线性代数课件：6第三章向量空间

第三章 向 量 空 间3.1 3.2 3.3 3.4 n维向量概念及其线性运算 线性相关与线性无关 向量组的秩 向量空间

3.1

n维向量概念及其线性运算

3.1.1 n维向量及其线性运算 3.1.2 向量的线性组合

3.1.1 n维向量及其线性运算定义3.1.1 由n个数a1,a2,……,an组成的有序数组 ( a1,a2,……,an )称为一个n维向量， 数ai称为该向量的第i个分量 i=1,2,…,n

向量的维数指的是向量中分量的个数. 向量写成一行(a1,a2,……,an) 列向量写成一行 (a1,a2,……,an)T列向量写成一列 a1 a2 . an

行向量

用小写的黑体字母:α,β, x, y , …表示向量用带下标的白体字母:ai,bi, xi, yi, …表示向量 1 行 、 列 不 同 不 等 ： 1, 2 2

次序不同不等：

1, 2 2, 1

n维向量——矩阵定义一 个 n 维 行 向 量 a 1 , a 2 , , a n .可 以 定 义 为 一 个 1 n的 矩 阵

b1 b2 一 个 n维 列 向 量 bn

.

可 以 定 义 为 一 个 n 1的 矩 阵

既然向量是一个特殊的矩阵则： 1.向量相等=矩阵相等 2. 零向量=零矩阵 3. 负向量=负矩阵 4.向量运算=矩阵运算 a1 , a 2 , , a n a1 , a 2 , , a n

几个定义(1)定义3.1.2

所有分量都是0的n维向量称为n维0向量 记作：0=(0,0,…,0). 向量α=(a1 ,a2 ,…,an) 的所有分量都取相反数组成的向量， 称为α负向量-α=(-a1 ,-a2 ,…,-an) 如果n维向量α=(a1 ,a2 ,…,an) 与n维向量β=(b1 ,b2 ,…,bn) 的对应分量都相 等，即 ai = bi,(i=1,2,…,n)则称向量α与β相等，记作 α=β

定义3.1.3

几个定义(2)定义3.1.4(向量的加法)设n维向量α=(a1 ,a2 ,…,an), β=(b1 ,b2 ,…,bn) ,则α与β的和是向量α+β α+β=(a1+b1 ,a2 +b2,…,an+bn); α与β的差是向量α-β α-β= α+(-β)=(a1-b1 ,a2 -b2,…,an-bn)

定义3.1.5(数与向量的乘法)设α=(a1 ,a2 ,…,an)是n维向量， k为一个数,则数k与α的乘积称为数乘向量，简称数乘， 记作kα ,并且kα= (ka1 , ka2 ,…, kan). 约定： kα= αk .

线性运算律 设α,β,γ都是n维向量， k,l是数，则

(1)α+β=β+α;(加法交换律) (2)(α+β)+ γ =α+(β+γ) ; (加法结合律) (3)α+ 0 =α; (4)α+ (-α) = 0; (5) 1×α = α; (6) k (α+β) = kα+ kβ;(数乘分配律) (7) (k + l) α = kα+ lα ; (数乘分配律) (8) (kl) α =k(lα) . (数乘向量结合律)

例1 设α=(2,1,3) ,β=(-1,3,6),γ=(2,-1,4) . 求向量2α+3β-γ.

解 2α+3β-γ=2 (2, 1, 3) +3 (-1, 3, 6)- (2, -1, 4)

=(4, 2, 6)+(-3, 9, 18)- (2, -1, 4)=(-1, 12, 20).

例2 设α=(1,0,-2,3) ,β=(4,-1,-2,3), 求满足2α+3β+3γ=0向量γ.解 γ=-1/3(2α+β)=-1

/3[2 (1, 0, -2, 3) + (4, -1, -2, 3)] =- 1/3[(2, 0, -4, 6)+ (4, -1, -2, 3)] = -1/3(6, -1, -6, 9)

=(-2, 1/3, 2, -3).练习习题3.1P86 2.(2)答案P184

解

x=3α-β=3 (2, 0, 1) - (3, 1, -1) =(6, 0, 3) - (3, 1, -1) =(3, -1, 4).

3.1.2 向量的线性组合1.向量的线性组合 2. 向量的线性表出关系的几何解释 3.线性组合的——矩阵表示法 4. 表出系数的求法

1.向量的线性组合定义3.1.6 设α1,α2, … ,αm是一组n维向量， k1, k2 , … , km是一组常数，则称 k1α1+k2 α2+ … + kmαm 为的一个线性组合.常数k1, k2 , … , km 称为该线性组合的组合系数.

若一个n维向量β可以表示成 β= k1α1+k2 α2+ … + kmαm,

则称β是α1,α2, … ,αm的线性组合， 或称β可用α1,α2, … ,αm线性表出(线性表示). 仍称k1, k2 , … , km为该线性组合的组合系数， 或表出系数 显然，零向量可以用任意一组 α1,α2, … ,αm(同维向量)线性表出： 0=0α1+0α2 +… +0αm ( k1=0, k2=0 , … , km =0) 零向量的平凡表出式 表出系数全为0——必是0向量

向量组若干同维数的向量组成的集合——向量组m个向量α1,α2, … ,αm组成的向量组——记为 R: α1,α2, … ,αm或R={α1,α2, … ,αm}

例3:矩阵——向量组表示法A a ij a1 1 a 21 a i1 a m1 a1 2 a 22 ai2 am 2 a1 j a2 j a ij amj m n

a1 n a 1 1 , a1 2 , , a1 n a 2 n a 21 , a 22 , , a 2 n A的 行 向 量 组 量 m 个 n维 行 向 a in a i 1 , a i 2 , , a in ( i 1, 2 , , m ) a mn a m1 , a m 2 , , a mn

A a ij

m n

a1 1 a 21 a i1 a m1

a1 2 a 22 ai2 am 2

a1 j a2 j

a ij

amj

a1 n a2n a in amn

A的 列 向 量 组 a1 j a1 1 a1 2 a1 n a2 j a 21 a 22 a2n a ij a i1 a i 2 a in a a a a m1 m 2 mn mj n 个 m 维 列 向 量 ( j 1, 2 , , n)

n维标准单位向量组E a ij 1 0 0 0 1 0 n n

0 1, 0, 0 1 第 i 个 分 量 为 其 余

0 1, 分 量 为 0 0,1, , 0 2 i 0, , 0,1, 0, , 0 0 i 1, 2 , , n 1 0, 0, ,1 n

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