连续型随机变量的概率密度函数和独立性

随机变量

第2 9卷第 3期20 0 9年 5月

大庆师范学院学报

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J U N LO A I GN R LU IE ST O R A FD Q N O MA NV R IY

连续型随机变量的概率密度函数和独立性郭英，张宏礼，苫社，王徐艳

(黑龙江八一农垦大学文理学院，龙江大庆 1 3 1 )黑 6 3 9

摘

要：续型随机变量在分布函数的非连续导数点，何求概率密度函数值，何判定两个连续型随机变量的独连如如

立性 .有研究价值的问题。结合实例分析得出结论：分布函数的非连续导数点是有限个或可列个时，是在只要将概率 密度函数适当辛充定义，之在负无穷到正无穷之间有定义，卜使即可满足要求；两个连续型随机变量，须在一个非零必测度集上满足联合概率密度函数不等于两个边缘概率密度函数的乘积时，能说明二者不独立。才 关键词：率论；续型随机变量；率密度函数；布函数；立性概连概分独

作者简介：郭英 (9 7 )女，龙江宁安人，龙江八一农垦大学文理学院数学系讲师， 17一，黑黑从事随机微分方程、随机动力系统的研究。

基金项目：0 7年黑龙江省高等学校教学改革工程项目：信息与计算科学专业课程体系的建设与应用型人才培养 20的研究：0 8年黑龙江省高等学校教学改革工程项目：信息与计算科学专业实践教学优化设置和专业特色建设的 20研究和实践。

中图分类号： 2 5 0 1. 1

文献标识码： A

文章编号：0 6 2 6 (0 9 0— 0 5 0 1 0— 1 5 2 0 )3 0 7— 3

收稿日期：0 8 0 - 5 2 0— 5 1

在概率论和数理统计中，常会有连续型随机变量的概率密度函数与分布函数互求的问题。连续型经设

随机变量 X的概率密度函数和分布函数分别为fx和 F x, () ()则分布函数是概率密度函数的积分上限函

数， () t t即F=j )反过来， d在概率密度函数的连续点有 () ) 。通常对于分布函数有连续导数的点可以应用上式求出概率密度函数值。是，但在分布函数的其它点如

何求概率密度函数值，数教材都没有提及。多学者研

究了连续型随机变量的一些性质，多很如文献【—】少 1 3,数学者研究了概率密度函数，文献【—]但是有关在连续型随机变量分布函数的非连续导数点如何定义如 45,

概率密度函数值的文献，却几乎没有看到。

1连续型随机变量的概率密度函数与分布函数一

般说来。率密度函数的不连续点只有有限个或可列个，变这些点的函数值 (概改只要是非负有限实

数即可 )对于用黎曼积分或勒贝格积分求相关事件的概率是没有影响的，因为连续型随机变量取值在有限

个点或可列个点、乃至零测度集上的概率是零。有鉴于此，在分布函数的非连续导数点是有限个或可列个时，只要将概率密度函数适当补充定义 (非负实数即可 )使之在负无穷到正无穷之间有定义就可以了，取，如下例。 例题 l设连续型随机变量的分布函数为：胖

求概率密度函数fx。 ()解： x 0时， ) le当>,=—有连续导数，导得厂=一；求 (: )e7 5

随机变量

当 x 0时， ( )O有连续导数，< F=求导得厂 )0 (=; 当 x 0时， ( )= F 不可导，补充定义 O为任意有限实值即可以， )为方便并和 F分段形式一致， ()可取.

0: 01 )e-整理得 .:=

在例题 1,中为方便起见，和 F 分段形式一致而补充概率密度函数 )分布函数的非连续导并 ()在数点的定义是经常使用的方法。如果为方便并和 F ) (分段形式一致而补充概率密度函数厂 ) (定义时没有 实际意义，以考虑将要补充的概率密度函数 f x的值定义在和它 I近的区间上较好，下例。可 () J缶如例题 2设连续型随机变量的分布函数为：0. <一l

( ) =

手 r专ai c s1 .

< - 1>1

求概率密度函数 f x。 ( )解：当< 1时， ( )O有连续导数，一 F=求导得 ) 0=;

￣-<<时， ( ) aci有连续导数，导得 )— lx l F =1+ rs n求=丌 7、 r/l.

;

当 x l, ( ) 1连续导数，>时 F=有求导得厂 )0 (=;当 X -,, ( )[ f,= I 1时 F x Y -导为方便并与 F 分段形式一致而按着 )—_ g f￣ ()=

_7、 1 r/—‘

形式补充概率密度

函数值时无实际意义，以可以补充定义一 )0 1=,所 1= ) 0也就是补充定义在一和 1邻的两边的区间 1相上，这样使得概率密度函数表达式比较简单，整理得—

,一

l<l<x

霄嚼\)=

其它

0。

2两个连续型随机变量的独立性设 ( y是二维随机变量，, )如果对任意的实数 x, y总有P X￣x y ) P s )P Y<y (, y= ( ( - )则称随机变量， y相互独立。

上式等价于：当联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积时，即F x )F() () (,= x ) y , () 1

则称随机变量 . y相互独立。一

般教材讲： ( y)二维连续型随机变量，随机变量，互独立的充要条件是：设，是则 y相联合概率密 fx )f() () (,=xx ) y, () 2

度函数等于两个边缘概率密度函数的乘积。即如果确实如此。则下例的解法是正确的。 例题 3设二维连续型随机变量 ( y)由轴、:,在 Y轴及直线+=所围成的区域 A上服从均匀分 1厶

布。问与 l是否独立？,

解：先，知 ( y)首易，的联合概率密度函数为

x) A l, (,∈ 1 y,

y= ){

、

l, (,) A 0 x隹 y7 6

随机变量

再求与 y各自的边缘概率密度函数，得

f (一 ) O x l 1x,<< 2

1 -

,

0y <<2

f(){ x= i0,

^() y=其它0, 其它

取=,1 J,)‘ 1 则，) ()()而 ) Y,争= }=侣￣ l 1 )。:,争≠}争， ≠ C'~ T = 39 1矗 3从( ) ( )所以 X与 y不相互独立。 听 ),,

连续型随机变量在一个点取值的概率是零，结论虽然正确，仅由一个点不满足 fxy () ()但 (,) ,就判定与】不相互独立是不正确的。, 事实上，面的随机变量，上 y相互独立的充要条件是非必要的，: ( )容易推出 ( )但是反之即由 2很 1,不一定成立。维型随机变量在有限个点或可列个点、至零测度集上不满足 ( ),二乃 2式由于随机变量在有限个点或

可列个点、至零测度集上取值的概率都是零，乃就不会影响积分的计算，1式仍会成立， ()如下例。

例题 4设二维连续型随机变量 ( y):,的联合概率密度函数为

f,≥Oy 0 ,- e>,

y= ){10 , 其它

问与】是否独立？, 解：首先，下求与 y各自的边缘概率密度函数，如得

^) - - ( f> x 0=

{

f(){ Y: y

f y0 - e> - y【0 y 0,<

1, x0 0<容易验证，对任意实数，有】,

{, 0Y e , 0,

y= ){ 10 ,

= () () 其它

所以与】相互独立。 ,只要 ( )几乎处处成立就可以推出( ) 2式 1式成立，以更准确地说，维连续型随机变量，所二 y相互独

立的充要条件是：乎处处有联合概率密度函数等于两个边缘概率密度函数的乘积。有了这样的认识 . 几当我们在考试或练习中遇到两个随机变量不独立的证明问题就要慎重了。必须在一个有效区域 (非零测度

集)上验证 fx ) ( ) ( )才能说这两个随机变量不独立。{,) y,,

3结论分析了连续型随机变量在分布函数的非连续导数点适当定义概率密度函数值问题 .分析了两个连续型随机变量的独立性问题，出独立的充要条件是：乎处处有联合概率密度函数等于两个边缘概率密度指几函数的乘积。个连续型随机变量不独立的证明，须在一个有效区域 (两必非零测度集 )上验证联合概率密度函数不等于两个边缘概率密度函数的乘积，能说两个随机变量不独立。才

【考文献】参【崔书英 .个连续型随机变量相互独立判定定理[.国煤炭经济学院学报， 9 ( ) 5 8 . 1]两 J中] 1 64:—7 9 8 【高敬振，俊青.连续型随机变量独立性的一种判别方法【.师范大学学报：科学版， 0, ( )15 I9 2]蔡例谈 J山东]自然 2 72 3:1一 1 0 2[冯强，荣波.于一维连续型随机变量函数分布的注记[ .技术与工程， 0,( ) 74 17, 7 . 3】王关 J科学] 2 887: 7— 7 61 9 0 1 7

[] 4刘芳，潘洁.关于概率密度函数定义的探讨[. J辽宁税务高等专科学校学报， 0

, ( ) 5 3 .] 2 21 1:— 6 0 4 3【朱夺宝 .于一维概率密度函数的补充性质【 .里木大学学报， 0, ( ) 9 9 . 5】关 J塔] 2 61 4:—0 0 8 877

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