选修4-1《几何证明选讲》综合复习题

高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作 圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =( ) A.15 B.30 C.45 D.60

【解析】由弦切角定理得 DCA B 60 ,又AD l,故 DAC 30 ,

第1题图

故选B.

2.在Rt ABC中,CD、CE分别是斜边AB上的高和中线,是该图中共有x个三角形与 ABC相似,则x ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】2个: ACD和 CBD,故选C.

3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm和18cm两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( ) A.11cm B.33cm C.66cm D.99cm

【解析】设另一弦被分的两段长分别为3k,8k(k 0),由相交弦定理得3k 8k 12 18,解得k 3,故所求弦长为3k 8k 11k 33cm.故选B.

ABBCAC5

4.如图,在 ABC和 DBE中, ,若 ABC与

DBBEDE3

DBE的周长之差为10cm,则 ABC的周长为( )

2550E

A.20cm B.D.25cm cm C.cm 第4题图

43

【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案D.

5. O的割线PAB交 O于A,B两点,割线PCD经过圆心,已知

22

,则 O的半径为( ) PA 6,PO 12,AB 3

A.4 B

.6C

.6 D.8

22

【解析】设 O半径为r,由割线定理有6 (6 ) (12 r)(12 r),解得r 8.故

3

选D. 6.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CD AB于点D, 且AD 3DB,设 COD ,则tan2

11A. B. 34

2

＝( )

第6题图

C

.4 D.3

31

【解析】设半径为r,则AD r,BD r,由CD2 AD

BD得CD ,从而

22

1

,故tan2 ,选A.

233

7.在 ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,且DE//BC, ADE的面积是2cm2,

梯形

DBCE的面积为6cm2,则DE:BC的值为( )

A. B.1:2 C.1:3 D.1:4

【解析】 ADE ABC,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.

8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.

A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】一共可作5个,其中均外切的2个,均内切的1个,一外切一内切的2个,故选D.

9.如图甲,四边形ABCD是等腰梯形,AB//CD.由4个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形, 则四边形ABCD中 A度数为 ( )

第9题图 A.30 B.45 C.60 D.75

【解析】6 A 360 ,从而 A 60 ,选A.

10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠 压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑 直径为10mm,若所用钢珠的直径为26 mm,则凹坑深度为( ) A.1mm B.2 mm C.3mm D.4 mm 【解析】依题意得OA2 AM2 OM2,从而OM 12mm, 故CM 13 12 1mm,选A. 第10题图

2 1 2 1

11.如图,设P,Q为 ABC内的两点,且AP AB AC,AQ＝AB＋AC,

5534

则 ABP的面积与 ABQ的面积之比为( )

1411

B. C. D. 5543

2 1

【解析】如图,设AM AB,AN AC,则AP AM AN.

55

ABPAN1

＝, 由平行四边形法则知NP//AB,所以

ABC5AC

A.

第11题图

ABP4 ABQ1

同理可得 ,选B. ．故

ABQ5 ABC4

12.如图,用与底面成30

角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的

离心率为 ( )

1

A． B． C． D．非上述结论

322

第12题图

【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,

1

考虑椭圆所在平面与底面成30 角,

则离心率e sin30 .故选A.

2

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是________

【解析】圆;圆或椭圆.

14.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝720,⊙O过A、B两点且 与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC＝5 1, 则AC＝

【解析】由已知得BD AD BC,BC CD AC (AC BC) AC, 解得AC 2.

15.如图,AB为 O的直径,弦AC、BD交于点P,

若AB 3,CD 1,则sin APD=

AD

【解析】连结AD,则sin APD ,又 CDP BAP,

AP

PDCD1

从而cos APD ,

PABA3

所以sin APD .

3

16.如图为一物体的轴截面图,则图中R的值 是 第16题图

30

【解析】由图可得R2 ()2 (180 135 R)2,解得R 25.

2

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

如图:EB,EC是 O的两条切线,B,C是切点,A,D是 O上两点,如果 E 46 , DCF 32 ,试求 A的度数. 【解析】连结OB,OC,AC,根据弦切角定理,可得

1

A BAC CAD (180 E) DCF 67 32 99 . 第17题图

2

18.(本小题满分12分)

E

如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,

F B

AE AC,DE交AB于点F,且AB 2BP 4, E为⊙O上一点,

求PF的长度.

【解析】连结OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系

AE AC可得 CDE AOC,又 CDE P PFD, 结合题中条件

B

2

O

D C

第 14 题图

第18题图

AOC P C,从而 PFD C,故 PFD PCO,∴

PFPD

,

PCPOE

E F B PC PD12

由割线定理知PC PD PA PB 12,故PF 3.

PO4

19.(本小题满分12分)

C

第19题图

已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,

AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于

点E．求证：(1)△ABC≌△DCB (2)DE·DC＝AE·BD． 【解析】证明：(1) ∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB ∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD

(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC

∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC ∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB ∴△ADE∽△CBD ∴DE:BD＝AE:CD， ∴DE·DC＝AE·BD. 20.(本小题满分12分)

如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,CF∥AB，BP延长线交AC、CF于E、F,求证: PB2=PE PF．

【解析】连结PC,易证PC PB, ABP ACP ∵CF//AB ∴ F ABP,从而 F ACP 又 EPC为 CPE与 FPC的公共角,

CPPE第20题图 从而 CPE FPC,∴ ∴PC2 PE PF FPPC

又PC PB, ∴PB2 PE PF,命题得证. 21.(本小题满分12分)

如图,A是以BC为直径的 O上一点,AD BC过点B作 O的切线,与CA的延长线相交于点E，G的中点,连结CG并延长与BE相交于点F, 延长AF与CB的延长线相交于点P. (1)求证:BF EF；

(2)求证:PA是 O的切线；

解答用图

C

(3)若FG BF,且

O的半径长为求BD和FG的长度. 第21题图

【解析】(1)证明：∵BC是 O的直径，BE是 O的切线， ∴EB BC．又∵AD BC，∴AD∥BE．

易证△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

BFCFEFCFBFEF

．∴． ∴

DGCGAGCGDGAG

∵G是AD的中点，∴DG AG．∴BF EF． (2)证明：连结AO，AB．∵BC是 O的直径，

在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE∴AF FB EF．∴ FBA FAB．又∵OA ∵BE是 O的切线，∴ EBO 90°．

∵ EBO FBA ABO FAB BAO FAO 90°，∴PA是 O的切线．

(3)解：过点F作FH AD于点H．∵BD AD，FH AD，∴FH∥BC． 由(1)，知 FBA BAF，∴BF AF．

由已知，有BF FG，∴AF FG，即△AFG是等腰三角形．

C

HG1

． DG2

∵FH∥BD，BF∥AD， FBD 90°，∴四边形BDHF是矩形，BD FH．

FHFGHG

，即∵FH∥BC，易证△HF∽△GD．∴

CDCGDG

BDFG1HG

．

CDCG2DG

BDBD1

． ∵

O的半径长为

∴

BC ∴

CDBC BD2

FGHG1

解

得BD

．∴BD FH ．∵，

CGDG2

1

∴FG CG．∴CF 3FG．

2

在Rt△FBC中，∵CF 3FG，BF FG，由勾股定理，得CF2 BF2 BC2．

．∴FG 3． ∴(3FG)2 FG2 2．解得FG 3（负值舍去）

［或取CG的中点H，连结DH，则CG 2HG．易证△AFC≌△DHC，

故C由G易知△CDG∽△CBF，∴FG HG，G F2G，CF 3FG．D∥FB，

CDCG2FG2∴ ．

CBCF3FG32

，解得BD Rt△CFB中，由勾股定理，得

3．］ (3FG)2 FG2 2，∴FG 3（舍去负值）

22.(本小题满分14分)

ACBC

如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB ．ABAC

∵FH AD，∴AH GH．∵DG AG，∴DG 2HG，即

的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部

SS

分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果1 2,那么称直线l为该图形的黄金分

SS1

割线.

(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗?为什么?

(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．

(4)如图4，点E是 ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交

显然直线EF是 ABCD的黄金分割线.请你画一条 ABCD的黄金DC于点F，

分割线,使它不经过 ABCD各边黄金分割点.

第22题图

【解析】(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:设△ABC的边AB上的高为h．

SAD111

S△ADC AD h,S△BDC BD h,S△ABC AB h,所以△ADC ，

S△ABCAB222

S△BDCBD

S△ADCAD

SSADBD

又因为点D为边AB的黄金分割点，所以有．因此△ADC △BDC．

S△ABCS△ADCABAD

所以，直线CD是△ABC的黄金分割线.

1

(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时s1 s2 s,即

2

s1s2

，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线. ss1

(3)因为DF∥CE,∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等,所以有S△DEC S△FCE

设直线EF与CD交于点G．所以S△DG ES△．所以FS△AD C四边形SAF △S FGD

S四边形AFGD S△DGE S△AEF，S△BDC S四边形BEFC．

S△AEFS四边形BEFCS△ADCS△BDC

又因为，所以 S△ABCS△AEFS△ABCS△ADC

E M 因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线． E M

（第22题答图1）

（第22题答图2） (4)画法不惟一，现提供两种画法；

画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB,DC于M,N点,则直线MN就是 ABCD的黄金分割线．

画法二:如答图2,在DF上取一点N,连接EN,再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是 ABCD的黄金分割线．

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