解-点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用资料

“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理 在抛物线y?2mx(m?0)中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN?y0?m.

2??y1?2mx1,??(1)证明：设M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则有?2

??y2?2mx2.??(2)2(1)?(2)，得y1?y2?2m(x1?x2).

22?y2?y1?(y2?y1)?2m.

x2?x1y2?y1,y2?y1?2y0.

x2?x1又?kMN??kMN?y0?m.

注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线x?2my(m?0)中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则

21kMN?x0?m.

注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.

例1．抛物线y?4x的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ） A. y2?x?1 B. y?2(x?1) C. y2?x?2212 D. y?2x?1 2解：m?2，焦点(1,0)在x轴上. 设弦的中点M的坐标为(x,y). 由kMN?y?m得：

2y?y?2， x?1整理得：y?2(x?1).

?所求的轨迹方程为y2?2(x?1).故选B.

例2．抛物线y?2x上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是（ ）

21111（y＞） B. y?（x＞） C. y?2x（x＞1） D. y?2x?1 2222112解：由y?2x得x2?y，?m?，焦点在y轴上. 设平行弦的中点M的坐标为(x,y).

24A. x?由

1kMN11?x?m得：?x?，

24?x?1. 2211时，y?. 2211?点M的轨迹方程为x?（y＞）.

22在y?2x中，当x?故答案选A.

例3．（03上海）直线y?x?1被抛物线y?4x截得的线段的中点坐标是___________.

解：焦点(1,0)在x轴上. 设弦MN的中点P的坐标为(x,y)，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，m?2，则kMN?1.由kMN?y0?m得：y0?2，

2?2?x0?1.从而x0?3.

?所求的中点坐标是(3,2).

例4．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，它和直线y?x?1相交，所得的弦的中点在x?y?5 上，求抛物线的方程.

解：设抛物线的方程为y?2mx(m?0)，直线与抛物线的两个交点为M、N，弦MN的中点P的坐标为(x0,y0).

由kMN?y0?m得：y0?m，

222?x0?y0?1?m?1.

又?点P(m?1,m)在圆x?y?5上，

22?(m?1)2?m2?5.

解之得：m??2,或m?1.

?y?x?1,2由?2得：x?2(m?1)x?1?0. ?y?2mx.?直线与抛物线有两个不同的交点，

???4(m?1)2?4＞0. ?m＜?2，或m＞0.

?m?1.

故所求的抛物线方程为y?2x.

例5．已知抛物线y?12x上永远有关于直线l:y?4x?m对称的相异两点，求实数m的取值范围.

解：设抛物线上A、B两点关于直线l对称，且弦AB的中点为P(x0,y0). 根据题意，点P在直线l上，AB?l，?kAB??又y?12x，y?2mx，?m?6.

22221. 41?y0?6，?y0??24. 4m?24又由y0?4x0?m，得：x0??.

4由kAB?y0?m，得：?点P(x0,y0)在抛物线的开口内，

?(?24)2＜12?(?m?24). 4解之得：m＜?216.

故实数m的取值范围(??,?216).

例6. （05全国Ⅲ文22）设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y?2x上，l是AB的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当x1?x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论. （Ⅱ）当x1?1,x2??3时，求直线l的方程. 解：（Ⅰ）?x2?2111y，?p?,F(0,). 248设线段AB的中点为P(x0,y0)，直线l的斜率为k，则x1?x2?2x0.

若直线l的斜率不存在，当且仅当x1?x2?0时，AB的垂直平分线l为y轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l的斜率存在，则其方程为y?k(x?x0)?y0，kAB??1. k由

1kAB?x0?p得：?kx0?11，?x0??. 44k若直线l经过焦点F，则得：

111??kx0?y0??y0，y0??，与y0?0相矛盾. 844?当直线l的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.

综上所述，当且仅当x1?x2?0时，直线l经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当x1?1,x2??3时，A(1,2),B(?3,18),x0?x1?x2y?y2??1,y0?1?10. 22由

1kAB?x0?p得：k?

1

. 4

?所求的直线l的方程为y?1(x?1)?10，即x?4y?41?0. 42例7．已知直线x?y?2?0与抛物线y?4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是________. 解：y?4x，y?2mx，?m?2. 直线的斜率为1. 由kMN?y0?m得：y0?2. 代入x0?y0?2?0求得x0?4.

22?线段AB的中点坐标是(4,2).

例8．直线y?kx?2与抛物线y?8x交于不同的两点P、Q，若PQ中点的横坐标是2，则

2|PQ|=____.

解：y?8x，y?2mx，?m?4.

在y?kx?2中，x0?2时，y0?2k?2，?若PQ中点的纵坐标是y0?2k?2.

2由kAB?y0?m得：k(2k?2)?4，即k?k?2?0.

22解之得：k?2或k??1. 由??y?kx?2,2?y?8x.得：kx?4(k?2)x?4?0.

22?直线与抛物线交于不同的两点，

2??k?0,??

22????16(k?2)?16k?0.解之得：k＞?1且k?0. ?k?2.

?y?2x?2,由?2得：4x2?16x?4?0. 即x2?4x?1?0. ?y?8x.设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2?4,x1x2?1.

?|PQ|?(1?k2)(x1?x2)2?4x1x2?5(16?4)?215.

例9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线l:y??4x?1被抛物线C所截得的弦AB的中点M的纵坐标为?2，则抛物线C的方程为____________. 解：y?8x，y?2mx，?m?4. 由kAB?y0?m得：kAB?4.

22???AB所在的直线方程为y?1?4(x?4)，即4x?y?15?0.

例10．设P1P2为抛物线x?y的弦，如果这条弦的垂直平分线l的方程为y??x?3，求弦P1P2所在的直线方程.

解：设抛物线的方程为y?2mx（m＞0）. 在y??4x?1中，斜率为?4，y??2时，x?由kAB?y0?m得：?4?(?2)?m，?m?8.

2233. ?弦AB的中点M的坐标为(?,?2). 44?所求的抛物线的方程为y2?16x.

例11．过点Q(4,1)作抛物线y?8x的弦AB，若弦AB恰被Q平分，则AB所在的直线方程为_______.

2解：x?y，x?2my，?m?221. 弦P1P2所在直线的斜率为1. 设弦P1P2的中点坐标为21. 21515?3?.弦P1P2的中点坐标为(,). 2222(x0,y0).由

1kP1P2?x0?m得：x0?弦P1P2的中点也在直线y??x?3上，?y0???弦P1P2所在的直线方程为y?251?1?(x?)，即x?y?2?0. 22例12．已知抛物线y?2x上有不同的两点A、B关于直线l:y?x?m对称，求实数m的取值范围. 解：设弦AB的中点为P(x0,y0).

根据题意，AB?l，?kAB??1. 又x2?由

11y，x2?2my，?m?. 2411，?x0??. 441kAB?x0?m，得：?1?x0?又由y0?x0?m，得：y0??1?m. 4点P(x0,y0)在抛物线的开口内，

111?(?)2＜?(??m).

4243解之得：m＞.

83故实数m的取值范围(,??).

8例13．（05全国Ⅲ理21）设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y?2x上，l是AB的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当x1?x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论. （Ⅱ）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上的截距的取值范围. 解：（Ⅰ）?x2?2111y，?m?p?,F(0,). 248设线段AB的中点为P(x0,y0)，直线l的斜率为k，则x1?x2?2x0.

若直线l的斜率不存在，当且仅当x1?x2?0时，AB的垂直平分线l为y轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l的斜率存在，则其方程为y?k(x?x0)?y0，kAB??由

1. k1kAB?x0?m得：?kx0?11，?x0??. 44k若直线l经过焦点F，则得：

111??kx0?y0??y0，y0??，与y0?0相矛盾. 844?当直线l的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.

综上所述，当且仅当x1?x2?0时，直线l经过抛物线的焦点F.

（Ⅱ）当k?2时，由（Ⅰ）知，x0??，直线l的方程为y?2x?y0?181， 4?它在y轴上的截距b?y0?直线AB的方程为y??11，y0?b?. 44115(x?x0)?y0，即y??x?b?. 2216代入y?2x并整理得：4x2?x?2b?25?0. 8?直线AB与抛物线有两个不同交点，

5???1?16(?2b?)＞0，即32b?9＞0.

89?b＞.

329故l在y轴上的截距的取值范围是(,??).

32例14．(08陕西文理20) 已知抛物线C：y?2x，直线y?kx?2交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.

（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

（Ⅱ）是否存在实数k使NA?NB?0，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由. 证明：（Ⅰ）x2?211y,m?p?，设点M的坐标为(x0,y0). 24当k?0时，点M在y轴上，点N与原点O重合，抛物线C在点N处的切线

为x轴，与AB平行. 当k?0时，由

1kAB?x0?p得：x0?k. 4?yN?2x02k2kk2?. 得点N的坐标为(,). 848k2kkk2?m(x?)，即y?m(x?)?设抛物线C在点N处的切线方程为y?. 8448kk2代入y?2x，得：2x?m(x?)?，

4822kmk2??0. 整理得：2x?mx?482kmk2??m?8(?)?m2?2km?k2?(m?k)2?0，

482?m?k，即抛物线C在点N处的切线的斜率等于直线AB的斜率.

故抛物线C在点N处的切线与AB平行.

（Ⅱ）解：若NA?NB?0，则NA?NB，即?ANB?90?.

?|AB|?2|AM|?2|BM|?2|MN|.

k2?8y0?kx0?2?，

4k2?8k2k2?16???|MN|?y0?yN?. 488?y?kx?2,2由?得2x?kx?2?0. 2?y?2x.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2?22k,x1x2??1. 22k21?|AB|?(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]?(k?1)(?4)?(k2?1)(k2?16).

421k2?16(k2?16)22222(k?1)(k?16)?2??. 即(k?1)(k?16)?. 284k2?16化简，得：k?1?，即k2?4.

42?k??2.

故存在实数k??2，使NA?NB?0.

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