15-16-1《数学建模》课程设计题目(1) - 图文

《数学建模》课程设计指导书

淮阴工学院数理学院数学专业教研室

2015年12月

要求

1、选题要求，学号是1号的选A组第1题，2号选A组第2题，以此类推。如果对上面的题目把握不大或不敢兴趣的，可以在B组题目中任选一题。如果在B组题目中选择仍有困难者，需将基础题中的全部题目完成。

2、课程设计结束时，将题目以论文的形式提交。论文内容包括：摘要（100-300字，含研究的问题、建模的方法及模型、模型解法和主要结果），问题分析与假设，符号说明，问题分析，模型建立，计算方法设计和实现（框图及计算机输出的计算结果），结果的分析和检验，优缺点和改进方向等。用软件求解的，请在附件中附上算法程序。

3、论文（答卷）用白色A4纸，上下左右各留出2.5厘米的页边距。 4、第一页为封面，写上学号、姓名、第二页为论文标题和摘要，从第三页开始是论文正文。论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。

5、论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号宋体字，行距用单倍行距。

6、引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：

[编号] 作者．书名[M]．出版地：出版社，出版年 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：

[编号] 作者．论文名[J]．杂志名，卷期号：起止页码，出版年 参考文献中网上资源的表述方式为：

2

[编号] 作者．资源标题．网址，访问时间（年月日）。

论文提交：于2016年1月5日上午11:00前将论文打印装订成册交李艳玲老

师，同时将论文的文档上网发到liyanling@ncwu.edu.cn邮箱

注：2015年12月31日下午答辩

课程设计题目 A组

1、生产计划

高校现有一笔资金100万元，现有4个投资项目可供投资。

项目A：从第一年到底四年年初需要投资，并于次年年末回收本利115%。 项目B：从第三年年初需要投资，并于第5年末才回收本利135%，但是规定最大投资总额不超过40万元。

项目C：从第二年年初需要投资，并于第5年末才回收本利145%，但是规定最大投资总额不超过30万元。

项目D：五年内每年年初可以买公债，并于当年年末归还，并可获得6%的利息。

(1) (2)

试为该校确定投资方案，使得第5年末他拥有的资金本利总额最大。 该校在第3年有个校庆，学校准备拿出8万元来筹办，又应该如何安

排投资方案，使得第5年末他拥有的资金本利总额最大。

2、投资方案的确定

现代化生产过程中，生产部门面临的突出问题之一，便是如何选取合理的生产率。生产率过高，导致产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见，生产部门

3

在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化：以便适时调整生产率，获取最大收益。

某生产厂家年初要制定生产策略，已预测其产品在年初的需求量为a=6万单位，并以b＝1万单位／月的速度递增。若生产产品过剩，则需付单位产品单位时间(月)的库存保管费C2?0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短缺损失费C3?0.4元。假定生产率每调整一次带有固定的调整费C1?1万元，试问该厂如何制定当年的生产策略，使工厂的总损失最小?

3、选址问题

已知某地区的交通网络如图8-37所示，其中点代表居民小区，边代表公路，边上的数字为小区间公路距离（单位：千米），各个小区的人数如表1所

30202560v530v320v418v1v215v615v7示，问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民人均就诊时所走的路程最近？

小1 区 人5359 8960 数 表 各个小区的人数

9600 7890 6731 7694 8136 2 3 4 5 6 7 4

4、高速公路修建费用问题

A城和B城之间准备建一条高速

公路，B城位于A城正南90公里和正东120公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，如图给出了整个地区的大致地貌情况，

已知图中坐标系原点为O，OB为X轴，OA 为Y轴，经测量，曲线CD、EF、GH、

???1??1?IJ分别近似满足方程y?28?sin?x?、y?52?3sin?x?、y?31?3cos?x?、

2335??71?????1?y?68?4cos?x?。

?7?图中显示可分为三条沿东西方向的地形带。已知每个地形带的造价如下：

地形带 造价（万元/公里） 平原 500 高地 800 高山 1400 你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。你怎样使你的模型适合于下面两个限制条件的情况呢？

(a) 当道路转弯是，角度至少为1400。

(b) 图中P是个重要的城市，其坐标为(44, 60)，道路必须通过P城。

5、混合泳接力赛队员游姿安排

某游泳队拟选用 甲，乙，丙，丁四名游泳队员组成一个4?100m混合泳接力队，参加今年的锦标赛。他们的100m 自由泳，蛙泳，蝶泳，仰泳的成绩如下表所示。甲，乙，丙，丁 四名队员各自游什么姿势，才最有可能取得最好成绩(至少3种模型与解法)。 成绩 自由泳/s 蛙泳/s 蝶泳/s 仰泳/s 甲 60 71 63 70

5

乙 63 70 67 69 丙 61 72 68 69 丁 59 72 64 64 6、生产计划问题

对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表1所示。

表1 季 度 产 品 1 2 3 4 I 1500 1000 2000 1200 II 1500 1500 1200 1500 III 1000 2000 1500 2500

该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。已知该厂每季度生产工时为15000.8小时，生产I、II、III产品每件分别需要2.1、4.3、3.7小时。因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20.5元，产品III赔10.8元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5.1元。问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。

7、制作最小运费表

XX公司在A,B,C,D,E,F,G,H的8个供货站点，各个站点之间的运费由下表所示（“—“表示这两个站点之间不可直达）： 供货站点 A B C D E F G H A 0 3.8 10.1 — — — — — B 3.8 0 — 5.4 — — — — C 10.1 — 0 6.6 — — — — D — 5.4 6.6 0 4.7 — 10.2 — E — — — 4.7 0 9 5.3 — F — — — — 9 0 — 4.1 G — — — 10.2 5.3 — 0 6.21 H — — — — — 4.1 6.21 0 该公司想算出一张任意两个站点之间最小运费的表出来，试着作出这样一张表来(要给出算法、框图、模型、程序)。

8、最廉价飞机线路的选择

北京的一科技公司由于业务的需要，其总经理每周要往返于总公司与各个子公司之间，其出行所乘坐的交通工具是飞机，各个城市间的飞机线路，及票

6

价如下表 城市 北京 北京 0 天津 50 南京 INF 青岛 40 上海 25 广州 10 深圳 12 西安 14 武汉 INF 天津 50 0 15 20 INF 25 20 INF 17 南京 INF 15 0 10 20 INF INF 26 28 青岛 40 20 10 0 10 25 32 22 18 上海 25 INF 20 10 0 55 16 INF 21 广州 10 25 INF 25 55 0 17 24 INF 深圳 12 20 INF 32 16 17 0 16 27 西安 14 INF 26 22 INF 24 16 0 18 武汉 INF 17 28 18 21 INF 27 18 0 20 杭州 15 16 INF 21 24 25 18 19 20 0 杭州 15 16 INF 21 24 25 18 19 (注：数字代表价格，INF表示城市之间没有线路。) 问怎样才能算出一张任意城市间的最廉价路线表。

9、一年生植物的繁殖

一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，不考虑腐烂，被人为掠取。这些种子如果可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过三个冬天。现在在一片空地上种上x0?500颗某种生植物。记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b, 活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（3岁种子）比例仍也为b, 1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2，3岁种子发芽率a3。。设

c?10,a?0.7,a?0.4,a?0.2,为固定， b是变量，试建立数学模型研究这种植物123数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。

10、船票价格

7

某轮船公司争取一个相距1000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船的平均载客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时，当船速为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用（不论速度如何）都是每小时480元，，若公司打算从每个乘客身上获得利润10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格。

11、湖水的自我净化问题

3设一容积为V（单位：m）的大湖受到 某种物质的污染，污染物均匀的分

3布在湖中。若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r（单位：m/天）。试建立求污染物浓度下降至原来的3%需要多长时间的数学模型。某湖的

33mm容积为5176*10^9（）,湖水的流量为4.121*10^10(/天)，求污染终止后，

污染物下降到原来的3%所需的时间。

12、生产方案安排

某厂生产A，B两种产品，分别由四台机床加工，加工顺序任意，在一个生产期内，各机床的有效工作时数，各产品在各机床的加工时数等参数如下表：

加工时数 机床产品 甲 乙 丙 丁 单 价 （百元/件） A B 有效时数 2 1 4 0 2 2 0 1 240 200 180 140 2 3 （1）求收入最大的生产方案；

8

（2）若引进新产品C，每件在机床甲，乙，丙，丁的加工时间分别是3，2，4，3小时，问C的单价多少时才宜投产？当C的单价为4百元时，求C投产后的生产方案。

（3）为提高产品质量，增加机床戊的精加工工序，其参数如下。问应如何安排生产。

产品 B 精加工时间 2 248 2.4 数 A 有效时

13、考试安排

某校经预赛选出A、B、C、D四名学生，将派他们去参加该地区各学校之间的竞赛。此次竞赛的四门功课考试在同一时间进行，因而每人只能参加一门，比赛结果将以团体总分计名次（不计个人名次）。设下表是四名学生选拔时的成绩，问应如何组队较好？(至少3种模型与解法)。

课程 数学 物理 化学 外语

学生 14、

90 95 78 83 A 生产

85 89 73 80 B 方案

93 91 88 79 C 安排

79 85 84 87 D 已14某厂生产有关参数：

单位消耗 产品原料 甲

限额 A B C D E （公斤） 0.1 0 0.2 0.3 0.1 9

600 乙 丙 单价（元）

0.2 0.2 0.1 0 0.3 0 0.3 0 0.2 0.1 4 3 6 5 8 500 300 （1）求最优生产方案；

（2）根据市场情况，计划A至少生产500件，求相应生产方案； （3）因E滞销，计划停产，求相应生产方案；

（4）根据市场情况，限定C不超过1640件，求相应生产方案； （5）若限定原料甲需剩余至少50公斤，求相应生产方案；

（6）若限定生产A至少1000件，生产B至少200件，求相应生产方案。

15、电力公司发电计划

某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上，位置如下图所示。

水源A 水库A 发电站A 水库B 发电站B 水源B 已知发电站A可以将水库A的1万m3的水转换为400千度电能，发电站B只能将水库B的1万m3的水转换为200千度电能。发电站A，B每个月的最大发电能力分别是60000千度，35000千度，每个月最多有50000千度电能够以200元/千度的价格售出，多余的电能只能够以140元/千度的价格售出。水库A，B的其他有关数据如下（单位：万立方米）

水库最大蓄水量 水源流入水量 本月 下月 水库A 2000 200 130 1200 10

水库B 1500 40 15 800 水库最小蓄水量

水库目前蓄水量

1900 850 请你为该电力公司制定本月和下月的生产经营计划。（千度是非国际单位制单位，1千度＝103千瓦时） 16投资策略问题

某公司拟对8个项目进行投资，下表是公司过去一年中这些项目的月净收益率，试通过分析表中数据来确定公司下一步的投资计划。

月1 2 3 4 5 6 份 项目 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 月份 项目 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 0.015 0.039 0.002 0.012 0.055 -0.011 0.017 0.007 7 0.018 -0.051 0.018 0.102 0.019 0.014 0.042 0.021 0.012 0.040 0.011 0.017 0.032 0.077 -0.005 -0.006 0.081 0.003 0.039 0.001 0.028 0.044 0.003 10 0.019 0.036 0.007 0.004 0.001 0.150 0.023 0.081 0.022 0.002 11 0.002 0.022 0.010 0.002 -0.062 0.003 -0.076 0.002 0.021 -0.021 0.017 12 0.017 0.021 0.003 0.049 0.015 0.031 0.051 0.019 -0.048 0.026 0.014 0.012 0.099 0.006 8 0.007 0.002 0.009 0.116 0.001 0.063 0.034 0.011 9 0.014 0.047 0.011 0.002 -0.083 -0.022 -0.015 0.022 0.011 0.044 0.025 0.026 0.039 0.023 -0.023 0.009 -0.002 0.008 0.003 0.016 0.052 0.024 要求：由于市场限制，对项目A1、A3、A7的每项投资不能超过1千万元，对A1 和A5的投资总额不能超过1.6千万元，对A8的投资不能超过2千万元。

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一、设公司下一步的总投资额为6千万元，试建立一个数学模型用以求解最佳投资方案，使公司总期望收益尽可能大。

二、分析上述投资方案的风险，问是否可以对上面的数学模型进行调整，或建立一个新的模型，使投资方案更为合理？

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17航空公司超订机票模型

设某次班机飞行费用为f，飞机的容量为N，出售的机票数为m，票价为g。假定旅客可以迟到（设每位旅客迟到的概率为q，0?q?1），机票在一周内或某个时间段仍然有效。航空公司为确保自身利益，往往超订机票，从而使m?N。这时，会产生持票旅客被“挤”到下一个航班的情况。如果有一位旅客被 “挤”，航空公司要付赔偿金b，但如果同一航班

.6Ng?f，至少有5位旅客被 “挤”，就会给航空公司带来较大的负面影响。假定费用基数0b?0.3g.

1．试建立航空公司的期望收益（利润）模型。 2．对300个座位的飞机及q?0、q?0.1，分析公司的期望收益率（期望利润/飞行费用）.05及至少有一位旅客被挤掉和至少有5位旅客被挤掉的概率，由此确定较合理的订票数m。 3．考虑出售两种票：全费票，票价g，机票在某一时间段内有效；折扣票，票价rg，(0?r?1)机票仅在指定班次有效。试建立期望收益模型。

.6(jrg?(N?j)g)?f对300个座位的飞机及q?0，折扣率r?0，费用基数0,试确.75.05定合理的订票总数m及折扣票数j。

18最佳组队方案问题

在一年一度的我国和美国大学生数学建模竞赛活动中,任何一个参赛院校都会遇到如何

选拔最优秀的队员和科学合理地组队问题这是一个最实际的,而且首先需要解决的数学模型问题.

现假设有20名队员准备参加竞赛,根据队员的能力和水平要选出18名优秀队员分别组成6个队,每个队3名队员去参加比赛,选拔队员主要考虑的条件依次为有关学科成绩(平均成绩)、智力水平(反映思维能力、分析问题能力和解决问题能力等)、动手能力(计算机的使用和其他方面实际操作能力) 写作能力、外语能力、协作能力(团结协作能力)和其他特长.每个队员的基本条件量化后如表.

假设所有队员接受了同样的培训,外部条件相同,竞赛中不考虑其他的随机因素,竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件,并且参赛队员都能正常发挥自己的水平.现在的问题是:

1) 在20名队员中选择18名优秀队员参加竞赛; 2) 确定一个最佳的组队使竞赛技术水平最高；

3) 给出由18名队员组成6个队的组队方案，使整体竞赛技术水平最 高，并给出每个队的竞赛技术水平。

表 条件 学科智力动手写作外语协作其它 成绩 水平 能力 能力 水平 能力 特长 队员 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） A 8.6 9.0 8.2 8.0 7.9 9.5 6 B 8.2 8.8 8.1 6.5 7.7 9.1 2 C 8.0 8.6 8.5 8.5 9.2 9.6 8 D 8.6 8.9 8.3 9.6 9.7 9.7 8 E 8.8 8.4 8.5 7.7 8.6 9.2 9

13

F G H I J K L M N O P Q R S T 9.2 9.2 7.0 7.7 8.3 9.0 9.6 9.5 8.6 9.1 9.3 8.4 8.7 7.8 9.0 9.2 9.6 8.0 8.2 8.1 8.2 9.1 9.6 8.3 8.7 8.4 8.0 8.3 8.1 8.8 8.2 9.0 9.8 8.4 8.6 8.0 8.1 8.3 8.2 8.8 8.6 9.4 9.2 9.6 9.5 7.9 7.2 6.2 6.5 6.9 7.8 9.9 8.1 8.1 8.4 8.8 9.2 9.1 7.6 7.9 9.0 9.1 8.7 9.6 8.5 9.0 8.7 9.0 9.0 8.8 8.6 8.4 8.7 9.0 7.7 9.0 9.2 9.7 9.3. 9.4 9.5 9.7 9.3. 9.0 9.4 9.5 9.1 9.2 9.6 9.0 6 9 6 5 4 5 6 7 5 5 6 7 8 9 6

19库存问题

假定我们是在一个零售商店工作，我们的责任是从批发者手里订购货物，使商店维持一定数量的货物品种。现在需要制定一个简单的策略以补充新的商品。

当商店库存商品数量下降到只有P项（称之为重新订购点），我们需要从批发商那里订购多于Q项的商品（称重新订购量）。如果在某一天顾客需求超过了库存量，这种超过的部分代表经营受到损失，商店失去了信誉。另一方面，库存量太多意味着提高了商品的保管费（例如，存储费用、保险费、利息、损坏变质等），库存量太少，订购太频繁将导致支付过多的订购费用，为了把问题简化，先作以下几个假定。

1． 从订购货物到货物进入商店只延迟三天，即在第i天晚上订购的货物，在第i+3

天的早晨货品就可以进入商店。

2． 库存的每个商品，每晚的管理费是0.75元。

3． 商品的脱销导致商店经济的损失，每种商品价值200元，再加上净收入的损失

1600元，这必将导致每种经营商品的总损失1800元。经营性的损失是永久性的损失，它们不能从订购中赚回来。

4． 忽略定购货品的数量，在每个订购地点的费用为75元（如手续费、采购费等）。 5． 每天顾客的需求可以是从0到99等可能的任意的商品数。 6． 最初库中的商品数为115。 7． 不存在欠款订购商品的情况。 有了这些条件，便于我们比较下列5种商品的策略，选择其中一种具有最小成本的策略。

策略 重新订购点P 重新订购量Q 1 2 3 4 5 建立模拟模型并求解上述问题。

125 125 150 175 175 14

150 250 250 250 300

20辖区警务资源的合理配置和经费的合理使用

据报道，“五一”期间，在执勤的人民广场派出所巡警身上佩戴着新的巡警“八件套”，包括手枪、手铐、警棍、警绳、对讲机、工作包、强光手电等。据息，5月1日一早人民广场派出所的24名警力就上街执勤了。 全市有400余辆警车和600辆专用巡逻自行车投入到节日大巡逻当中。节日期间，每天将有6000余名警力、4000余名巡防辅助力量和这些高科技监控设施、警用装备在全市大街小巷进行人机合一的全方位防控，确保市民及游客平安快乐地度过“五一”假期。

问题：假设某个派出所现有警车三辆，警员30人，其中巡警20人，巡防辅助人员可自主聘用，每位聘用人员月薪400元，新巡逻自行车可自主购买，一辆700元，在辖区内巡逻时警车时速40公里/小时，车上必有一名巡警和三名以下的巡防辅助人员，巡逻自行车时速20公里/小时，步行巡逻时速10公里/小时。所里每年有下拨的警务经费5万元，全部用于聘人和购自行车，请你制定一个最佳的经费使用方案和辖区巡视方案：

1．使得辖区内的各种案件发生率最低；

2．当辖区内任一处发生报警时，警务人员能在5分钟内赶到现场，至少需要经费多少元；

3。用通俗的语言写一篇短文给派出所领导，阐明你的方案。

附辖区平面图：

A11 B11 C11 D11 E11 F11 学 G11 H11

说明：线代表街道，边长为400米； C11至C17为商业街；H11至H17紧靠大山；

D13 为派出所所在地；C16是银行所在地。

15

A12 B12 C12 D12 E12 F12（门） A13 B13 C13 D13 E13 F13 G13 H13 A14 B14 C14 D14 E14 F14 G14 H14 A15 B15 C15 D15 E15 F15 A16 B16 C16 D16 E16 F16（门）A17 B17 C17 D17 E17 F17 校 G12 H12 工 H15 厂 H17

2 3 4 20 21 48 13 16 27 40 25 43 35 42 16

28个人住房贷款

今年年初由中国建设银行北京市分行印发的《个人住房贷款简介》的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题。其中指明贷款最高金额为拟购买住房费用的70%；贷款期限最长为20年。个人住房贷款利率如附表1所示。借款人在借款期内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。附表2中列出了在不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和。试给出公式说明附表2中后三列数是如何算出来的。

近来经国务院批准，中国人民银行决定从1999年9月21日起，延长个人住房贷款期限并降低利率以支持城镇居民购房。各商业银行个人住房贷款的最长期限由现行的20年延长到30年。每笔贷款年限由商业银行根据个人的年龄、工作年限、还款能力等因素与借款人协商确定。个人住房贷款年利率最高水平降为5.58%，并根据贷款期限划分为两个档次：5年以下（含五年）为年利率5.31%，五年以上为年利率5.58%

请你根据新规定计算5年期、20年期的月均还款额、还款总额和利息负担总和，并与原附表2中的同期贷款的负担情况比较，住房贷款的负担各降低了多少。

附表1：中国建设银行北京市分行个人住房贷款利率表 贷款期 1年（含） 1～3年（含） 3～5年（含） 5～10年（含） 10～20年（含） 5.10 5.325 5.55 6.00 6.30 月利率（‰） 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 年利率（%）

附表2：中国建设银行北京市分行个人住房贷款1～20年月均还款金额表（借款金额为一万元）单位：元 贷款期限（年） 年利率（%） 还款总额 利息负担总和 月均还款总额 1 6.12 10612.00 612.00 一次还本付息 5 6.66 11784.60 1784.60 196.41 20 7.56 19423.20 9423.20 80.93

29狐狸与野兔问题

在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔，设t时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足以下微分方程组

?dy?0.002xy?0.8y,??dt? dx??3x?0.015xy.??dt

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（1） 建立上述微分方程的轨线方程；

（2） 在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？

（3） 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行

捕猎又会产生什么后果？

模型求解时，请分别选用下面的两组数据进行计算。 1． 狐狸初始为150，兔子为80 2． 狐狸初始为90，兔子为210

30一个修理厂的模拟

某修理厂设有6个停车位置，其中一个位置供正在修理的汽车停放。现以一天为一个时段，每天最多修好3辆车，每天到达修理站的汽车数有如下概率分布：

到达数 0 1 2 概率 0．6 0．2 0．2 每天修理站修好的汽车数有如下概率分布： 修好的汽车 0 1 2 3 概率 0．01 0．2 0.49 0．3 本时段内未能完成修理的汽车于正在等待修理的汽车一起进入下一时段。

试问：该停车厂有无必要增加停车位置，并说明理由。请从经济效益出发进行建模。

说明：

（1） 基本目的：了解系统模拟的建模与模拟的一般步骤，并会设计类似问题的系统模拟的

算法，掌握程序设计的一般实现方法。

（2） 建立模型时，其中对于“有无必要”增加停车位置做较详细的分析和理解。

B组

1工件的安装与排序问题

某设备由24个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。

Ⅰ．设备的24个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上，放在每个扇形区域的4个工件总重量与相邻区域的4个工件总重量之差不允许超过一定值（如4g）。

Ⅱ．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求，即两相邻工件的体积差应尽量大，使得相邻工件体积差不小于一定值（如3 cm3）；

Ⅲ．当工件确实不满足上述要求时，允许更换少量工件。 问题1．按重量排序算法；

问题2．按重量和体积排序算法；

问题3．当工件不满足要求时，指出所更换工件及新工件的重量和体积值范围，并输出排序结果。

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请按下面两组工件数据（重量单位：g，体积单位：cm3），进行实时计算： 序号 重量 体积 序号 重量 体积 348 101.5 1 358.5 103 1 352 102 2 357.5 103 2 347 105 3 355 103 3 349 105.5 4 351 103.5 4 347.5 106 5 355.5 103 5 347 104 6 357 102 6 330 94 7 341 96 7 329 98 8 342 96.5 8 329 100.5 9 340 95.5 9 327.5 98.5 10 344 97 10 329 98 11 342.5 95.1 11 331.5 99 12 343.5 96.5 12 348.5 104.5 13 357.5 102.5 13 347 105 14 355 103 14 346.5 107.5 15 353.5 103.5 15 348 104.5 16 356.5 103.5 16 347.5 104 17 356 103.5 17 348 104.5 18 352.5 104 18 333 97 19 342.5 98 19 330 97 20 344 96.5 20 332.5 99 21 339.5 98 21 331.5 98 22 341.5 96 22 331.5 96.5 23 341 96 23 332 94.5 24 345 97 24

2有价证券投资

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级，到

期年限、收益如下表所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50％的税率纳税，此外还有以下限制：

（1） 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2） 所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)； （3） 所购证券的平均到期年限不超过5年。 证券名称 证券种类 信用等级 到期年限/年 到期税前收益/% A 2 9 4.3 市政 B 2 15 5.4 代办机构 C 1 4 5.0 政府 D 政府 1 3 4.4 E 市政 5 2 4.5 试问： ① 若该经理有2000万元资金，应如何投资？

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② 如果能够以2.75%的利率借到不超过500万元资金，该经理应如何操作？并考虑利率在什么范围内变化时，投资方案不改变？

③ 若证券A的税前收益增加为5%,投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.7%，投资应否改变？

3超级市场的问题

一小超级市场有4个付款柜，每个柜台为一位顾客计算货款数的时间与顾客所购商品件数成正比（大约每件费时1秒种），20%的顾客用支票或信用卡支付，这需要1.5分钟，付现款则仅需0.5分钟。有人倡议设一个快速服务台专为购买8个或8个以下商品的顾客服务，指定另外两个为“现金支付柜”。

请你建立一个模拟模型，用于比较现有系统和倡议的系统的运转。假设顾客到达平均间隔时间是0.5分，顾客购买商品件数按下频率表分布。 件数 ≤8 9～19 20～29 30～39 40～49 ≥50 0.12 0.10 0.18 0.28 0.20 0.12 频率 4办公室电话系统

一个办公室有三条电话线可打进，也就是说在任何时刻最多能接待三名顾客，顾客打进电话是随机的，其时间服从上午9点至下午5点的均匀分布；每次电话持续时间是均值为6分钟的随机变量。 由于可能三个电话机同时占线而打不过进电话，他们当中部分人稍后可能重拨电话，而其他人则可能放弃通话。平均一天接通70个电话，但经理很担心会损失顾客源。

请你建立一个模型模拟办公室电话系统，帮助经理在休息时思考这个问题，用你的模型做下述估计工作。

（1）无电话占线，有一条，两条占线和三条都占线的时间百分比。 （2）未打进电话的顾客所占百分比。 公室再新装一部电话，你怎样修改模型？改进这一模型还需要其他什么信息？

5牧场的管理

有一块一定面积的草场放牧羊群，管理者要估计草场能放牧多少羊，每年保留多少母羊羔，夏季要贮存多少草供冬季之用. 为解决这些问题调查了如下的背景材料： 1）

本地环境下这一品种草的日生长率为

季节 冬 春 夏 秋

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日生长率0 3 7 （g/m2） 4 2）羊的繁殖率 通常母羊每年产1~3只羊羔，5岁后被卖掉。为保持羊群的规模可以买进羊羔，或者保留一定数量的母羊。每只母羊的平均繁殖率为

年龄 0~1 1~2 2~3 3~4 4~5 产羊羔数 0 1.8 2.4 2.0 1.8 3)羊的存活率 不同年龄的母羊的自然存活率（指存活一年）为

年龄 存活率 1~2 2~3 3~4 0.98 0.95 0.80 4）草的需求量 母羊和羊羔在各个季节每天需要的草的数量（kg）为

季节 冬 春 夏 秋 母羊 2.05 2.40 1.15 1.30 羊羔 0 1.00 1.65 0 注：只关心羊的数量，而不管它们的重量。一般在春季产羊羔，秋季将全部公羊和一部分母羊卖掉，保持羊群数量不变。

6、投资风险决策

某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择，每个项目可重复投资。根据专家经验，对每个项目投资总额不

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3、 优化理论中的线性规划问题---生产安排。

某公司打算利用具有下列成分（见下表）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。 合金品种 含铅% 含锌% 含锡% 单价（元/kg） 1 30 60 10 8.6 2 10 20 70 6.0 3 50 20 30 8.9 4 10 10 80 5.7 5 50 10 40 8.8 要求：（1）根据题意，列出该问题的线性规划模型；

（2）利用单纯形法求解（1）中的模型，并写出分配方案； （3）编程实现上述求解过程；

（4）利用程序验证上述模型的最优解。

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4、 非线性方程求解

分别用二分法、牛顿切线法、迭代法求解非线性方程sinx?x?0的非

3负实数根。

要求：（1）精确到10?6，取不同的初值计算，输出初值、根的近

似值和迭代次数，分析根的收敛域。

（2）编写二分法、牛顿切线法的程序。（可以用Matlab或C语言）。

2tanx（3）迭代法求解（可构造不同的迭代公式，如x等）。 n?1?n（4）比较三种方法的优劣。 5、 非线性回归问题-------多项式回归

给动物口服某种药物A 1000mg，每间隔1小时测定血药浓度（g/ml），得到表9-5的数据（血药浓度为5头供试动物的平均值）。血药浓度与服药时间测定结果表：

服药时间x（小时） 血药浓度y(g/ml)

1 21.89

2 47.13

3 61.86

4 70.78

5 72.81

6 66.36

7 50.34

8 25.31

9 3.17

要求：1）画出散点图y与x，并观察y与x的关系；

?0?ax?-----y?a2）求y关于x的一元线性回归方程：?（1），求出a0,a111的值；

3）对上述回归模型和回归系数进行检验；

4）再求y关于x的一元多项式线性回归方程。（如：

2????y?a?ax?ax----（2））求出a1,a2,a3的值，并比较二个回归方程对01121原来问题求解的优劣。 5）编程实现上述求解过程。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cebx.html