专题七 三角形中的常用辅助线 doc学生

专题七 三角形中的常用辅助线（学生版）

教学目标

1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。

2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。

一、 知识回顾 课前热身

知识点1、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，

利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

知识点2、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或

是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

知识点3、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式

是全等变换中的“对折”．

知识点4、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模

式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

知识点5、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变

换中的“平移”或“翻转折叠”

知识点6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点

的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

二、 例题辨析 推陈出新

A例1、倍长中线（线段）造全等

BDC已知：如图3所示，AD为 △ABC的中线，

求证：AB+AC>2AD。

E图?3变式练习 如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交于F，且AE=EF。

求证：AC=BF。

例2、截长补短

如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作?DMN?60?，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?

DNAMBE

变式练习 1. 如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN?DM且与∠ABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？

DCADNFBCAMBEE （1题）

2.已知如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

（2题）

例3、已知：如图3，AB=AC，∠1=∠2．

A13O42BC求证：AO平分∠BAC．

变式练习 如图8，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD=∠ACD，

∠BDE=∠CDE．求证：BD=CD．

BADEC例4、如图，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．

求证：AE=ED．

ABGCFEHD变式练习 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E． 求证：CD=

1BE． 2例5、如图所示，?ABC是边长为1的正三角形，?BDC是顶角为120?的等腰三角形，以D为顶点作一个60?的?MDN，点M、N分别在AB、AC上，求?AMN的周长．

AAENMDBDCBC

（例5） （变式练习）

变式练习 (河南省数学竞赛试题) 在正?ABC内取一点D，使DA?DB，

在?ABC外取一点E，使?DBE??DBC，且BE?BA，求?BED.

三、 归纳总结 方法在握

归纳1.切实掌握用全等三角形证题的基本思路。（1）条件充足时直接应用、

（2）条件不足，会增加条件用判别方法、（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法。

归纳2.掌握思想方法

1．转化思想：应用全等三角形的知识解决测河宽、测池塘宽、测工件内径等实际问题就是转化思

想的运用．

2．运动变化思想：在研究三角形全等时，经常会出现三角形按照某种特定的规律变化，需要运用运动变化的思想进行解决．

3．构造图形法：在直接找不到两个全等三角形时，常常通过平移、对称、旋转等图形变换的方法构造全等三角形．

4．分析综合法：从已知条件出发探索解题途径的方法叫综合法；从结论出发不断寻找使结论成立的条件与已知条件关系的方法叫分析法；两头凑的方法就是综合运用分析综合法去寻找证题的一种方法．

四、拓展延伸 能力升华

例1、（2012江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE

并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF。 （1）求证：△ADE≌△BFE；

（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。

例2、 （2012山东滨州12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间

的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）求正方形ABCD的面积；

（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3

表示正方形ABCD的面积S．

五、课后作业 巩固提高

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

A B

D

C （1题）

（2题）

2.如图，点D、E三等分△ABC的BC边．求证：AB+AC＞AD+AE

3.以?ABC的AB、AC为边向三角形外作等边?ABD、?ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：OA平分?DOE．

DAEDFOBCBOCAE

4.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

5.（2012山东枣庄8分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD＋CD＝2AB．

（1）求证：AB＝BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．

2

2

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3.以?ABC的AB、AC为边向三角形外作等边?ABD、?ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：OA平分?DOE．

DAEDFOBCBOCAE

4.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

5.（2012山东枣庄8分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD＋CD＝2AB．

（1）求证：AB＝BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．

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