吉林省长白山一高2013学年高二数学选修2-1第三章综合能力检测
更新时间:2023-10-14 20:18:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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第三章综合能力检测
时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则下列各命题中的真命题有( ) →→→→
①OA+OD与OB1+OC1是一对相反向量 →→→→
②OB-OC与OA1-OD1是一对相反向量
→→→→→→→→
③OA+OB+OC+OD与OA1+OB1+OC1+OD1是一对相反向量 →→→→
④OA1-OA与OC-OC1是一对相反向量 A.1个 C.3个
B.2个 D.4个
2.若a、b、c是非零空间向量,则下列命题中的真命题是( ) A.(a·b)c=(b·c)a B.a·b=-|a|·|b|,则a∥b C.a·c=b·c,则a∥b D.a·a=b·b,则a=b
→→
3.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),→
AP=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是( )
A.相交 C.不垂直
B.垂直 D.成60°角
4.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),若存在点D, 使得DB∥AC,DC∥AB,则点D的坐标为( )
A.(-1,1,1)
B.(-1,1,1)或(1,-1,-1) 111
C.(-,,)
222
111
D.(-,,)或(1,-1,1)
222
5.下面命题中,正确命题的个数为( )
①若n1、n2分别是平面α、β的法向量,则n1∥n2?α∥β; ②若n1、n2分别是平面α、β的法向量,则α⊥β?n1·n2=0;
③若n是平面α的法向量,b、c是α内两不共线向量a=λb+μc,(λ,μ∈R)则n·a=0;
④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直 A.1个 C.3个
B.2个 D.4个
→1→→→
6.已知ABCD是四面体,O是△BCD内一点,则AO=(AB+AC+AD)是O为△BCD
3重心的( )
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件
7.同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量是( ) 122,-,? A.?33??3
122-,,-? B.?3??33112,-,? C.?33??3
122122,-,?或?-,,-? D.?33??333??3
2
8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,
31
AF=AC,则( )
3
A.EF至多与A1D,AC之一垂直 B.EF是A1D,AC的公垂线 C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面
→→
9.已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点F是侧面CDD′C′的中心,若AF=AD→→
+xAB+yAA′,则x-y等于( )
A.0 1C. 2
B.1 1D.- 2
AC1
10.已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C是线段AB上一点,且=,则C点的坐标为( )
AB3715
,-,? A.?22??2
8
,-3,2? B.??3?
107,-1,? C.?3??3
573
,-,? D.?22??2
11.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则能使l∥α的是( ) A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
12.a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是( ) A.5
5
B.
55
5
35C. 511D. 5
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 13.|a|=|b|=|c|=1,a+b+c=0,则a·c+b·c+a·b=________.
14.已知A、B、C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为零的实数λ、m、n使→→→
λOA+mOB+nOC=0,那么λ+m+n的值等于________.
15.在平面直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角,则AB的长度为________.
16.三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AB=AC=1,∠BAC=90°,则直线PA与底面ABC所成角的大小为______.
三、解答题(本大题共6个大题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) →→→
17.(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC-A′B′C′,设AB=a,AC=b,AA′=c,→→→→
在面对角线AC′和棱BC上分别取点M、N,使AM=kAC′,BN=kBC(0≤k≤1),求证:→
三向量MN、a、c共面.
18.(本小题满分12分)如图所示,在棱长为1的正方体AC1中,M、N、E、F分别是A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点,求证:平面AMN∥平面EFDB.
19.(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥BC1. (2)求证:AC1∥平面CDB1 (3)求AC1与BC1所成角的余弦值.
20.(本小题满分12分)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=6,AA1=4,M是A1C1的中点,P在线段BC上,且CP=2,Q是DD1的中点,求:
(1)M到直线PQ的距离; (2)M到平面AB1P的距离.
21.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,PB与平1
面ABC成60°的角,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=AD.
2
(1)求证:平面PCD⊥平面PAC;
1
(2)设E是棱PD上一点,且PE=PD,求异面直线AE与PB所成的角.
3
22.(本小题满分14分)(09·山东理)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.
(1)证明:直线EE1∥平面FCC1; (2)求二面角B-FC1-C的余弦值. 1[答案] C
[解析] ①∵四边形ADC1B1为平行四边形,O为对角线交→→→→
点.∴OA+OD与OB1+OC1是一对相反向量,故①真;
→→→→→→→→②∵OB-OC=CB,OA1-OD1=D1A1,CB=D1A1, →→→→∴OB-OC=OA1-OD1, ∴②假;
→→→→
③设正方形ABCD中心为O1,正方形A1B1C1D1中心为O2,则OA+OB+OC+OD=→→→→→→4OO1,OA1+OB1+OC1+OD1=4OO2,
→→
∵OO1与OO2是相反向量,∴③真; →→→→→→④OA1-OA=AA1,OC-OC1=C1C, →→
∵AA1与C1C是相反向量,∴④真. 2[答案] B
[解析] (a·b)c是与c共线的向量,(b·c)a是与a共线的向量,a与c不一定共线,故A假;
若a·b=-|a|·|b|,则a与b方向相反,
∴a∥b,故B真;
若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,即(a-b)⊥c,不能得出a∥b,故C假; 若a·a=b·b,则|a|=|b|,方向不确定, 故得不出a=b,∴D假. 3[答案] B
→→→→[解析] ∵AP·AB=0,AP·AD=0, →
∴AP⊥平面ABCD. 4[答案] A
[解析] 设D(x,y,z),∵DB∥AC,DC∥AB, ∴四边形ABDC为平行四边形.
→→
从而AC=BD,即(-1,0,1)=(x,y-1,z), x=-1??∴?y=1??z=1
.
5[答案] D 6[答案] C
[解析] 设E为CD中点, →1→→→AO=(AB+AC+AD)
31→1→→→→=AB+(BC-BA+BD-BA) 331→1→→2→=AB+(BC+BD)-BA 333→2→=AB+BE,
3
→2→
∴BO=BE.即O为△BCD的重心.反之也成立.
37[答案] D
[解析] 设所求向量为c=(x,y,z), 2x+2y+z=0??
则?4x+5y+3z=0??x2+y2+z2=1
,检验知选D.
[点评] 检验时,先检验A(或B),若A不满足,则排除A、D;再检验B,若A满足,则排除B,C,只要看D是否成立.
8[答案] B
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