一元函数极限的基本求法

一元函数极限的基本求法

一元函数极限的基本求法

摘 要：函数的极限及其求法是微积分的基础。本文主要探讨、总结了求极限的基本方法，对每种方法的特点及注意事项作了说明，并加以实例进行讲解。

关键词：极限；积分；级数；洛必达法则。

1 引言

本文介绍了一些求极限的方法有：利用定义求极限，函数连续性求极限、四则运算、两个重要极限、等价无穷小量代替求极限、洛必达法则、泰勒展开式求极限、微分中值定理等等。在求极限的过程中，会发现一道题可以运用多种方法解答，因此给我们的启示是每种方法之间都有一定的联系。在求极限时，可以根据不同的形式选择不同的计算方法，合理利用各种计算方法，亦可进行适当的结合，使得求极限的方法更明了，算法更简单。 2 相关的定义和性质 2.1一元函数极限的概念

x趋于?时的函数极限：设函数f(x)为定义在?a,???的函数，A是一个定数，若对

使得当x?M时有f(x)?A??则称函数f(x)当x趋于??时以A为极???0，?正数M，限，记为limf(x)?A。

x???x趋于x0时的函数极限：设函数f(x)在点x0的某个空心邻域U0(x0,?)内有定义，A为定数，若对???0，存在正数?，使得当0?x?x0??时有f(x)?A??，则称函数f(x)当

x趋于x0时以A为极限，记为limf(x)?A。

x?x02.2 一元函数极限的性质

性质1(唯一性)如果limf(x)存在，则必定唯一x?0性质2(局部有界性)如果limf(x)存在，则f(x)在x0的某空心邻域内有界x?x0性质3(迫敛性)如果limf(x)?limh(x)?A，且在x0的某空心邻域内有f(x)?g(x)?h(x),x?x0x?x0

3一元函数极限的计算及多种求法 3.1 利用导数的定义求极限

导数的定义：函数f(x)在x0附近有定义，??x则?y?f(x0??x)?f(x0)。如果对函数

f(x??x)?f(x0)?y?lim的lim存在，则此极限值就称函数在点x0的导数，记为f?(x0)，

?x?0?x?x?0?x在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)，然后把所求极限表示成f(x)在定点x0的导

x?x0则limg(x)?A数。

例 求lim(x?)?cot2x

?2x?2? 解 取f(x)?tan2x则

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?11 lim(x?)?cot2x???tan2x?2x?limtan2x?tan(2?)2??2x?lim2x???x?2x?22?f(x)?f()12?1??lim????x?x?f?()(2sec22x)x?2222

1 ?

2

3.2 利用极限四则运算法则

应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为0。因此,为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子、原分母中随n或x增大最快的项除分子、分母,使恒等变形后的分子分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。 极限的四则运算法则叙述如下： 若 limf(x)?A limg(x)?B

x?x0x?x0

(1)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?Bx?x0x?x0x?x0x?x0x?x0x?x0

(2)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?B

limf(x)f(x)x?x0A (3)若 B?0 则：lim??

x?x0g(x)limg(x)Bx?x0 (4)limc?f(x)?c?limf(x)?cA （c为常数）

x?x0x?x0 上述性质对于x??,x???,x???时也同样成立。总的说来，就是函数的和、差、

积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分子分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分子分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和(或积)为有限项。

x2?1 例 求极限lim2

x?12x?x?1x2?1(x?1)(x?1)x?12?lim?lim? 解 lim2x?12x?x?1x?1(x?1)(2x?1)x?12x?133.3 利用函数的迫敛性求极限

利用该定理主要在于把握好对所给式子的变形，在做这种题目时我们可以通过放大或缩小的方法找出两个相同极限值的数列?yn?和?zn?，使得yn?xn?zn.

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例 xn?12n?1 求xn的极限

?1n?22???1n?n2

解 因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项

111nxn???.......??n2?nn2?nn2?nn2?n

xn?1n2?1?则1n2?1n?.......??xn?1n2?1n?nn2?1

n2?nn2?1

nn又因为lim?lim?122x??x??n?nn?1 limxn?1x??

做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。 3.4 利用两个重要极限求极限

sinx1?1 (B)lim(1?)x?e但我们经常使用的是它们的变形： 两个极限公式(A)limx?0x??xxsin?(x)(A')lim?1,(?(x)?0)?(x)

1(B')lim(1?)?(x)?e,(?(x)??)?(x)在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。

例 求下列函数的极限

??xxxx?? lim?lim?coscos2cos3?cosn??

n?0n??2222????xxxx 解 coscos2cos3?cosn

22221xxxxx ?sinxcoscos2cos3?cosnsinn

x222222sinn21xxxxx ?sinxlimcoscoscos?cossin

23nnn??x222222sinn2sinx ?

x??xxxx??sinxlim?lim?coscos2cos3?cosn???lim?1n?0n??n?02222??x??

利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式，只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。说明 第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤。

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3.5 利用洛必达法则求极限

洛必达法则为：假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）函数f(x)和 g(x)时，满足(1)f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大;(2)f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0;利用洛必达法则求极限,由于分类明确,规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程,但运用时需注意条件。

注 运用洛必达法则应注意以下几点 1 要注意条件,也即是说,在没有化为0?时不可求导。2 应用洛必达法则，要分别求分子分母的导数，而不是求整个分式的导数。3 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。当limf(x)不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。

03.5.1.型不定式极限

01?cosx例 求lim

x??tan2x 解 容易检验f(x)?1?cosx与g(x)?tan2x在x0??的邻域里满足定理的条

f?(x)?sinxcos3x1件(1)和(2)，又因?lim??lim?2x??x??g?(x)2tanxsecx22 故由洛必达法则求得

f(x)f'(x)1lim?lim?x?x0g(x)x?x0g'(x)2

e?(1+2x)

x?0ln(1?x2) 解 利用ln(1?x2)~x2 （x?0），则得

x 例 求lim12e?(1?2x)e?(1?2x)e?(1?2x)?lim?lim?12x?0x?0x?0x2x2

在利用洛必达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换。

原式?limx12x?12x?32例 求lim?x?0x1?ex 0型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解，但是比较麻烦。如作适当的0变换，计算上就会更方便些，故令t?x,当x?0?时有t?0?，于是有 解 这是

x?0lim?x1?ex?lim?x?0?型不定式极限 ? 若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。 定理：若函数f(x)和函数g(x)满足：

(1)lim?f(x)?lim?g(x)??x?x0x?x0

(2)在点x0的某空心邻域内两者都可导，且g?(x)?0 3.5.2.

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t1?lim??1tt?x?01?e?e

f?(x)?Ax?x0g?(x)

f(x)f?(x)则lim??lim??Ax?x0g(x)x?x0g?(x)

lnx 例 求lim

x???x 解 由定理得，

lnx(lnx)?1lim?lim?lim?0x???xx???(x)?x???x

f?(x)f(x)注1 若lim不存在，并不能说明lim不存在。

x?x0g?(x)x?x0g(x)(3)lim?注2 不能对任何比式极限都按洛必达法则来求解。首先必须注意它是不是不定式极限；其次是观察它是否满足洛比达法则的其它条件。

3.5.3.其它类型不定式极限

不定式极限还有0??，1?，00，?0，???等类型。这些类型经过简单的变换，都

0?可以化为型和型的不定式极限。

0?例 求limxlnx ?x?0解 这是一个1?型的不定式极限，作恒等变形xlnx=并用洛必达法则得到

lnx?，将它转化为型的不定极限 1?x1lnxlim?xlnx?lim??lim?x?lim?(?x)?0x?0x?0x?0?1x?01xx2

1例 求lim(cos)

x?0x2解 这是一个1?型的不定式极限，作恒等变形

(cosx)=ex10其指数部分的极限lim2lncosx是型的不定式极限，可先求得x?0x01?tanx1lim2lncosx?lim??x?0xx?02x2

111x212lncosx从而得lim(cosx)x?0x2?ex2x) 例 求lim(sin?x?0k1?lnk

（k为常数）

解 这是一个00型的不定式极限，按上例变形的方法，先求

?型的极限， ?第 5 页

kcosxklnsinxxlim??lim?sinx?lim?kcosx??kx?01?lnxx?0x?01sinxx

然后得到lim?(sinx)x?021lnxk1?lnk?ek(k?0)

当k=0时上面的结果仍成立。 例 求lim(x?1?x)x??

解 这是一个?0型的不定式极限，类似地，先求其对数的极限（

1?型） ?ln(x?1?x2)1?xlim?lim?1x???x???1lnxx

于是有lim(x?1?x)x???21lnx?e

3.6 利用定积分的定义求函数极限

定积分的定义：设函数f(x)在区间?a,b?上连续,将区间?a,b?分成n个子区间?a,x0?，

?x0,x1?,?x1,x2?,…,?xi,b?。在每个子区(xi,xi)任取一点?i(i?1,2,1作和式，当??0n)，

时,(?属于最大的区间长度)该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间

(a,b)的定积分。要求深刻理解与熟练掌握的重点内容有 1 定积分的概念及性质；2 定积分的换元法和分部积分法；3 变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿（Newton）—莱布尼兹(Leibniz)公式。要求一般理解与掌握的内容有广义积分的概念与计算。

111例 求lim(???)

x??n?1n?22n解 把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形：

n11J?lim??n???ini?11?n 1不难看出，其中的和式是函数发f(x)?在区间?0,1?上的一个积分和。（这里所

1?x1i?i?1i?i?1.2.??????n.取的是等分分割，?xi?, ?i???），所以 ,（

nn?nn??1dx1J???ln(1?x)??ln2

01?x02dx3dx1当然也可把J看作f(x)?在?1,2?的定积分，同样有J???????ln21x2x?1x

3.7 利用无穷小量性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限

首先,利用无穷小量乘有界变量仍然是无穷小量,这一方法在求极限时常常用到,再利用等价无穷量。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相

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除时,这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简化。无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。

sinx 例 求lim

x??x 解 因为sinx?1

1sinx?0所以lim?0x???xx???x

3.8 利用变量替换求极限

为了将未知的极限化简或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换（适用于分子,分母的根指数不相同的极限类型）当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。

xx?1 例 求lim

x?1xlnx 解 令t?xx?1则lnx?ln(t?1)

limxx?1t1lim?lim?lim?1x?1xlnxt?0ln(t?1)t?0ln(t?1)t

3.9 利用单侧极限求极限

形如：(1)求含a的函数x趋向无穷的极限，或求含a的函数x趋于0的极限; (2)求含取整函数的函数极限; (3)分段函数在分段点处的极限;

(4)含偶次方根的函数以及arctanx或arctanx的函数，x趋向无穷的极限.

这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。

1?xsin,x?0?例 f(x)?? x?1?x2,x?0?求f(x)在x?0的左右极限

1?1

x?0x1lim?x?sin?1x x?0

limf(x)?limf(x)?1??x?0x?0 limf(x)?1 x?0

3.10 利用等价无穷小量代换来求极限

f(x)?1。称f(x)与g(x)是x?x0时的等价无穷小量，记作 所谓等价无穷小量即limx?x0g(x)f(x)~g(x)。

定理：设函数f(x),g(x),h(x)在u0(x0)内有定义，且有f(x)~g(x).(x?x0)

x?sin解 lim?第 7 页

x1x

若limf(x)g(x)?A则limg(x)h(x)?Ax?x0x?x0h(x)h(x)?B则lim?Bx?x0f(x)x?x0g(x)

由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限。

tanx?sinx 例 求lim的极限 3x?0sinxsinx 解 由 tanx?sinx?(1?cosx).而sinx~x,(x?0)；

cosx若lim

x2isx3?x3~x3,（x?0）. ；n1?cosx~,（x?0）

2x2x?tanx?sinx12?1故有lim?lim?x?0x?0cosxsinx3x32

注 由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷

sinxarctanx?1，故有sinx~x，又由于lim?1故有arctanx~x。 量，如 由于limx?0x?0xx另注 在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如

tanx?sinxx?x上式中，若因有tanx~x，(x?0);sinx~x，(x?0);而推出lim?lim?0x?0x?0sinx3sinx3则得到的结果是错误的。

小结 在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题。

3.11利用函数的连续性求极限

x?x0 若lim?(x)?a且f(u)在点a连续，则limf[?(x)]?flim?(x)。

x?x0x?x0例 求limex?01?cosx2arcsinx2的极限

11?cosx14f(u)?eu??及函数在处连续，故

x?02arcsinx244 解 由于limlimex?01?cosx2arcsinx2?ex?02arcsinx2lim1?cosx?e.14

3.12 利用泰勒公式求极限

由于泰勒公式的特殊形式,对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。

cosx?e 4x?0x 解 本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为x4，我们用麦克劳林公式表示极限的分子， （取n?4）

x2x4cosx=1-++o(x5) 224 例 求lim第 8 页

?x22

3.13 利用两个准则求极限

(1)函数极限的迫敛性：设limf(x)?limg(x)?A且在某U0(x0,?)内有f(x)?h(x)?g(x)则

x?x0x?x0x2x4e=1-+?o(x5)

282x?x42cosx-e=-?o(x5)

12x21??x4??(x5)2cosx?e112因而求得lim?lim??x?0x?0x4x412

?x22x?x0limh(x)?A。

?1? 例 求lim?x??的极限

x?0?x??1??1? 解 因为1?x???1?x，且lim?(1?x)?1，由迫敛性知 lim?x???1。

x?0x?0?x??x?做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。

(2)单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。 例 证明下列数列的极限存在，并求极限。

y1?a,y2?a?a,y3?a?a?a,,yn?a?a?a??a 证明 从这个数列构造来看yn显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为y2?a?y1,y3?a?y2,?yn?a?yn?1

2所以得yn?a?yn?1,因为前面证明yn是单调增加的。

a?1yn

aa 因为yn?y1?a则?a，从而?1?a?1

ynyn两端除以yn得yn? a?yn?a?1

即yn是有界的。根据定理?yn?有极限，而且极限唯一。

2令limyn?l则limyn?lim(yn?1?a)x??x?? x??

1?4a?1则l2?l?a，因为yn?0，解方程得l?2

1?4a?1所以limyn?l?n??2

3.14 利用级数收敛的必要条件求极限

利用级数收敛的必要条件：若级数??n收敛，则?n?0。运用这个方法，首先判定

n?1?第 9 页

级数??n收敛，然后求出它通项的极限。

n?1?nn 例 求 lim

n??(n!)2nn 解 设an?

(n!)2an?1(n?1)n?1(n!)2则lim?lim?n2n??ann???(n?1)!?n

11?lim?(1?)nn n??n?1 ?0?1

由比值判别法知?an收敛n?1

nn由必要条件知lim?0n??(n!)2

3.15 利用中值定理求极限

?1 微分中值定理：若函数f(x)满足(1)在?a,b?上连续(2)在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存在一点?，使f?(?)?

sin(sinx)?sinx

x?0x30???1?

解 由 sin(sinx)?sinx?(sinx?x)?cos???(x?sinx)?x? ?sin(sinx)?sinxlimx3 得 x?0

(sinx?x)?cos???(x?sinx)?x??limx3 x?0

cosx?1?cos0?limx?03x2

?sinx?lim x?06x

1??6

2 积分中值定理：设函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，g(x)在?a,b?上不变号且可积，则在

f(b)?f(a)。

b?a 例 求lim?a,b?上至少有一点?使?a?n??0bf(x)g(x)dx?f(?)??g(x)dx

ab 例 求lim?4sinnxdx

? 解 lim?4sinnxdx

n??0第 10 页

????0????limsinn???(?0)??n??44??

4n??

?0

4 结论

以上方法是在高等数学里求解极限的基本重要方法。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的。必须要细心分析仔细甄选。选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析，不能机械地用某种方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多种方法混合使用，要学会灵活运用。

??lim(sin?)n

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cdj5.html