吉林省长白山一高2013学年高二数学选修2-1第三章综合能力检测

第三章综合能力检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则下列各命题中的真命题有( ) →→→→

①OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量 →→→→

②OB－OC与OA1－OD1是一对相反向量

→→→→→→→→

③OA＋OB＋OC＋OD与OA1＋OB1＋OC1＋OD1是一对相反向量 →→→→

④OA1－OA与OC－OC1是一对相反向量 A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

2．若a、b、c是非零空间向量，则下列命题中的真命题是( ) A．(a·b)c＝(b·c)a B．a·b＝－|a|·|b|，则a∥b C．a·c＝b·c，则a∥b D．a·a＝b·b，则a＝b

→→

3．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，→

AP＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是( )

A．相交 C．不垂直

B．垂直 D．成60°角

4．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，若存在点D, 使得DB∥AC，DC∥AB，则点D的坐标为( )

A．(－1,1,1)

B．(－1,1,1)或(1，－1，－1) 111

C．(－，，)

222

111

D．(－，，)或(1，－1,1)

222

5．下面命题中，正确命题的个数为( )

①若n1、n2分别是平面α、β的法向量，则n1∥n2?α∥β； ②若n1、n2分别是平面α、β的法向量，则α⊥β?n1·n2＝0；

③若n是平面α的法向量，b、c是α内两不共线向量a＝λb＋μc，(λ，μ∈R)则n·a＝0；

④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直 A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

→1→→→

6．已知ABCD是四面体，O是△BCD内一点，则AO＝(AB＋AC＋AD)是O为△BCD

3重心的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件

7．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是( ) 122，－，? A.?33??3

122－，，－? B.?3??33112，－，? C.?33??3

122122，－，?或?－，，－? D.?33??333??3

2

8．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，

31

AF＝AC，则( )

3

A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF是A1D，AC的公垂线 C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面

→→

9．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若AF＝AD→→

＋xAB＋yAA′，则x－y等于( )

A．0 1C. 2

B．1 1D．－ 2

AC1

10．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C是线段AB上一点，且＝，则C点的坐标为( )

AB3715

，－，? A.?22??2

8

，－3，2? B.??3?

107，－1，? C.?3??3

573

，－，? D.?22??2

11．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是( ) A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

12．a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是( ) A.5

5

B.

55

5

35C. 511D. 5

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．|a|＝|b|＝|c|＝1，a＋b＋c＝0，则a·c＋b·c＋a·b＝________.

14．已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数λ、m、n使→→→

λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值等于________．

15．在平面直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为________．

16．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成角的大小为______．

三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) →→→

17．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC－A′B′C′，设AB＝a，AC＝b，AA′＝c，→→→→

在面对角线AC′和棱BC上分别取点M、N，使AM＝kAC′，BN＝kBC(0≤k≤1)，求证：→

三向量MN、a、c共面．

18．(本小题满分12分)如图所示，在棱长为1的正方体AC1中，M、N、E、F分别是A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.

19．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．

(1)求证：AC⊥BC1. (2)求证：AC1∥平面CDB1 (3)求AC1与BC1所成角的余弦值．

20．(本小题满分12分)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求：

(1)M到直线PQ的距离； (2)M到平面AB1P的距离．

21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平1

面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD.

2

(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；

1

(2)设E是棱PD上一点，且PE＝PD，求异面直线AE与PB所成的角．

3

22．(本小题满分14分)(09·山东理)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．

(1)证明：直线EE1∥平面FCC1； (2)求二面角B－FC1－C的余弦值． 1[答案] C

[解析] ①∵四边形ADC1B1为平行四边形，O为对角线交→→→→

点．∴OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量，故①真；

→→→→→→→→②∵OB－OC＝CB，OA1－OD1＝D1A1，CB＝D1A1， →→→→∴OB－OC＝OA1－OD1， ∴②假；

→→→→

③设正方形ABCD中心为O1，正方形A1B1C1D1中心为O2，则OA＋OB＋OC＋OD＝→→→→→→4OO1，OA1＋OB1＋OC1＋OD1＝4OO2，

→→

∵OO1与OO2是相反向量，∴③真； →→→→→→④OA1－OA＝AA1，OC－OC1＝C1C， →→

∵AA1与C1C是相反向量，∴④真． 2[答案] B

[解析] (a·b)c是与c共线的向量，(b·c)a是与a共线的向量，a与c不一定共线，故A假；

若a·b＝－|a|·|b|，则a与b方向相反，

∴a∥b，故B真；

若a·c＝b·c，则(a－b)·c＝0，即(a－b)⊥c，不能得出a∥b，故C假； 若a·a＝b·b，则|a|＝|b|，方向不确定， 故得不出a＝b，∴D假． 3[答案] B

→→→→[解析] ∵AP·AB＝0，AP·AD＝0， →

∴AP⊥平面ABCD. 4[答案] A

[解析] 设D(x，y，z)，∵DB∥AC，DC∥AB， ∴四边形ABDC为平行四边形．

→→

从而AC＝BD，即(－1,0,1)＝(x，y－1，z)， x＝－1??∴?y＝1??z＝1

.

5[答案] D 6[答案] C

[解析] 设E为CD中点， →1→→→AO＝(AB＋AC＋AD)

31→1→→→→＝AB＋(BC－BA＋BD－BA) 331→1→→2→＝AB＋(BC＋BD)－BA 333→2→＝AB＋BE，

3

→2→

∴BO＝BE.即O为△BCD的重心．反之也成立．

37[答案] D

[解析] 设所求向量为c＝(x，y，z)， 2x＋2y＋z＝0??

则?4x＋5y＋3z＝0??x2＋y2＋z2＝1

，检验知选D.

[点评] 检验时，先检验A(或B)，若A不满足，则排除A、D；再检验B，若A满足，则排除B，C，只要看D是否成立．

8[答案] B

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cdjf.html