八年级数学下册《分组分解法》例题精讲与同步练习 北师大版

《分组分解法》例题精讲与同步练习

【基础知识精讲】 1.分组分解法

利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.

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例如：把x-y+ax+ay分解因式.

此多项式各项之间没有公因式，又不能统一用某个公式分解.我们把前两项分为一组，

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后两项分为一组，得到：x-y+ax+ay=(x-y)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)，最终达到分解因式的目的.

2.分组分解法的根据

分组的原则是分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解.

注意：

1.分组时需进行尝试，找到合理的分组方法. 2.有时，分组方法并不唯一.

3.对于四项式在分解时，若分组后有公因式，则往往用“二二”分组；若分组后公式法

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分解才行时，往往用“一三”分组，例如多项式2ab-a-b+1，在分解时，

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2ab-a-b+1=1-(a-2ab+b)=1-(a-b)=(1+a-b)(1-a+b)

【重点难点分析】 1.重点难点分析

重点：掌握分组分解法，理解分组分解法的分组原则：分组后可继续分解.

难点：是把多项式合理的分组，处理方法是在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解.同时强调：分组无固定的形式.

2.典型例题解析

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例1 分解因式2a+a-6a-3

分析 这是四项式，可以“二二”分组，由于一、二两项的系数之比是2∶1，三、四两项的系数之比也是2∶1，因此，将一、二两项为一组，三、四两项为一组进行分组分解，有成功的希望.也可以一、三两项，二、四两项进行分组.

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解 2a+a-6a-3

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=(2a+a)-(6a+3)

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=a(2a+1)-3(2a+1)

2

=(2a+1)(a-3)

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例2 分解因式4x-4xy+y-16z 分析 这是四项式，“二二”分组无法进行下去，采用“一三”分组，也就是前三项合为一组，满足完全平方公式，第四项单独作为一组，而且是某数或某整式的平方形式，这样便可运用平方差公式继续分解.

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解 4x-4xy+y-16z

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=(4x-4xy+y)-16z

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=(2x-y)-(4z)

=(2x-y+4z)(2x-y-4z)

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例3 分解因式ax-ay-x+2xy-y

分析 这是五项式，采有“二三”分组，也就是前两项为一组，后三项为一组，能用完全平方公式，关键在分组后且间仍有公因式(x-y)可提.

1

解 ax-ay-x+2xy-y

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=(ax-ay)-(x-2xy+y)

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=a(x-y)-(x-y) =(x-y)(a-x+y)

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例4 把(x+y-1)-4xy分解因式

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解 (x+y-1)-4xy

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=(x+y-1)-(2xy)

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=[(x+y-1)+2xy][(x+y-1)-2xy]

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=[(x+2xy+y)-1][(x-2xy+y)-1]

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=[(x+y)-1][(x-y)-1]

=(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1) 例5 分解因式x(x-1)(x-2)-6 分析 考虑去掉括号，重新分组. 解 x(x-1)(x-2)-6

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=x-3x+2x-6

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=(x-3x)+(2x-6)

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=x(x-3)+2(x-3)

2

=(x-3)(x+2)

【难题巧解点拨】

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例6 分解因式a+4

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分析 这是一个四次二项式，无法直接运用某种方法分解因式.如果在a+4中项添上一

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项o,再把o拆成绝对值相等、符号相反的两项4a和-4a,则原多项式就变为a+4a+4-4a四项式了，再进行3-1分组，利用公式就能分解了.

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解 a+4

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=a+4a+4-4a (添拆项)

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=（a+4a+4）-4a (分组)

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=(a+2)-(2a) （完全平方公式）

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=(a+2a+2)(a-2a+2) (平方差公式) 点评 本例是添拆项的典型例题，目的性很强，原来是二项式，通过添拆项变为四项式，再利用分组、公式进行分解.

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例7 已知x+10xy+25y-1=0，化简x+5xy+x.

分析 由已知条件，通过因式分解，可得到(x+5y)的值.从而可以化简所求代数式.

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解 由x+10xy+25y-1=0可得

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(x+5y)-1=0 即 (x+5y+1)(x+5y-1)=0 当x+5y+1=0时

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x+5x2y+x=x(x+5y+1)=0 当x+5y-1=0时，即x+5y=1

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x+5x2y+x=x(x+5y+1)=2x

【命题趋势分析】

熟练掌握并能灵活运用分组分解法.考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主.

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2

【典型热点考题】

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例8 把2x+x-6x-3分解因式. (沈阳中考题)

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解 2x+x-6x-3

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=(2x+x2)-(6x+3)

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=x(2x+1)-3(2x+1)

2

=(2x+1)(x-3)

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例9 把abx-aby-axy+bxy分解因式. (广州中考题)

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解 abx-aby-axy+bxy

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=(abx-axy)+(bxy-aby) =a(bx-ay)+by(bx-ay) =(bx-ay)(ax+by)

点评 本题中前两项虽有公因式ab，后两项虽有公因式xy，但分别提出公因式后，两组中却无公因式可提，无法继续分解.因此分组时，必须把眼光放远一点.本题解法是把一、三两项作为一组，二、四两项作为一组；也可把一、四两项作为一组，二、三两项作为一组.请读者试一试.

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例10 把多项式分解因式xy-ax+bx+ay-a+ab. (长春中考题)

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解法一 xy-ax+bx+ay-a+ab

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=(xy-ax+bx)+(ay-a+ab) =x(y-a+b)+a(y-a+b) =(y-a+b)(x+a)

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解法二 xy-ax+bx+ay-a+ab

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=(xy+ay)-(ax+a)+(bx+ab) =y(x+a)-a(x+a)+b(x+a) =(x+a)(y-a+b)

点评 本题共有六项，解法一分为两组：前三项为一组，后三项为一组；解法二分为三组：一、四两项作为一组，二、五两项作为一组，三、六两项作为一组.一般地，类似例8这样的六项式都可用以上两种方法分组.

【同步达纲练习】

一、填空题(4分×10=40分) 22

1.x+2y-y+2x=(x+y)( ).

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2.因式分解x+xy-3x-3y= .

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3.因式分解1-a+2ab-b= .

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4.因式分解x+x+x+x= .

2

5.分解因式ax-ay+a+bx-by+ab= .

6.分解因式ab-3ac+2ay-bx+3cx-2xy= . 7.分解因式2x-2y+4xy-1= .

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8.分解因式ab-ab+ab-ab= .

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9.若a-b=2,a-c=4,则b-2bc+c+3(b-c)= .

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10.分解因式a-b+4a+2b+3= . 二、分解因式（10分×6=60分）

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11.ab+bc-cd-da 12.x-xyz+xy-xz

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13.y-x+6x-9 14.x-+2xy+y-ax-ay

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15.6x(m-n)-2m+2n 16.4x-4y+4y-1

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参考答案：

【同步达纲练习】

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一、1.(x-y+2) 2.(x+y)(x-3) 3.(1+a-b)(1-a+b) 4.x(x+1)(x+1) 5.(a+b)(x-y+a)

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6.(a-x)(b+2y-3c) 7.(2y+1)(2x-1) 8.(ab(a-b))(a+b) 9.10 10.(a+b+1)(a-b+3)

二、11.原式=(a+c)(b-d) 12.原式=x(x+y)(x-z) 13.原式=(y+x-3)(y-x+3) 14.原式=(x+y)(x+y-a) 15.原式=2(m-n)(3x-1) 16.原式=(2x+2y-1)(2x-2y+1)

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