z|z＝xy＋，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，则集合(A

y

?B)?C的所有元素之和为________．

8．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.

9．设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，?IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________．

10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．

(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；

(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

6

11．已知函数f(x)＝ －1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为

x＋1

集合B.

(1)当m＝3时，求A∩(?RB)；

(2)若A∩B＝{x|－1

12．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．

(1)若A＝?，求实数a的取值范围；

(2)若A是单元素集，求a的值及集合A； (3)求集合M＝{a∈R|A≠?}．

A组

1．解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B 2．解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥0

3．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B

A.答案：B

A

4． 解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则NM.答案：②

5．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件，∴AB，∴a<5.答案：a<5 6．解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.

B组

1．解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}

2．解析：∵B?A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：1 3．解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：8

1

4．解析：M＝{x|x＝1或x＝－1}，NM，所以N＝?时，a＝0；当a≠0时，x＝＝1或－1，

a

∴a＝1或－1.答案：0,1，－1

5．解析：A中一定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：3

6．解析：用列举法寻找规律．答案：AB＝C

7．解析：结合数轴若A?B?a≥4，故“A?B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件

8．解析：∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋?＋28＝511.答案：511

9．解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6

10．解：由lg(xy)知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg(xy)＝0，xy＝1.

1

∴A＝{x,1,0}，B＝{0，|x|，}．

x

1

于是必有|x|＝1，＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1.

x2

11．解：由A＝{x|x－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，

(1)∵B?A，∴①若B＝?，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B?A.

m＋1≤2m－1，??

②若B≠?，则?－2≤m＋1，

??2m－1≤5.

解得2≤m≤3.

由①②得，m的取值范围是(－∞，3]． 2m－1>m－6，??

(2)若A?B，则依题意应有?m－6≤－2，

??2m－1≥5.

m>－5，??

解得?m≤4，

??m≥3.

故3≤m≤4，

∴m的取值范围是[3,4]．

?m－6＝－2，?

(3)若A＝B，则必有?解得m∈?.，即不存在m值使得A＝B.

??2m－1＝5，

12．解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，

而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，

(1)若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x ≤ a}，故a>2. (2)若B是A的子集，即B?A，由数轴可知1≤a≤2.

(3)若A=B，则必有a=2

第二节 集合的基本运算

A组

1．解析：?UB＝{x|x≤1}，∴A∩?UB＝{x|0

2．解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，?U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：3 3．解析：由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}

4．解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以A?B＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞) 5．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：12

6．解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|11，即m的取值范围为(1，＋∞)

B组

1．解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0} 2．解析：?UA＝{0,1}，故(?UA)∩B＝{0}．答案：{0}

3．解析：根据已知得M∩(?UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0} 4．解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．

答案：{2,3,4}

5．解析：U＝A∪B中有m个元素，

∵(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n 6．解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，

得?U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}

7．解析：由题意可求(A?B)中所含的元素有0,4,5，则(A?B)?C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：18

?x＋y－2＝0，?x＝0，??

8．解析：由???点(0,2)在y＝3x＋b上，∴b＝2.

??x－2y＋4＝0.y＝2.??

9．解析：∵A∪(?IA)＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}．答案：?，{1}，{2}，{1,2} 10．解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．

(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0?a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3.

(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B?A，

①当Δ<0，即a<－3时，B＝?满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得

???a＝－2，?1＋2＝－2(a＋1)

???2

?1×2＝a－5??2

5

?a＝7，

矛盾.综上，a的取值范围是a≤－3.

11．解：A＝{x|－1

(1)当m＝3时，B＝{x|－1

(2)∵A＝{x|－1

∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2

2

若a＝0，方程有一解x＝，不合题意．

3

9

若a≠0，要方程ax2－3x＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>. 8

9

综上可知，若A＝?，则a的取值范围应为a>. 822

(2)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一根x＝，A＝{}符合题意．

33

9

当a≠0时，则Δ＝9－8a＝0，即a＝时，

8

44

方程有两个相等的实数根x＝，则A＝{}．

33294

综上可知，当a＝0时，A＝{}；当a＝时，A＝{}．

383

2

(3)当a＝0时，A＝{}≠?.当a≠0时，要使方程有实数根，

3

9

则Δ＝9－8a≥0，即a≤.

8

99

综上可知，a的取值范围是a≤，即M＝{a∈R|A≠?}＝{a|a≤}

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