【全国百强校】天津市第一中学2016届高三上学期第一次月考数学(理)试题

1 天津一中2015—2016学年度高三年级

第一次月考数学（理科）学科试卷

一.选择题

1. 已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B = （ ）

A ．?

B ．1{|

1}2x x <≤ C ．{|1}x x <

D ．{|01}x x << 【答案】B

2.执行右面的程序框图，若8.0=p ，则输出的n =( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】C ．

3.已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）

上为减函数”的 ( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

4 ．已知函数）x f y (=的导函数为)('x f ，且x f x x f s i n )3

(')(2+=π，则=)3('π

f ( ) A ．π463- B ．π263- C ．π463+ D ．π263+ 【答案】A

5.若把函数sin y x ω=图象向左平移

3π个单位，则与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能是

A ．13

B ．32

C ．23

D ．12

【答案】B

6. 已知函数0,0,(),0,

x x f x e x ≤?=?>?则使函数()()g x f x x m =+- 有零点的实数m

的取值范

2 围是（ ）

A.[0,1]

B.(,1)-∞

C. (,1)(2,)-∞+∞

D. (,0](1,)-∞+∞

【答案】D

7.设，则多项式的常数项（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

8. 已知()()[]22,0,1,132,0x x f x f x ax x x x ?-≤=≥∈-?->?

若在上恒成立，则实数a 的取值范围是

A.(][)10,-∞-?+∞

B.[]1,0-

C.[]0,1

D.),1[]0,(+∞?-∞ 【答案】B

二.填空题

9. 复数z 满足2)1()1i z i +=+-（，其中i 为虚数单位，

则复数z =

【答案】i -1

10. 右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体

积大小为 . 10．【答案】243

π- 11. 已知点P 在曲线1

4+=x e y 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是___________________ 【答案】00135180α≤<或3[

,)4ππ 12.

直线4,:(),:)12.

4x a t l t C y t πρθ=+?=+?=--?为参数圆（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l 被圆C

则实数a 的值为 .

【答案】 0或2

13.如图,C B A ,,是圆O 上三个点,AD 是BAC ∠的平分线,交圆O 于D ,

过B 作直线BE 交AD 延长线于E ,使BD 平分EBC ∠. 若

3 ,3,4,6===BD AB AE 则DE 的长为

【答案】DE=

278.

14.在边长为1的正三角形ABC 中,2=,CE CA λ=，若4

1-

=?BE AD ，则λ的值为

【答案】3

三.解答题

15.

已知函数22()sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求： (I) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； (II) 求函数()f x 在区间[,]63

ππ

-上的值域． 15．【解】(I)：

1cos 23(1cos 2)()222x x f x x -+=++

22cos2x x =+2sin(2)26

x π=++ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∴最小正周期22

T ππ==， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∵222,262

k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈时()f x 为单调递增函数 ∴()f x 的单调递增区间为[,],36

k k k Z ππππ-+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 (II)解: ∵()22sin(2)6

f x x π=++，由题意得: 63x ππ-≤≤∴52[,]666x πππ+∈-， ∴1sin(2)[,1]62x π+∈-，∴()[1,4]f x ∈ ∴()f x 值域为[1,4] ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 16.某班植树小组栽培甲、乙两种松树，已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽培一种，已知栽培甲品种的有2人，栽培乙品种的有6人，现从中选2人，设选出的人中既栽培甲品

种又栽培乙品种的人数为ξ，且5

20P ==）

（ξ，求： （1）植树小组的人数；

（2）随机变量ξ的数学期望。 解：（1）设植树小组共有x 人，两品种均栽培的有)8(x -人，

则恰栽一品种的人数为)82(-x 人………………………………………………2分

4 ∵52)0(==ξP ∴

522282=-x x C C …………………………………………4分

整理为：0602832=+-x x ∴6=x 即植树小组有6人………………6分

（2）依（1）有：恰栽一品种的有4人，两品种均栽培的有2人

158)1(261412===C C C P ξ……………………………………………………8分

151)2(2622===C C P ξ……………………………………………………10分

3215121581520=?+?+?

=ξE …………………………………………………13分

17.在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c

，且2cos 2.c A b ?= （I ）求角C 的大小；

（II

）若b =，ABC ?

2

A ，求a 、c 的值.

5

18.设函数)1()(+=x ae x f x （其中e =2.71828…），2)(2++=bx x x g ，已知它们在0

=x 处有相同的切线．

（Ⅰ）求函数)(x f ，)(x g g 的解析式；

6 （Ⅱ）求函数)(x f 在)3](1,[->+t t t 上的最小值；

解：（Ⅰ） f'（x ）=ae x （x+2），g'（x ）=2x+b ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分

由题意，两函数在x=0处有相同的切线．

∴f'（0）=2a ，g'（0）=b ，

∴2a=b ，f （0）=a=g （0）=2，∴a=2，b=4，

∴f （x ）=2e x （x+1），g （x ）=x 2+4x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分

（Ⅱ） f'（x ）=2e x （x+2），由f'（x ）＞0得x ＞﹣2，由f'（x ）＜0得x ＜﹣2，

∴f （x ）在（﹣2，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣2）单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分

∵t ＞﹣3，∴t+1＞﹣2

①当﹣3＜t ＜﹣2时，f （x ）在[t ，﹣2]单调递减，[﹣2，t+1]单调递增， ∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分

②当t≥﹣2时，f （x ）在[t ，t+1]单调递增，∴

； ∴?????-≥+-<<--=-2)

1(2232)(2t t e t e x f t ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分

19.已知数列{}n a 中，,2,121==a a 且)0,2()1(11≠≥-+=-+q n qa a q a n n n 。

（1）设)(*1N n a a b n n n ∈-=+，证明{}n b 是等比数列；

（2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*

N n ∈，n a 是3+n a 与6+n a 的等差中项。

7

20.已知函数()()()R a ax x x ax x f ∈--++=23

12ln 23

（Ⅰ）若2=x 为()x f 的极值点，求实数a 的值；

（Ⅱ）若()x f y =在[)+∞,3上为增函数，求实数a 的取值范围；

(Ⅲ)当21-=a 时，方程()()x b x x f +-=-3113

有实根，求实数b 的最大值.

8 即()016432≥++-=a a g ，所以4

1334133+≤≤-a 因为0>a ，所以4

1330+≤

的取值范围为???

………10分 （Ⅲ）当21-=a 时，方程()()x b x x f +-=-3113可化为()()x

b x x x =-+--11ln 2 问题转化为()()322

ln 11ln x x x x x x x x x x b -+=-+--=在()+∞,0上有解，即求函数()32ln x x x x x g -+=的值域 ………11分 因为函数()32ln x x x x x g -+=，令函数()()0ln 2

>-+=x x x x x h ， ………12分 则()()()x

x x x x x h -+=-+='112211， 所以当10<'x h ，从而函数()x h 在()1,0上为增函数，

当1>x 时，()0<'x h ，从而函数()x h 在()+∞,1上为减函数，

9 因此()()01=≤h x h ………13分 而0>x ，所以()0≤?=x h x b ，因此当1=x 时，b 取得最大值0. ………14分

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