喀蔚波04章习题解答

第四章 分子运动论习题解答

4-1 有N个粒子，当0 v0时，

f(v)?0. 作出速率分布曲线；由v0求常数C；求粒子的平均速率.

解：(1) 略

(2) 由条件知 0 v0时，f(v)?0 有归一化条件：

?v00f(v)dv??f(v)dv?1

v0v0v000?得：?f(v)dv??cdv?cv0?1 所以 c??1 v0v0 (3) v??vf(v)dv??v00v1dv?0 v024-2 已知速率分布函数为f(v)，求速率在v1～v2区间内的分子之平均速率. 解：由平均速率的定义可知：

? v??v2v1v2v1vdNdN???32v2v1v2v1vf(v)dvf(v)dv

4-3 试根据麦克斯韦速率分布律证明：分子平动动能在?到?+d?区间的概率为f(?)d??2?(kBT)e??kT?d?，其中??1mv2，并根据上式求出分子平动2动能的最概然值.

解：由麦克斯韦速率分布函数得：

dN?m0??f(v)dv?4π??e N?2πkT?32?m0v22kTv2dv

处于?到??d?区间的分子概率即也对应于v到v+dv区间的分子概率.

由??1m0v2可知d??m0vdv，将上式代换得： 232mv23??dN2?m0??20kT2kT2 ?f(v)dv?4π?evdv?(kT)e?d? ?Nπ?2πkT?df(?)kT?0得：?p? 令 d?2?4-4 气体分子局限于一维运动，速度的每个分量都服从麦克斯韦分布律，求：方均根速率、平均速率和最概然速率.

解：由题意知：

dN?m??f(v)dv?4π?0?eN?2πkT?32?m0(vx2?vy2?vz2)2kTvxvyvzdvxdvydvz

222一维运动分子的麦氏分布为：

xdN?m0??3?02kT2 ?f(vx)dvx?4π?vxdvx ?eN?2πkT?32mv2 所以，v2???0v2dNN?kT. m0v2?kT?m0RT M? v??0vdNN?πkT 2m04-5 求粒子数在vp与1.01vp之间和2vp到2.01vp之间的气体分子数各占总数的百分之几？（以dv?0.01vp计算）

解：由题意知：dv=0.01vp；处于vp到vp+0.01vp的概率为：

?Nv?v?f(v)?v?f(w)?w 其中w?，?w? Nvpvp所以，?v?0.01vp，w?v?1，?w?0.01 vp在vp到vp+0.01vp间隔内的分子数占总分子数的百分比：

?N42?w24?f(w)?w?we?w??e?1?0.01?0.83% Nππ处于2vp到2vp+0.01vp的概率为：?v?0.01vp，w?v?2，?w?0.01 vp

2?N444?f(w)?w??22?e?2?0.01??4?0.01?0.17% Nππe4-6 某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度为T2时的平均速率，求

T1. T2解：由题意知

3RT18RT2T88 所以3T1?T2 即：1? ?πMπMT23π4-7 一热气球的容积为2200m3，气球本身和负载质量共725kg，若其外部温度为20℃，要想使气球上升，其内部空气最低要加热到多少度？

解：已知m=725kg，V=2200m3，T1=(20+273) K，p=1.01×105Pa，此时气球内气体的质量为m1?pVM，设m2为气球内部气体温度升高到T2时的质量，要RT1使气球升起，须有F浮≥mg+m2g，由于F浮= m1g，所以有m2≤m1-m，加热过程中气球内气体的p、V不变，由此可得

T2?pVMpVM1??

mRRm2R(m1?m)1?T1pVM1?404K?130.7?C

1725?8.31?2931.01?105?2200?29?10?3?4-8 一氢气球在20℃充气后，压强为1.2atm，半径为1.5m. 到夜晚时，温度降为10℃，气球半径缩为1.4 m，其中氢气压强减为1.1atm.求已漏掉了多少氢气.

解：已知T1?273?20?293K，p1?1.2?105Pa，r1?1.5m T2?273?10?283K，p2?1.1?105Pa，r2?1.4m 可得：V1? m1?

4343πr1 V2?πr2 33MV1MV2p1 m2?p2 RT1RT243?43πr1p1πr2p2?M?33?m?m1?m2??R?T1T2????2?10?3??8.31???4?4?25π1.42?1.1?105??π1.5?1.2?10?3??3293283?????? ?0.32kg

4-9 某些恒星的温度达到108K的数量级，在这样的温度下原子已不存在，只有质子存在，试求：质子的平均动能是多少？质子的方均根速率是多少？

3RT3?8.31?1086?1解：由题意得：v???1.58?10(m?s) ?3M1?102 ??11mp(v2)2??1.67?10?27?(1.58?106)2?2.08?10?15(J)?12.99(keV) 224-10 一容器被中间的隔板分成相等的两半. 一半装有氦气，温度为250K；

一半装有氧气，温度为310K. 两者压强相等. 求去掉隔板两种气体混合后的温度.

解：混合前，对He气：p1V1??1RT1

对O2气： p2V2??2RT2 由于 p1V1?p2V2 所以有： ?1T1??2T2

358混合前的总内能为： E0?E1?E2??1RT1??2RT2??1RT1

222混合后，气体的温度变为T，总内能为：

3535TE??1RT??2RT?(?1)?1RT

2222T2由于混合前后总内能相等，即E0=E，所以有

835T?1RT1?(?1)?1RT 222T2所以有

T?T24-11 设地面大气是等温的，温度为t=5.0℃，海面上的气压为

8T13?5T1?284K

(已知空气的平p0?1.0?105Pa，今测得某山顶的气压p?7.8?104Pa，求山高. 均摩尔质量为28.97?10?3kg?mol?1)

RTp08.31?2781?105解：Z?ln?ln?2022(m)

Mgp28.97?10?3?9.87.8?1044-12 求在等温大气中一个分子的平均重力势能. 解：由波尔兹曼能量分布率得dN?n0e 所以分子的平均重力势能为：

mgzdN?mgzn???Ne?mgzkT?mgzkTdz

?p0dz?kT

N4-13 飞机起飞前，仓中压力计指示为1.0?105Pa，温度为27℃；起飞后，压力计指示为8.0?104Pa，温度仍为27℃，试计算飞机距地面的高度.(空气的平均摩尔质量为28.97?10?3kg?mol?1)

RTp18.31?3001?105解：Z?ln?ln?1959.4(m) ?34Mgp228.97?10?9.88?104-14 水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几？ 解：因为H2O的自由度是6；H2的自由度是5；O2的自由度是5. 所以，1摩尔H2O会分解成1摩尔H2和0.5摩尔O2.

555RT EO2??0.5?RT?RT 2246EH2O?RT

2556RT?RT?RTEH2?EO2?EH2O?E242?100%??100%??100%?25nH2OEH2ORT2EH2? 4-15 吹一个直径为10cm的肥皂泡，设肥皂液的表面张力系数

??40?10?3N?m?1. 试求吹此肥皂泡所作的功，以及泡内外的压强差.

解：已知 d=0.1m

所以 w?2?π?d2??2π?0.12?40?10?3?8π?10?4(J)

4?8?8?40?10?3 P????32(N?m?2)

rd0.14-16 一U形玻璃管的两竖直管的直径分别为1mm和3mm.试求两管内水面的高度差.（水的表面张力系数??73?10?3N?m?1）

解：由于两弯曲液面产生的附加压强为：p0?pbig?11 有?gh?pbig?psmall?4?(?)

dD4?4? ,p0?psmall? Dd4?114?7.3?10?211 所以：h?(?)??(?)?2cm 3?3?3?gdD10?9.8103?104-17 在半径r=0.30mm的毛细管中注入水，在管的下端形成一半径R=3.0mm的水滴，求管中水柱的高度.

解：由于两弯曲液面产生的附加压强为：p0?psmall? 因为：pbig?psmall??gh 所以：

2?2? ,pbig?p0? rRh?pbig?psmall?g2?112?7.3?10?211?(?)??(?)?5.5cm ?grR103?9.83?10?43?10?3

4?8?8?40?10?3 P????32(N?m?2)

rd0.14-16 一U形玻璃管的两竖直管的直径分别为1mm和3mm.试求两管内水面的高度差.（水的表面张力系数??73?10?3N?m?1）

解：由于两弯曲液面产生的附加压强为：p0?pbig?11 有?gh?pbig?psmall?4?(?)

dD4?4? ,p0?psmall? Dd4?114?7.3?10?211 所以：h?(?)??(?)?2cm 3?3?3?gdD10?9.8103?104-17 在半径r=0.30mm的毛细管中注入水，在管的下端形成一半径R=3.0mm的水滴，求管中水柱的高度.

解：由于两弯曲液面产生的附加压强为：p0?psmall? 因为：pbig?psmall??gh 所以：

2?2? ,pbig?p0? rRh?pbig?psmall?g2?112?7.3?10?211?(?)??(?)?5.5cm ?grR103?9.83?10?43?10?3

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