江苏省南京市、盐城市2016届高三上学期第一次模拟考试数学试题 Word版含答案

南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试

数 学 试 题

(总分160分，考试时间120分钟)

参考公式

锥体的体积公式：V

1

Sh，其中S为底面积,h为高. 3

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答

题纸的指定位置上）

1．已知集合A xx 1 0，B 1,2,5 ，则A B.

2

2．已知复数z

2 i

（i是虚数单位），则|z| ▲ . 1 i

3．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本， 则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ . 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ . 5．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人， 现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中 从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽 取的人数为 ▲ .

S←1

For I From 1 To 7 step 2 S←S + I End For Print S

第4题图

6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经

过点P(1,3)，则其焦点到准线的距离为 ▲ .

x y 5 0,

7．已知实数x,y满足 2x y 2 0,则目标函数z x y的最小值为 ▲ .

y 0,

8．设一个正方体与底面边长为长为 ▲ .

9．在 ABC中，设a,b,c分别为角A,B,C的对边，若a 5，

则该正方体的棱

10．设Sn是等比数列 an 的前n项和，an 0，若

S6 2S3 5，则S9 S6的最小值为.

1

11．如图，在 ABC中，AB AC 3，cos BAC ，DC 2BD，则AD BC的值为

3

▲ .

12．过点P( 4,0)的直线l与圆C:(x 1)2 y2 5相交于A,B两点，若点A恰好是线段PB

的中点，则直线l的方程为 ▲ .

x13．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x) 2

f(x),x 1,m

，设g(x) 若函2xf( x),x 1,

数y g(x) t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是 ▲ .

x3 x2,x e,

14．设函数y 的图象上存在两点P,Q，使得 POQ是以O为直角顶点

x e alnx,

的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是 ▲ .

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，

请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)

设函数f(x) Asin( x )(A 0, 0, （1）求函数y f(x)的解析式； （2）当x [

2

2

,x R)的部分图象如图所示.

,]时，求f(x)的取值范围

22

第15题图

16．(本小题满分14分)

如图，已知直三棱柱ABC A1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O是侧面ACC1A1的中心， ACB

2

，M是棱BC的中点.

A1

1C1

（1）求证：OM//平面ABB1A1； （2）求证：平面ABC1 平面A1BC.

17．(本小题满分14分)

如图所示，A,B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P. 垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A,B,P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大）. 现估测得A,B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？

北

A

B

第16题图

C

A 居民生活区 第17题图

B

18．(本小题满分16分)

x2

y2 1上一点，从原点如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0,y0)是椭圆C:4O向圆M:(x x0)2 (y y0)2 r2作两条切线分别与椭圆C交于点P,Q，直线

OP,OQ的斜率分别记为k1,k2.

（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程； （2

）若r

. 1； 4

①求证：k1k2

②求OP OQ的最大值.

19．(本小题满分16分)

已知函数f(x)

第18题图

ax

在x 0处的切线方程为y x. ex

1

成立，求k的取值范围；

2

k 2x x

（1）求a的值；

（2）若对任意的x (0,2)，都有f(x)

（3）若函数g(x) lnf(x) b的两个零点为x1,x2，试判断g (

理由.

20．(本小题满分16分)

x1 x2

)的正负，并说明2

设数列 an 共有m(m 3)项，记该数列前i项a1,a2, ,ai中的最大项为Ai，该数列后

m i项ai 1,ai 2, ,am中的最小项为Bi，ri Ai Bi(i 1,2,3, ,m 1).

（1）若数列 an 的通项公式为an 2n，求数列 ri 的通项公式； （2）若数列 an 满足a1 1，ri 2，求数列 an 的通项公式；

（3）试构造一个数列 an ，满足an bn cn，其中 bn 是公差不为零的等差数列， cn 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m，数列 ri 都是单调递增的，并说明理由.

南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试

数学附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．（在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指

定区域内）

A.（选修4—1：几何证明选讲）

如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC CD，DE AB，C、

B.（选修4—2：矩阵与变换）

设矩阵M

a 0

的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为 2 1

x2 y2 1，求曲线C的方程.

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，已知点A的极坐标

为

4

)，圆E的极坐标方程为

4cos 4sin ，

试判断点A和圆E的位置关系.

D．(选修4—5：不等式选讲）

已知正实数a,b,c,d满足a b c d 1.

（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）

22．（本小题满分10分）

AB 2直三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC，，AC 4，AA1 2，BD DC.

（1）若 1，求直线DB1与平面AC11D所成角的正弦值； （2）若二面角B1 AC11 D的大小为60 ，求实数 的值.

23．（本小题满分10分）

设集合M 1,2,3, ,n (n 3)，记M的含有三个元素的子集个数为Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn. （1）求

B

第22题图

A1

B1

D

C1

C

T3TTT

，4，5，6的值； S3S4S5S6

Tn

的表达式，并证明之. Sn

（2）猜想

南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1.

1 2. 8. 2

39 3. 4. 17 5. 17 6. 7. 3

1022

9. 7 10. 20 11. 2 12. x 3y 4 0 13. [

33

,] 14. 22

(0,

1] e 1

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15

．

解

：

（

1

）

由

图

象

知

，

A 2， …………2分

又

T5 4632

，

0

，所以

T 2

2

，得

1. …………4分

所以f(x) 2sin(x )，将点(即

3

,2)代入，得

，

又

3

2

2k (k Z)，

6

2k (k Z)

2

2

，所以

6

所

. …………6分

以

f(

8分 （

6

x). …………

2）当

x [

22

,

时

]

，

x

6

[

2

， , ]…………10分

33

以

所

sx

6

2

n

，

(

即

)

f(x . )[3…………14分, 2]

M是BC的中点， 16．证明：（1）在 A1BC中，因为O是AC1的中点，

所

以

OM//A1B. ..........

....4分

OM//平面又OM 平面ABB1A1B 平面ABB1，A1A1，所以

ABB1A1. ..............6分

（2）因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CC1 底面ABC，所以CC1 BC，

又 ACB 所

2

，即BC AC，而CC1,AC 面ACC1A1，且CC1 AC C，

以

BC

面

ACC1A1. ..............8分

而AC1 面ACC1A1，所以BC AC1，

又ACC1A1是正方形，所以AC AC1，而BC,AC 面A1BC，且BC AC C， 111所

以

AC1

面

A1BC. .............12分

又

AC1

面

ABC1

，所以面

ABC1

面

A1BC. ..............14分

17

．

解

法

一

：

由

条

件

①

，

得

PA505

. ...............2分 PB303

设

PA 5x,PB 3x

，

2

则

2

c

所

(x2

PAB 2 x

以

点

5

1x

s ..............6分 ，

6

线

x)x1

5

离

6

P

到直

AB

的距

h sPi An

)

， ....

...........10分

所以当x 34，即x h取得最大值15千米.

2

即选址应满

足

PA 千米

，

PB 千

米. ...............14分

解法二：以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系. ...............2分

则A( 8,0),B(8,0). 由条件①，得

PA505

. ...............4

PB303

设P(x,y)(y 0)，则

化简得

(x 17)2 y2 152(y 0)， ...........

....10分

即点P的轨迹是以点（17,0）为圆心、15为半径的圆位于x轴上方的半圆. 则当x 17时，点P到直线AB的距离最大，最大值为15千米.

所以点P的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可. ...............14分 18．解：（1）因为椭圆C右焦点的坐标为,0，)所以圆心M的坐标为

,

从

1

) ...............2分 ，2

而

圆

M

的方程为

11

(x2 (y )2 . …………4分

24

（2）①因为圆M与直线OP:y k1x即

， (4 5x02)k12 10x0y0k1 4 5y02 0， …………

6分

同理，有(4 5x0)k2 10x0y0k2 4 5y0 0， 所

以

2

2

2

k1,k2

是方程

( 4x02

5k2 )

x

1y 0k 的0

两4y 50

根， …………8分

从

而

k1k2

分

4 5y0

2

4 5x0

2

4 5(1

125x0) 1 x02

1 . …………1022

4 5x04 5x04

②设点

P1(x1,y1)

y 1k

,P，(x联,y立) x2

2

y 1 4

x

，

解

得

4k1242

， …………12分 x ,y1

1 4k121 4k12

21

同理，

4k2242

x2 ,y2 2

1 4k21 4k22

2

，所以

4k124k2244

OP OQ ( ) ( )

1 4k121 4k121 4k221 4k22

2

2

4(1 k12)4(1 k22)4 4k121 16k12

…… 2222

1 4k11 4k21 4k11 4k1

………14分

5 20k122()

125k ， 当且仅当时取等号. 所以OP OQ的最大值为1

2(1 4k12)245

. ……………16分 2

19. 解：（1）由题意得f (x)

所

以

a(1 x)

，因函数在x 0处的切线方程为y x， ex

a

f ( 0)，

1

得

1

a 1. ……………4分

（2）由（1）知f(x)

2

x1 对任意x (0,2)都成立， exk 2x x2

2

所以k 2x x 0，即k x 2x对任意x (0,2都成立，从而

k 0. ……………6分

exex2

x 2x，令g(x) x2 2x， 又不等式整理可得k xx

所

以

ex(x 1)exg (x) 2(x 1) (x 1)(2 2) 02

xx

，得

x 1， ……………8分

当x (1,2)时，g (x) 0，函数g(x)在(1,2)上单调递增，

同理，函数g(x)在(0,1)上单调递减，所以k g(x)min g(1) e 1， 综

上

所

述

，

实

数

k

的取值范围是

[0,e 1). ……………10分

（

3

）

结

论

是

g (

x1 x2

) 0. ……………11分 2

11 x

证明：由题意知函数g(x) lnx x b，所以g (x) 1 ，

xx

x x2

1即易得函数g(x)在(0,1)单调递增，在(1, )上单调递减，所以只需证明1

2

可. ……12分

x1 b lnx1x

因为x1,x2是函数g(x)的两个零点，所以 ，相减得x2 x1 ln2，

x1 x2 b lnx2

不妨令

1tx2

lnt，x2 lnt， t 1，则x2 tx1，则tx1 x1 lnt，所以x1 t 1t 1x1

证

即

t 1

lt t 1

n

，

2

即证

(t) lnt 2

t 1

0， ……………14分 t 1

14(t 1)2

因为 (t) 0，所以 (t)在(1, )上单调递增，所以22

t(t 1)t(t 1)

(t) (1) 0，

综

上

所

述

，

函

数

g(x)

总满足

g (

x1 x2

) 02

成

立. ……………16分

20．解：（1）因为an 2单调递增，所以Ai 2i，Bi 2i 1，

n

所以

ri 2i

1

2i

，

2i

1 i m 1. ……………4分

（2）根据题意可知，ai Ai，Bi ai 1，因为ri Ai Bi 2 0，所以Ai Bi 可得ai Ai B i

1i

3,m ,，所以{an}单调递a即ai ai 1，又因为i 1,2,

增， ……………7分

则Ai ai，Bi ai 1，所以ri ai ai 1 2，即ai 1 ai 2，1 i m 1， 所以

an

是公差为2

的等差数列，an 1 2(n 1) 2n 1，

1 i m 1. ……………10分

（

3

）

构

造

1

an n ()n

2

，其中

bn n

，

1

cn ()n. ……………12分

2

下证数列 an 满足题意.

证明：因为an n ()，所以数列 an 单调递增，

n

12

所以

1

Ai ai i ()i

2

，

1

Bi ai 1 i 1 ()i 1， ……………14分

2

1i 1

所以ri ai ai 1 1 ()，1 i m 1，

21i 21i 11i 2

因为ri 1 ri [ 1 ()] [ 1 ()] () 0，

222

所

以

数

列

ri

单调递增，满足题

意. ……………16分

（说明：等差数列 bn 的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列 cn 的首项c1为负，

公比q (0,1)，这样构造的数列 an 都满足题意.）

附加题答案

21.

A

、

解

：

因

为

CD

与

O

相切于

D

，所以

CD A ， …………2分

又因为AB为 O的直径，所以 ADB 90 .

又DE AB，所以 EDA DBA，所以 EDA DBA，所以

EDA CDA. …………4分

又 ACD AED 90 ，AD AD，所以 ACD AED. 所

以

A 4E，A所

C

以

AD 5， ………… 6分

又

DEAE

BDAD

，所以

BD

DE15

AD . …………10分 AE4

B、由题意，矩阵M的特征多项式f( ) ( a)(( 1)，

因

矩

阵

M

有一个特征值为2，

f(2) 0

，所以

a 2. …………4分

x 2 0 x x x 2x所以M y y ，即 y 2x y，

y2 1

代入方程x2 y2 1，得(2x)2 (2x y)2 1，即曲线C的方程为

8x2 4xy y2 1. ………10分

C

、

解

：

点

A

的直角坐标为

( 2， …………2分

圆

E

的直角坐标方程为

(x 2)2 (y 2)2 8， …………6分

则点A到圆心E

的距离d 所

以

4 r

点

A

在圆

E

外. …………10分 D

、

解

：

因

分

2

2 c1， ………62d

又a b c d

1，所以2 24，

即

………

…10分

22．解：分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则

A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)

，

A1(0,0,2)

，

B1(2,0,2)

，

C1(0,4,2) …………2分

（1）当 1时，D为BC的中点，所以D(1,2,0)，DB1 (1, 2,2)，AC11 (0,4,0)，

A1D (1,2, 2)，设平面AC11D的法向量为n1 (x,y,z)

4y 0DB1 n1 则 ，所以取n1 (2,0,1)，又cos DB1,n1 |DB1||n1| x 2z 0

所

以

直

线

DB1

与平面

AC11D

所成角的正弦值

为

…………6分 24 24

,,0)， ACAD (,, 2)， （2） BD DC， D(， (0,4,0)111

1 1 1 1

4y 0

设平面AC， 11D的法向量为n1 (x,y,z)，则 2

x 2z 0 1

所

以

取

n1 (

分

. …………1,8

1

又平面A1B1C1的一个法向量为n2 (0,0,1)，由题意得|cos n1,n2 | ，

2

以

1

，解得

1或 1（不合题意，舍去）， 2

实

数

所

的值

为

1. …………10分

23.

解

：

（

1

）

T3

2S3

，

T45 S42

，

T5

3S5

，

T67

. ……………4分 S62

（

2

）

猜

想

Tnn 1

. ……………5

Sn2

分

下用数学归纳法证明之.

证明：①当n 3时，由（1）知猜想成立； ②假设当n k(k 3)时，猜想成立，即

Tkk 13

，而Sk Ck，所以得

Sk2

Tk

k 13

Ck. ……6分 2

3

则当n k 1时，易知Sk 1 Ck 1，

而当集合M从 1,2,3, ,k 变为 1,2,3, ,k,k 1 时，Tk 1在Tk的基础上增加了1个2，2

个

3

，

3

个

4

，

…

，

和

(k 1)

个

k， ……………8分

所

以

Tk 1 Tk 2 kk

k 1332

Ck 2[C3 C32 C4 Ck2]2(k 1) 1 Sk 1，

2

即

k 13

Ck 2C2 C C Ck 2

k 23k 23 Ck 1 2Ck3 1 Ck 1

22

Tk 1(k 1) 1

.

Sk 12

所以当n k 1时，猜想也成立. 综

上

所

述

，

猜

想

成

立. ……………10分 （说明：未用数学归纳法证明，直接求出Tn来证明的，同样给分.）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cex1.html