高等代数试题

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第一章多项式

§1.1一元多项式的定义和运算

1．设f(x),g(x)和h(x)是实数域上的多项式．证明：若是

222f(x)?xg(x)?xh(x)(6) ，

那么f(x)?g(x)?h(x)?0.

2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式f(x),g(x)和h(x). 3．证明：

1?x?x(x?1)x(x?1)...(x?n?1)???(?1)n2!n!(x?1)...(x?n)?(?1)nn!

§1.2 多项式的整除性

1．求f(x)被g(x)除所得的商式和余式：

432f(x)?x?4x?1,g(x)?x?3x?1; ( i )

5323(ii) f(x)?x?x?3x?1,g(x)?x?3x?2; k2．证明：x|f(x)必要且只要x|f(x).

3．令f1(x),f2?x?,g1?x?,g2?x?都是数域F上的多项式，其中f1?x??0且

g1?x?g2?x?|f1?x?f2?x?,f1?x?|g1?x?.证明：g2?x?|f2?x?.

42m,p,qxx?mx?14．实数满足什么条件时多项式能够整除多项式?px?q. nn5．设F是一个数域，a?F.证明：x?a整除x?a.

6．考虑有理数域上多项式

f?x???x?1?k?n??2x??x?1?k?n?1????2x??x?1?,

kn这里k和n都是非负整数．证明：

xk?1|?x?1?f?x???x?1?nd7．证明：x?1整除x?1必要且只要d整除n.

k?n?1.

§1.3 多项式的最大公因式

1. 计算以下各组多项式的最大公因式：

43232( i ) f?x??x?3x?x?4x?3,g?x??3x?10x?2x?3;

4322(ii) f?x??x?(2?2i)x?(2?4i)x?(?1?2i)x?1?i,g?x??x?(1?2i)x?1?i.

2. 设f?x??d?x?f1?x?,g?x??d?x?g1?x?.证明：若(f?x?,g?x?)?d?x?,且f?x?和

g?x?不全为零，则(f1?x?,g1?x?)?1;反之，若(f1?x?,g1?x?)?1,则d?x?是f?x?与g?x?的一个最大公因式．

3. 令f?x?与g?x?是F[x]的多项式，而a,b,c,d是F中的数，并且

ad?bc?0

证明：

(af?x??bg?x?,cf?x??dg?x?)?(f?x?,g?x?).

4．证明：

（i）(f,g)h是fh和gh的最大公因式；（ii）(f1,g1)(f2,g2)?(f1f2,f1g2,g1f2,g1g2), 此处f,g,h等都是F[x]的多项式。

4324325．设f?x??x?2x?x?4x?2,g?x??x?x?x?2x?2都是有理数域

Q上的多项式。求u?x?,v?x??Q[x]使得

f?x?u?x??g?x?v?x??(f?x?,g?x?).

6．设(f,g)?1,令n是任意正整数，证明：(f,gn)?1由此进一步证明，对于任意正整数m,n，都有(fm,gn)?1.

7．设(f,g)?1证明：

(f,f?g)?(g,f?g)?(fg,f?g)?1.

8．证明：对于任意正整数n都有(f,g)n?(fn,gn).

9．证明：若是f(x)与g(x)互素，并且f(x)与g(x)的次数都大于0，那么

v(x)定理2.3.3里的u(x)与v(x)可以如此选取，使得u(x)的次数低于g(x)的次数，

的次数低于f(x)的次数，并且这样的u(x)与v(x)是唯一的。

2210．决定k，使x?(k?6)x?4k?2与x?(k?2)x?2k的最大公因式是一

次的。

11．证明：如果(f(x),g(x))?1那么对于任意正整数m，

?f?x?,g?x???1

mm12．设f(x),g(x)是数域P上的多项式,f(x)与g(x)的最小公倍式指的是

P[x]中满足以下条件的一个多项式m(x)：

?a?f(x)|m(x)且g(x)|m(x)；

?b? 如果h(x)?P[x]且f(x)|h(x),g(x)|h(x)，那么m(x)|h(x).

?i? 证明：P[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式

的差别外，是唯一的。

?ii? 设f(x),g(x)都是最高次项系数是

1的多项式，令?f(x),g(x)?表示f(x)和

g(x)的最高次项系数是1的那个最小公倍式,证明

f?x?g?x???f?x?,g?x???f?x?,g?x??

13．设g(x)|f1(x)?fn(x)并且(g(x),fi(x))?1,i?1,2,?,n?1证明：

g(x)|fn(x).

14．设f1(x),f2(x),?,fn(x)?P[x]证明：

?i??f1?x?,f2?x?,?fn?x?????f1?x?,f2?x?,?fk?x??,?fk?1?x?,?,fn?x???,1?k?n?1. ?ii?f1(x),f2(x),?,fn(x)互素的充要条件是存在多项式

u1(x),u2(x),?,un(x)?P[x] 使得

f1?x?u1?x??f2?x?u2?x???fn?x?un?x??1

15．设f1(x),?,fn(x)?P[x],令

I??f1?x?g1?x???fn?x?gn?x?gi?x??F[x],1?i?n?.

比照定理1.4.2，证明：f1(x),?,fn(x)有最大公因式．[提示：如果f1(x),?,fn(x)不全为零，取d(x)是I中次数最低的一个多项式，则d(x)就是f1(x),?,fn(x)的一个最大公因式．] §1.4 多项式的分解

1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：

?i? 3x2?1; ?ii?x3?2x2?2x?1.

42. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式x?1为不可约因式的乘

积.

3. 证明： g2(x)|f2(x)当且仅当g(x)|f(x). 4.

?i? 求 f?x??x5?x4?2x3?2x2?x?1在Q[x]内的典型分解式；

?ii? 求f?x??2x5?10x4?16x3?16x2?14x?6在R[x]内的典型分解式

5.证明：数域P上一个次数大于零的多项式f(x)是P[x]中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意g(x)?P[x],或者(f(x),g(x))?1,或者存在一个正整数m使得f(x)|gm(x).

6．设p(x)是P[x]中一个次数大于零的多项式.如果对于任意

f(x),g(x)?F[x]只要p(x)|f(x)g(x)就有p(x)|f(x)或p(x)|g(x)那么p(x)不可

约.

§1.5 重因式

1. 证明下列关于多项式的导数的公式：

?i? ?f?x??g?x????f??x??g??x?;

?ii? ?f?x?g?x????f??x?g?x??f?x?g??x?.

2. 设p(x)是f(x)的导数f?(x)的k?1重因式.证明：

?i?

p(x)未必是f(x)的k重因式；

p(x)是f(x)的k重因式的充分且必要条件是p(x)|f(x).

?ii?

3. 证明有理系数多项式

x2xnf?x??1?x???2!n!

没有重因式.

4.a,b应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？

?i? x3?3ax?b;

?ii? x4?4ax?b.

5. 证明：数域P上的一个n次多项式f(x)能被它的导数整除的充分且必要

条件是

f?x??a?x?b?，

n这里的a,b是P中的数

§1.6 多项式函数多项式的根

5431．设f(x)?2x?3x?5x?1,求

f(3),f(?2).

2．数环R的一个数c说是f(x)?R[x]的一个k重根,如果f(x)可以被(x?c)k整除,但不能被(x?c)k?1整除.判断5是不是多项式

f(x)?3x5?224x3?742x2?5x?50

的根.如果是的话,是几重根?

32323．设2x?x?3x?5?a(x?2)?b(x?2)?c(x?2)?d

求a,b,c,d [提示:应用综合除法．]

4．将下列多项式f(x)表成x?a的多项式.

(i)f(x)?x5,a?1;

(ii)f(x)?x4?2x2?3,a??2.

5．求一个次数小于4的多项式f(x),使

f(2)?3,f(3)??1,f(4)?0,f(5)?2

6．求一个2次多项式,使它在x?0,?2,?处与函数sinx有相同的值.

27．令f(x),g(x)是两个多项式,并且f(x3)?g(x3)可以被x?x?1整除.

证明

f(1)?g(1)?0.

8．令c是一个复数,并且是Q[x]中一个非零多项式的根,令

J?{f(x)?Q[x]|f(c)?0}

证明:(i)在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式p(x),使得J中每一多项式

f(x)都可以写成p(x)q(x)的形式,这里q(x)?Q[x]. (ii)p(x)在Q[x]中不可约.

12?i?3423413412141;231111234?ii?;1361014102014916491625;9162536162536490a21?a2?00???00b00a3?000b0??0000?iii?1a1?11?a1?iv?0?000a0?1?0000a?00;????1?an?1an??11?anb00a00?v??00b??????;(2n阶)0b?a00b0?0a000?00aa3a3??anan?vi?1?a1a2a11?a2a1?1a1012a2?a21011?a3?an;???a3?1?an210321?n?1?n?2?n?3;?0

?vii??????n?1n?2n?3n?4?

1?a1?1a21?a2?1?000a3??000??1000?an1?an?viii?0?001?a3???00??1?an?1

提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。

3．令

fi(x)?aioxi?ai1xi?1???ai,i?1x?aii.

f0(x1)f1(x1)?f0(x2)f1(x2)????f0(xn)f1(xn)?fn?1(xn)。

计算行列式fn?1(x1)§2.4 克拉默规则

fn?1(x2)?1．解以下线性方程组：

?i?x1?x2?2x3?3x4?1,3x1?x2?x3?2x4??4,2x1?3x2?x3?x4??6,x1?2x2?3x3?x4??4.(ii)x1?x2?x3?x4?0,x2?x3?x4?x5?0,x1?2x2?3x3?2,x2?2x3?3x4??2,x3?2x4?3x5?2.

2．设a1,a2,?,an?1是n?1个不同的数, b1,b2,?,bn?1是任意n?1个数,而多项式

f(x)?c0?c1x???cnxn

有以下性质: f(ai)?bi,i?1,2,?,n?1.用线性方程组的理论证明, f(x)的系数

c0,c1,?,cn是唯一确定的,并且对n?2的情形导出拉格朗日插值公式.

nf(x)?c?cx???cx01n3．设.用线性方程组的理论证明,若是f(x)有n?1个不同的根,那么f(x)是零多项式.

第三章线性方程组

§3.1 消元法

1．解以下线性方程组：

(i)x1?2x2?x3?x4?1,x1?2x2?x3?x4??1,x1?2x2?x3?x4?5;(ii)2x1?x2?3x3?3,3x1?x2?5x3?0,4x1?x2?x3?3,x1?3x2?13x3??6.

2．证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。

a11a21D??a12a22??a1n?a2n??3．设n阶行列式

an1an2?ann?0.

?a11??a21????a证明：用行初等变换能把n行n列矩阵?n1a12a22?an2?a1n???a2n??????ann??化为

?10?0???01?0??n行n列矩阵?????????00?1???。

4．证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把n行n列矩阵

?a11??a21????a?n1a12a22????an2??10?00???a1n?01?00???a2n?n行n列矩阵????????????00?10???00?0D?ann??化为??．

§3.2 矩阵的秩线性方程组可解的判别法

1．对第一和第二种行初等变换证明定理4.2.1． 2．利用初等变换求下列矩阵的秩：

?21112??1????104?1??1?114565?;.?1????2?15?6??1???12342537495117??10?13??16??

3．证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1． 4．证明：含有n个未知量n?1个方程的线性方程组

a11x1???a1nxn?b1,?????????an1x1???annxn?bn,an?1,1x1???an?1,nxn?bn?1

有解的必要条件是行列式

a11?an1???a1n?annb1?bnbn?1?0.an?1,1?an?1,n

这个条件不是充分的，试举一反例．

方程组 5．?取怎样的数值时，线性?x1?x2?2x3?3x4?2,?2x1?3x2?2x3?x4??1,?3x1?x2?2x3?x4??1,

有解？

6．?取怎样的数值时，线性方程组

?x1?x2?x3?1,x1??x2?x3??,x1?x2??x3??2

有唯一解，没有解，有无穷多解？ §3.3 线性方程组的公式解

1．考虑线性方程组：

x1?x2?a1,x3?x4?a2,x1?x3?b1, x2?x4?b2,

，并且它的系数矩阵的秩是3．这里a1?a2?b1?b2.证明：这个方程组有解组：2．用公式解法解线性方程

x1?2x2?x3?x4?1,x1?2x2?x3?x4??1,x1?2x2?x3?5x4?5.

3．设线性方程组：

a11x1?a12x2???a1nxn?b1,a21x1?a22x2???a2nxn?b2,?????????????（9） am1x1?am2x2???amnxn?bm, 有解，并且添加一个方程：

a1x1?a2x2???anxn?b,

于方程组（9）所得的方程组与（9）同解．证明：添加的方程是（9）中m个方程的结果．

4．设齐次线性方程组

a11x1?a12x2???a1nxn?0,a21x1?a22x2???a2nxn?0,????????????an1x1?an2x2???annxn?0

的系数行列式D?0，而D中某一元素aij的代数余子式Aij?0．证明：这个方程

1．举例说明，线性变换的乘法不满足交换律． 2．在F[x]中，定义

?：f (x) ? f’(x) ， ?：f (x) ? xf (x) ，

这里f’(x)表示f(x)的导数．证明, ?,?都是F[x]的线性变换，并且对于任意正整数n都有

?n?– ??n = n?n-1

3．设V是数域F上的一个有限维向量空间．证明，对于V的线性变换?来说，下列三个条件是等价的：

（i）?是满射； (ii)Ker(?) = {0}; (iii) ?非奇异．当V不是有限维时，(i)，(ii)是否等价？

4．设??L (V)，??V，并且?，?(?)，?，?= 0．证明：

k-1

(?)都不等于零，但?k(?)

?，?(?)，?，?k-1(?)

线性无关．

5．??L (V) ．证明

(1) Im(?)?Ker(?)当且仅当 ?2 = ?； (2) Ker(?)?Ker(?2)?Ker(?3)??； (3) Im(?)?Im(?2)?Im(?3)??．

6．设Fn = { (x1，x2 ，?，xn ) | xi?F }是数域F上n 维行空间．定义

?(x1，x2 ，?，xn ) = (0，x1 ，?，xn-1 ) ．

(i) 证明：?是Fn的一个线性变换，且 ?n = ?； (ii) 求Ker(?)和Im(?) 的维数． §7.3 线性变换和矩阵

1．令Fn[x]表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间，

?：f (x) ? f’(x) ，求关于以下两个基的矩阵：

(1) 1，x ，x2 ，?，xn，

(x?c)2(x?c)n(2) 1，x–c，2!，?，n!，c?F．

2．设F上三维向量空间的线性变换?关于基 {?1 ，?2，?3}的矩阵是

?15?115???20?158???8?76???

求?关于基

?1 = 2?1 +3?2 +?3， ?2 = 3?1 +4?2 +?3， ?3 = ?1 +2?2 +2?3，

的矩阵．

设?= 2?1 +?2–?3．求?(?)关于基?1，?2，?3的坐标． 3．设{?1，?2，?，?n}是n维向量空间V的一个基．

?j =

?a?iji?1ni，?j=

?b?iji?1ni， j = 1，2，?，n，

并且?1 ，?2，?，?n线性无关．又设?是V的一个线性变换，使得?(?j) =

?j，j = 1，2，?，n，求?关于基?1，?2，?，?n的矩阵．

4．设A，B是n阶矩阵，且A可逆，证明，AB与BA相似．

5．设A是数域F上一个n阶矩阵，证明，存在F上一个非零多项式f (x)使得f (A) = 0．

6．证明，数域F上n维向量空间V的一个线性变换?是一个位似（即单位变换的一个标量倍）必要且只要?关于V的任意基的矩阵都相等．

7．令Mn (F)是数域F上全休n阶矩阵所成的向量空间．取定一个矩阵A?Mn (F) ．对任意X?Mn (F)，定义

?(X) = AX–XA．

由7.1习题3知?是Mn (F)的一个线性变换，设

?a1?????0A =?

a20??????an??

是一个对角形矩阵．证明，?关于Mn (F)的标准基{Eij |1?i,j?n}(见6.4，例5)的矩阵也是对角形矩阵，它的主对角线上的元素是一切ai–aj (1?i,j?n).[建议先具体计算一下n = 3的情形．]

8．设?是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．证明，总可以如此选取V的两个基{?1 ，?2，?，?n}和{?1，?2，?，?n}，使得对于V的任意

?向量?来说，如果?=i?1§7.4 不变子空间

nxi?i?，则?(?) =i?1rxi?i，这里0?r?n是一个定数[提

示：利用7.1，习题5选取基?1 ，?2，?，?n ．]

1．设?是有限维向量空间V的一个线性变换，而W是?的一个不变子空间，证明，如果?有逆变换，那么W也在?-1之下不变．

2．设?,?是向量空间V的线性变换，且?????．证明Im(?)和Ker(?)都在?之下不变．

3．?是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件?2 =?．证明： (i) Ker(?) = {???(?)|??V}； (ii)V = Ker(?)?Im(?)；

(iii)如果?是V的一个线性变换，那么Ker(?)和Im(?)都在?之下不变的充要条件是?????．

4．设?是向量空间V的一个位似（即单位变换的一个标量倍）．证明，V的每一个子空间都在?之下不变．

5．令S是数域F上向量空间V的一些线性变换所成的集合．V的一个子空间W如果在S中每一线性变换之下不变，那么就说W是S的一个不变子空间．S说是不可约的，如果S在V中没有非平凡的不变子空间，设S不可约，而?是V的一个线性变换，它与S中每一线性变换可交换。证明?或者是零变换，或者是可逆变换．[提示：令W = Ker?.证明W是要的一个不变子空间．] §7.5 本征值和本征向量

1．求下列矩阵在实数域内的特征根和相应的特征向量：

?3?20?????13?1???57?1??； (ii) (i) ??4?57????1?49???405???；(iii) 66??3??20??0??3?12?6???．

2．证明：对角形矩阵

?a1?????0?a20??b10????b2?????????????bn?an?与?0?

相似必要且只要b1，b2，?，bn是a1，a2，?，an的一个排列．

3．设

?ab???cd???? A =

是一个实矩阵且ad–bc = 1 ．证明：

(i) 如果| trA |>2，那么存在可逆实矩阵T，使得

??0???0??1??-1

?． TAT = ?这里??R且??0，1，-1．

(ii) 如果| trA | = 2且A??I，那么存在可逆实矩阵T，使得